不確定度的計(jì)算

1、測(cè)量誤差與不確定度評(píng)定測(cè)量誤差1、測(cè)量誤差和相對(duì)誤差（1）、測(cè)量誤差測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值所得的差，稱(chēng)為測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。這個(gè)定義從20世紀(jì)70年代以來(lái)沒(méi)有發(fā)生過(guò)變化，以公式可表示為：測(cè)量誤差=測(cè)量結(jié)果一真值。測(cè)量結(jié)果是由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值，是客觀存在的量的實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)，僅是對(duì)測(cè)量所得被測(cè)量之值的近似或估計(jì)，顯然它是人們認(rèn)識(shí)的結(jié)果，不僅與量的本身有關(guān)，而且與測(cè)量程序、測(cè)量?jī)x器、測(cè)量環(huán)境以及測(cè)量人員等有關(guān)。真值是量的定義的完整體現(xiàn)，是與給定的特定量的定義完全一致的值，它是通過(guò)完善的或完美無(wú)缺的測(cè)量，才能獲得的值。所以，真值反映了人們力求接近的理想目標(biāo)或客觀真理，本質(zhì)上是不能確定的，量子效

2、應(yīng)排除了唯一真值的存在實(shí)際上用的是約定真值，須以測(cè)量不確定度來(lái)表征其所處的范圍。因而作為測(cè)量結(jié)果與真值之差的測(cè)量誤差，也是無(wú)法準(zhǔn)確得到或確切獲知的。過(guò)去人們有時(shí)會(huì)誤用誤差一詞，即通過(guò)誤差分析給出的往往是被測(cè)量值不能確定的范圍，而不是真正的誤差值。誤差與測(cè)量結(jié)果有關(guān)，即不同的測(cè)量結(jié)果有不同的誤差，合理賦予的被測(cè)量之值各有其誤差并不存在一個(gè)共同的誤差。一個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差，若不是正值（正誤差）就是負(fù)值（負(fù)誤差），它取決于這個(gè)結(jié)果是大于還是小于真值。實(shí)際上，誤差可表示為：誤差=測(cè)量結(jié)果一真值=（測(cè)量結(jié)果一總體均值）+（總體均值一真值）=隨機(jī)誤差+系統(tǒng)誤差（2）、相對(duì)誤差測(cè)量誤差除以被測(cè)量的真值所得的商

3、，稱(chēng)為相對(duì)誤差。2、隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差（1）、隨機(jī)誤差測(cè)量結(jié)果與重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差，稱(chēng)為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差=測(cè)量結(jié)果一多次測(cè)量的算術(shù)平均值（總體均值）重復(fù)性條件是指在盡量相同的條件下，包括測(cè)量程序、人員、儀器環(huán)境等，以及盡量短的時(shí)間間隔內(nèi)完成重復(fù)測(cè)量任務(wù)。此前，隨機(jī)誤差曾被定義為：在同一量的多次測(cè)量過(guò)程中，以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分量。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性： 對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的誤差，出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，也即測(cè)得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而對(duì)稱(chēng)分布的。由于所有誤差的代數(shù)和趨于零，故隨機(jī)誤差又具有低償性，這個(gè)統(tǒng)計(jì)特性是最為本質(zhì)的；換言

4、之，凡具有低償性的誤差，原則上均可按隨機(jī)誤差處理。2有界性：測(cè)得值誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限，也即不會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值很大的誤差。3單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差數(shù)目多，也即測(cè)得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對(duì)集中地分布的。（2）、系統(tǒng)誤差在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差，稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。它是測(cè)量結(jié)果中期望不為零的誤差分量。系統(tǒng)誤差=多次測(cè)量的算術(shù)平均值一被測(cè)量真值由于只能進(jìn)行有限次數(shù)的重復(fù)測(cè)量，真值也只能用約定真值代替，因此可能確定的系統(tǒng)誤差只是其估計(jì)值，并具有一定的不確定度。系統(tǒng)誤差大抵來(lái)源于影響量，它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響若已識(shí)別并可定量表述

5、，則稱(chēng)之為“系統(tǒng)效應(yīng)”。該效應(yīng)的大小若是顯著的，則可通過(guò)估計(jì)的修正值予以補(bǔ)償。但是，用以估計(jì)的修正值均由測(cè)量獲得，本身就是不確定的。至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等，它們的前面帶有正負(fù)（）號(hào)，因而是一種可能誤差區(qū)間，并不是某個(gè)測(cè)量結(jié)果的誤差。對(duì)于測(cè)量?jī)x器而言，其示值的系統(tǒng)誤差稱(chēng)為測(cè)量?jī)x器的“偏移”，通常用適當(dāng)次數(shù)重復(fù)測(cè)量示值誤差的均值來(lái)估計(jì)。過(guò)去所謂的誤差傳播定律，所傳播的其實(shí)并不是誤差而是不確定度，故現(xiàn)已改稱(chēng)為不確定度傳播定律。還要指出的是：誤差一詞應(yīng)按其定義使用，不宜用它來(lái)定量表明測(cè)量結(jié)果的可靠程度。3、修正值和偏差（1）、修正值和修正因子用代數(shù)方法與未修正測(cè)量結(jié)果相加，以補(bǔ)

6、償其系統(tǒng)誤差的值，稱(chēng)為修正值。含有誤差的測(cè)量結(jié)果，加上修正值后就可能補(bǔ)償或減少誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此這種補(bǔ)償并不完全。修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差，這就是說(shuō)加上某個(gè)修正值就像扣掉某個(gè)系統(tǒng)誤差，其效果是一樣的，只是人們考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同而已，即真值=測(cè)量結(jié)果+修正值=測(cè)量結(jié)果一誤差在量值溯源和量值傳遞中，常常采用這種加修正值的直觀的辦法。用高一個(gè)等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)校準(zhǔn)或檢定測(cè)量?jī)x器，其主要內(nèi)容之一就是要獲得準(zhǔn)確的修正值。換言之，系統(tǒng)誤差可以用適當(dāng)?shù)男拚祦?lái)估計(jì)并予以補(bǔ)償。但應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出：這種補(bǔ)償是不完全的，也即修正值本身就含有不確定度。當(dāng)測(cè)量結(jié)果以代數(shù)和方式與修正值相加后，其系統(tǒng)誤差

7、之模會(huì)比修正前的小，但不可能為零，也即修正值只能對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行有限程度的補(bǔ)償。修正因子：為補(bǔ)償系統(tǒng)誤差而與未修正測(cè)量結(jié)果相乘的數(shù)字因子，稱(chēng)為修正因子。含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果，乘以修正因子后就可以補(bǔ)償或減少誤差的影響。但是，由于系統(tǒng)誤差并不能完全獲知，因而這種補(bǔ)償是不完全的也即修正因子本身仍含有不確定度。通過(guò)修正因子或修正值已進(jìn)行了修正的測(cè)量結(jié)果，即使具有較大的不確定度，但可能仍然十分接近被測(cè)量的真值（即誤差甚?。?。因此，不應(yīng)把測(cè)量不確定度與已修正測(cè)量結(jié)果的誤差相混淆。（2）、偏差：一個(gè)值減去其參考值，稱(chēng)為偏差。這里的值或一個(gè)值是指測(cè)量得到的值，參考值是指設(shè)定值、應(yīng)有值或標(biāo)稱(chēng)值。例如：尺寸偏差=

8、實(shí)際尺寸一應(yīng)有參考尺寸偏差=實(shí)際值一標(biāo)稱(chēng)值在此可見(jiàn)，偏差與修正值相等，或與誤差等值而反向。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出的是：偏差相對(duì)于實(shí)際值而言，修正值與誤差則相對(duì)于標(biāo)稱(chēng)值而言，它們所指的對(duì)象不同。所以在分析時(shí)，首先要分清所研究的對(duì)象是什么。常見(jiàn)的概念還有上偏差（最大極限尺寸與參考尺寸之差）、下偏差（最小極限尺寸與參考尺寸之差），它們統(tǒng)稱(chēng)為極限偏差。由代表上、下偏差的兩條直線(xiàn)所確定的區(qū)域，即限制尺寸變動(dòng)量的區(qū)域，統(tǒng)稱(chēng)為尺寸公差-H+帶。二、測(cè)量不確定度的評(píng)定與表示1、測(cè)量不確定度表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性、與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，稱(chēng)為測(cè)量不確定度?！昂侠怼币庵笐?yīng)考慮到各種因素對(duì)測(cè)量的影響所做的修正，特別是

9、測(cè)量應(yīng)處于統(tǒng)計(jì)控制的狀態(tài)下，即處于隨機(jī)控制過(guò)程中。“相聯(lián)系”意指測(cè)量不確定度是一個(gè)與測(cè)量結(jié)果“在一起”的參數(shù)，在測(cè)量結(jié)果的完整表示中應(yīng)包括測(cè)量不確定度。此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)，或說(shuō)明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度。測(cè)量不確定度從詞意上理解，意味著對(duì)測(cè)量結(jié)果可信性、有效性的懷疑程度或不肯定程度，是定量說(shuō)明測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量的一個(gè)參數(shù)。實(shí)際上由于測(cè)量不完善和人們的認(rèn)識(shí)不足，所得的被測(cè)量值具有分散性，即每次測(cè)得的結(jié)果不是同一值，而是以一定的概率分散在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的許多個(gè)值。雖然客觀存在的系統(tǒng)誤差是一個(gè)不變值，但由于我們不能完全認(rèn)知或掌握，只能認(rèn)為它是以某種概率分布存在于某個(gè)區(qū)域內(nèi)，而這種概率分布本身也

10、具有分散性。測(cè)量不確定度就是說(shuō)明被測(cè)量之值分散性的參數(shù)，它不說(shuō)明測(cè)量結(jié)果是否接近真值。為了表征這種分散性，測(cè)量不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。在實(shí)際使用中，往往希望知道測(cè)量結(jié)果的置信區(qū)間，因此規(guī)定測(cè)量不確定度也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或說(shuō)明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度表示。為了區(qū)分這兩種不同的表示方法，分別稱(chēng)它們?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度。（1）測(cè)量不確定度來(lái)源在實(shí)踐中，測(cè)量不確定度可能來(lái)源于以下十個(gè)方面： 對(duì)被測(cè)量的定義不完整或不完善； 實(shí)現(xiàn)被測(cè)量的定義的方法不理想； 取樣的代表性不夠，即被測(cè)量的樣本不能代表所定義的被測(cè)量；對(duì)測(cè)量過(guò)程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不周全，或?qū)Νh(huán)境條件的測(cè)量與控制不完善；5對(duì)模擬儀器的讀數(shù)

11、存在人為偏移；6測(cè)量?jī)x器的分辯力或鑒別力不夠；7賦予計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值不準(zhǔn)；8引用于數(shù)據(jù)計(jì)算的常量和其它參量不準(zhǔn)；9測(cè)量方法和測(cè)量程序的近似性和假定性；在表面上看來(lái)完全相同的條件下，被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的變化。由此可見(jiàn)，測(cè)量不確定度一般來(lái)源于隨機(jī)性和模糊性，前者歸因于條件不充分，后者歸因于事物本身概念不明確。這就使測(cè)量不確定度一般由許多分量組成，其中一些分量可以用測(cè)量列結(jié)果（觀測(cè)值）的統(tǒng)計(jì)分布來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且以實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征；而另一些分量可以用其它方法（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其它信息的假定概率分布）來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且也以標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。所有這些分量，應(yīng)理解為都貢獻(xiàn)給了分散性。若需要表示某分量是由某原因?qū)?/p>

12、致時(shí)，可以用隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度和系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度。（2）標(biāo)準(zhǔn)不確定度和標(biāo)準(zhǔn)偏差以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測(cè)量不確定度，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。標(biāo)準(zhǔn)不確定度用符號(hào)u表示，它不是由測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)引起的不確定度，而是指不確定度以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示，來(lái)表征被測(cè)量之值的分散性。這種藝（-）Xi-x分散性可以有不同的表示方式，例如：用“一表示時(shí)，由于正殘差與負(fù)殘差可能相消，反映不出分散程度；用一表示時(shí)，則不便于進(jìn)行解析運(yùn)算。只有用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測(cè)量結(jié)果的不確定度，才稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)對(duì)同一被測(cè)量作n次測(cè)量，表征測(cè)量結(jié)果分散性的量s按下式算出時(shí)，稱(chēng)它為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：S=式中：X為第i次測(cè)量的結(jié)果；i為所考慮的n次測(cè)量結(jié)果的

13、算術(shù)平均值。對(duì)同一被測(cè)量作有限的n次測(cè)量，其中任何一次的測(cè)量結(jié)果或觀測(cè)值，都可視作無(wú)窮多次測(cè)量結(jié)果或總體的一個(gè)樣本。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法就是要通過(guò)這個(gè)樣本所獲得的信息(例如算術(shù)平均值x和實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s等)，來(lái)推斷總體的性質(zhì)(例如期望卩和方差02等)。期望是通過(guò)無(wú)窮多次測(cè)量所得的觀測(cè)值的算術(shù)平均值或加權(quán)平均值，又稱(chēng)為總體均值卩,顯然它只是在理論上存在并表示為lim工nU丄xini=1方差02則是無(wú)窮多次測(cè)量所得觀測(cè)值X與期望卩之差的平方的算i術(shù)平均值，它也只是在理論上存在并可表示為lim2=方差的正平方根0，通常被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差，又稱(chēng)為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差或理論標(biāo)準(zhǔn)偏差；而通過(guò)有限多次測(cè)量得的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差S,又稱(chēng)

14、為樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。這個(gè)計(jì)算公式即為貝賽爾公式，算得的s是0的估計(jì)值。S是單次觀測(cè)值X的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，s/爲(wèi)才是n次測(cè)量所得算術(shù)i平均值X的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，它是x分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。為易于區(qū)別，前者用s(x)表示，后者用S(兀)表示，故有S(兀)二s(x)/、：。通常用s(x)表征測(cè)量?jī)x器的重復(fù)性，而用s(x)評(píng)價(jià)以此儀器進(jìn)行n次測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果的分散性。隨著測(cè)量次數(shù)n的增加，測(cè)量結(jié)果的分散性s(x)即與打成反比地減小，這是由于對(duì)多次觀測(cè)值取平均后，正、負(fù)誤差相互抵償所致。所以，當(dāng)測(cè)量要求較高或希望測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差較小時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增加n；但當(dāng)n20時(shí)，隨著n的增加，s(x)的減小速率減慢。因此，

15、在選取n的多少時(shí)應(yīng)予綜合考慮或權(quán)衡利弊，因?yàn)樵黾訙y(cè)量次數(shù)就會(huì)拉長(zhǎng)測(cè)量時(shí)間、加大測(cè)量成本。在通常情況下，取n$3,以n=4-20為宜。另外，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)s（x）是平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，而不能稱(chēng)它為平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。2不確定度的A類(lèi)、B類(lèi)評(píng)定及合成由于測(cè)量結(jié)果的不確定度往往由許多原因引起，對(duì)每個(gè)不確定度來(lái)源評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，用符號(hào)ui表示。對(duì)這些標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量有兩類(lèi)評(píng)定方法，即A類(lèi)評(píng)定和B類(lèi)評(píng)定。（1）不確定度的A類(lèi)評(píng)定用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱(chēng)為不確定度的A類(lèi)評(píng)定，有時(shí)也稱(chēng)A類(lèi)不確定度評(píng)定。通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析觀測(cè)列的方法，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的進(jìn)行的評(píng)定，所得到的相

16、應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱(chēng)為A類(lèi)不確定度分量，用符號(hào)uA表示。A這里的統(tǒng)計(jì)分析方法，是指根據(jù)隨機(jī)取出的測(cè)量樣本中所獲得的信息，來(lái)推斷關(guān)于總體性質(zhì)的方法。例如：在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下的任何一個(gè)測(cè)量結(jié)果，可以看作是無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果（總體）的一個(gè)樣本，通過(guò)有限次數(shù)的測(cè)量結(jié)果（有限的隨機(jī)樣本）所獲得的信息（諸如平均值x、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s）,來(lái)推斷總體的平均值（即總體均值卩或分布的期望值）以及總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。，就是所謂的統(tǒng)計(jì)分析方法之一。A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。（2）不確定度的B類(lèi)評(píng)定用不同于對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱(chēng)為不確定度的B類(lèi)評(píng)定，有時(shí)也稱(chēng)B類(lèi)不確定度評(píng)定。這是用不同于對(duì)測(cè)

17、量樣本統(tǒng)計(jì)分析的其他方法，進(jìn)行的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定，所得到的相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱(chēng)為B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，用符號(hào)uB表示。它用根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或資料及假設(shè)的概率分布估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏B差表征，也就是說(shuō)其原始數(shù)據(jù)并非來(lái)自觀測(cè)列的數(shù)據(jù)處理，而是基于實(shí)驗(yàn)或其他信息來(lái)估計(jì)，含有主觀鑒別的成分。用于不確定度B類(lèi)評(píng)定的信息來(lái)源一般有： 以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)； 對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)； 生產(chǎn)部門(mén)提供的技術(shù)說(shuō)明文件； 校準(zhǔn)證書(shū)、檢定證書(shū)或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等別或級(jí)別，包括目前仍在使用的極限誤差、最大允許誤差等； 手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度； 規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類(lèi)似技術(shù)文件中給出的重復(fù)

18、性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R。不確定度的A類(lèi)評(píng)定由觀測(cè)列統(tǒng)計(jì)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布來(lái)估計(jì)，其分布來(lái)自觀測(cè)列的數(shù)據(jù)處理，具有客觀性和統(tǒng)計(jì)學(xué)的嚴(yán)格性。這兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度僅是估算方法不同，不存在本質(zhì)差異，它們都是基于統(tǒng)計(jì)規(guī)律的概率分布，都可用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)定量表達(dá)，合成時(shí)同等對(duì)待。只不過(guò)A類(lèi)是通過(guò)一組與觀測(cè)得到的頻率分布近似的概率密度函數(shù)求得。而B(niǎo)類(lèi)是由基于事件發(fā)生的信任度（主觀概率或稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)概率）的假定概率密度函數(shù)求得。對(duì)某一項(xiàng)不確定度分量究竟用A類(lèi)方法評(píng)定，還是用B類(lèi)方法評(píng)定，應(yīng)由測(cè)量人員根據(jù)具體情況選擇。特別應(yīng)當(dāng)指出：A類(lèi)、B類(lèi)與隨機(jī)、系統(tǒng)在性質(zhì)上并無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系，為避免混淆，不應(yīng)再使用隨機(jī)不確定度和系統(tǒng)不確定度。(3

19、) 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度當(dāng)測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱(chēng)為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。在測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其他量求得的情形下，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，等于這些其他量的方差和協(xié)方差適當(dāng)和的正平方根，它被稱(chēng)為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值，用符號(hào)u表示。c方差是標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方，協(xié)方差是相關(guān)性導(dǎo)致的方差。當(dāng)兩個(gè)被測(cè)量的估計(jì)值具有相同的不確定度來(lái)源，特別是受到相同的系統(tǒng)效應(yīng)的影響(例如：使用了同一臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)器)時(shí)，它們之間即存在著相關(guān)性。如果兩個(gè)都偏大或都偏小，稱(chēng)為正相關(guān)；如果一個(gè)偏大而另一個(gè)偏小，則稱(chēng)為負(fù)相關(guān)。由這種相關(guān)性所導(dǎo)致的方差，

20、即為協(xié)方差。顯然，計(jì)入?yún)f(xié)方差會(huì)擴(kuò)大合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，協(xié)方差的計(jì)算既有屬于A類(lèi)評(píng)定的、也有屬于B類(lèi)評(píng)定的。人們往往通過(guò)改變測(cè)量程序來(lái)避免發(fā)生相關(guān)性，或者使協(xié)方差減小到可以略計(jì)的程序，例如：通過(guò)改變所使用的同一臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)等。如果兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的，則它們的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等于零但反之不一定成立。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差，它表征了測(cè)量結(jié)果的分散性。所用的合成的方法，常被稱(chēng)為不確定度傳播律，而傳播系數(shù)又被稱(chēng)為靈敏系數(shù)，用C表示。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱(chēng)為有效自由度，用iV表示，它表明所評(píng)定的u的可靠程度。通常在報(bào)告以下測(cè)量結(jié)果時(shí)，effC可直接使用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)，同時(shí)給出自由度V:Ce

21、ff 基礎(chǔ)計(jì)量學(xué)研究； 基本物理常量測(cè)量； 復(fù)現(xiàn)國(guó)際單位制單位的國(guó)際比對(duì)。3. 擴(kuò)展不確定度和包含因子(1)擴(kuò)展不確定度擴(kuò)展不確定度是確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。它有時(shí)也被稱(chēng)為展伸不確定度或范圍不確定度。實(shí)際上擴(kuò)展不確定度是由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測(cè)量不確定度，通宵用符號(hào)U表示。它是將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度擴(kuò)展了k倍得到的，即U=ku，這里k值一般為2,有時(shí)為3,取決于被測(cè)量的重要性、效益C和風(fēng)險(xiǎn)。擴(kuò)展不確定度是測(cè)量結(jié)果的取值區(qū)間的半寬度,可期望該區(qū)間包含了被測(cè)量之值分布的大部分。而測(cè)量結(jié)果的取值區(qū)間在被測(cè)量值概率分布中所包含的百分?jǐn)?shù),被稱(chēng)為該區(qū)間的置信

22、概率、置信水準(zhǔn)或置信水平用符號(hào)P表示。這時(shí)擴(kuò)展不確定度用符號(hào)U表示，它給出的區(qū)間能包含p被測(cè)量可能值的大部分(比如95%或99%等)。按測(cè)量不確定度的定義,合理賦予的被測(cè)量之值的分散區(qū)間理應(yīng)包含全部的測(cè)得值,即100%地包含于區(qū)間內(nèi),此區(qū)間的半寬通常用符號(hào)表示。若要求其中包含95%的被測(cè)量之值，則此區(qū)間稱(chēng)為概率為p=95%的置信區(qū)間，其半寬就是擴(kuò)展不確定度U;類(lèi)似地，若要求99%的概率，95則半寬為U。這個(gè)與置信概率區(qū)間或統(tǒng)計(jì)包含區(qū)間有關(guān)的概率，即為上99述的置信概率。顯然，在上面例舉的三個(gè)半寬之間存在著UVUVa的9599關(guān)系，至于具體小多少或大多少，還與賦予被測(cè)量之值的分布情況有關(guān)歸納上述

23、內(nèi)容，可將測(cè)量不確定度的分類(lèi)簡(jiǎn)示為：測(cè)量不確定度：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度擴(kuò)展不確定度：U(k=2,3)U(p為置信概率)p值得指出的是：在20世紀(jì)80年代曾用術(shù)語(yǔ)總不確定度，由于在報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果時(shí)既可用擴(kuò)展不確定度也可用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，為避免混淆，目前在定量表示時(shí)一般不再使用總不確定度這個(gè)術(shù)語(yǔ)。(2)包含因子和自由度為求得擴(kuò)展不確定度，對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘之?dāng)?shù)字因子，稱(chēng)為包含因子，有時(shí)也稱(chēng)為覆蓋因子。包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。鑒于擴(kuò)展不確定度有U與U兩種表示方式，它們?cè)诜Q(chēng)呼上并無(wú)區(qū)別，但在使用時(shí)k一般p為2或3,而k則為給定置信概

24、率p所要求的數(shù)字因子。在被測(cè)量估計(jì)p值拉近于正態(tài)分布的情況下，k就是t分布(學(xué)生分布)中的t值。評(píng)p定擴(kuò)展不確定度U時(shí)，已知p與自由度v,即可查表得到k，進(jìn)而求得ppU。參見(jiàn)JJF1059-1999測(cè)量不確定度評(píng)定與表示的附錄A：“t分布p在不同置信概率P與自由度的t(v)值”p自由度一詞，在不同領(lǐng)域有不同的含義。這里對(duì)被測(cè)量若只觀測(cè)一次，有一個(gè)觀測(cè)值，則不存在選擇的余地，即自由度為0。若有兩個(gè)觀測(cè)值，顯然就多了一個(gè)選擇。換言之，本來(lái)觀測(cè)一次即可獲得被測(cè)量值，但人們?yōu)榱颂岣邷y(cè)量的質(zhì)量(品質(zhì))或可信度而觀測(cè)n次，其中多測(cè)的(n-1)次實(shí)際上是由測(cè)量人員根據(jù)需要自由選定的，故稱(chēng)之為“自由度”在A類(lèi)

25、標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定中，自由度用于表明所得的標(biāo)準(zhǔn)偏差的可靠程度。它被定義為“在方差計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制數(shù)”。按貝塞爾公式計(jì)算時(shí)，取和符號(hào)工后的項(xiàng)數(shù)等于n,而n個(gè)觀測(cè)值與其平均值x之差(殘差)的和顯然為零，即工(X-x)=0O這就是一個(gè)限制條i件，即限制數(shù)為1,故自由度v二n-1。通常，自由度等于測(cè)量次數(shù)n減去被測(cè)量的個(gè)數(shù)m,即v二n-m。實(shí)際上，自由度往往用于求包含因子k,如P果只評(píng)定U而不是U,則不必計(jì)算自由度及有效自由度。P4. 測(cè)量不確定度的評(píng)定和報(bào)告(1)測(cè)量不確定度的評(píng)定流程下圖簡(jiǎn)示了測(cè)量不確定度評(píng)定的全部流程。在標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量評(píng)定環(huán)節(jié)中，JJF1059-1999建議列表說(shuō)明

26、，即列出標(biāo)準(zhǔn)不確定度一覽表，以便一目了然。25開(kāi)始規(guī)定被測(cè)量第一步第二步第三步T第四步下圖簡(jiǎn)示了擴(kuò)展不確定度評(píng)定的流程。當(dāng)以U報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果時(shí)，可采用以下兩種形式之一，但均須指明k值。例如：u(y)=0.35mg，取包含因子k=2,U=2X0.35mg=0.70mg，貝Ic(a) m=100.02147g，U=0.70mg；k=2(b) m=(100.021470.00070)g；k=2當(dāng)以U報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果時(shí)，可采用以下四種形式之一，但均須指p明有效自由度v。eef例如：u(y)=0.35mg,v=9按p=95%，查JJF1059-1999測(cè)量ceef，不確定度評(píng)定與表示的附錄A表得k=t

27、(9)二2.26;p95U=2.26X0.35mg=0.79mg，則95(a)m=100.02147g；U=0.79mg，v=9。95eef(b) m=100.02147(79)g；v=9,括號(hào)內(nèi)為U之值，其末位與eef95前面結(jié)果內(nèi)末位數(shù)對(duì)齊。(c) m=100.02147(0.00079)g；v=9,括號(hào)內(nèi)為U之值，與eef95前面結(jié)果有相同計(jì)量單位。(d) m=(100.021470.00079)g；v=9,括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)為Ueef95之值。為明確起見(jiàn),建議用以下方式說(shuō)明：“式中,正負(fù)號(hào)后的值為擴(kuò)展不確定度U=ku(m),而合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(m)=0.35mg，自由度9595ccv=9,

28、包含因子k=t(9)=2.26,從而具有約95%概率的置信區(qū)間”eefp95報(bào)告最終測(cè)量結(jié)果時(shí)，應(yīng)注意有效位數(shù)：通常u(y)和U(或U)cp最多取2位有效數(shù)字，且y與y(y)或U(或U)的修約間隔應(yīng)相cp同。不確定度也可以相對(duì)形式u(y)或U報(bào)告。relrel三、測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度歸納上述內(nèi)容,可將測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度之間存在的主要區(qū)別列于下表測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度的主要區(qū)別序號(hào)內(nèi)容測(cè)量誤差測(cè)量不確定度1定義的要點(diǎn)表明測(cè)量結(jié)果偏離真值，是一個(gè)差值表明賦予被測(cè)量之值的分散性，是一個(gè)區(qū)間2分量的分類(lèi)按出現(xiàn)于測(cè)量結(jié)果中的規(guī)律，分為隨機(jī)和系統(tǒng)，都是無(wú)限多次測(cè)量時(shí)的理想化概念按是否用統(tǒng)計(jì)方法求得，

29、分為A類(lèi)和B類(lèi)，都是標(biāo)準(zhǔn)不確定度3可操作性由于真值未知，只能通過(guò)約定真值求得其估計(jì)值按實(shí)驗(yàn)、資料、經(jīng)驗(yàn)評(píng)定，實(shí)驗(yàn)方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)4表示的符號(hào)非正即負(fù)，不要用正負(fù)（士）號(hào)表示為正值，當(dāng)由方差求得時(shí)取其正平方根5合成的方法為各誤差分量的代數(shù)和當(dāng)各分量彼此獨(dú)立時(shí)為方和根，必要時(shí)加入?yún)f(xié)方差6結(jié)果的修正已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值時(shí)，可以對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，得到已修正的測(cè)量結(jié)果不能用不確定度對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正，在已修正結(jié)果的不確定度中應(yīng)考慮修正不完善引入的分量7結(jié)果的說(shuō)明屬于給定的測(cè)量結(jié)果，只有相同的結(jié)果才有相同的誤差合理賦予被測(cè)量的任個(gè)值，均具有相同的分散性8實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)源于給定的測(cè)量結(jié)果，不表示被測(cè)量

30、值估計(jì)的隨機(jī)誤差來(lái)源于合理賦予的被測(cè)量之值，表示同一觀測(cè)列中任一個(gè)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度9自由度不存在可作為不確定度評(píng)定是否可靠的指標(biāo)10置信概率不存在當(dāng)了解分布時(shí)，可按置信概率給出置信區(qū)間常用玻璃量器比對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)定一、目的用衡量法檢定10ml分度吸管。二、檢定步驟取容量50ml的潔凈量瓶，在電子天平上稱(chēng)量，去皮重（清零），用被檢定的10ml分度吸管分別加入總?cè)萘康?/10、半容量和總?cè)萘康募兯ㄗ粤饕嚎谄穑炱斤@示的數(shù)值即為被檢容量的質(zhì)量值（mQ），稱(chēng)完后將數(shù)字溫度計(jì)直接插入瓶?jī)?nèi)測(cè)溫，然后在JJG196-90衡量法用表（二）中查得質(zhì)量值（m）,根據(jù)公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)溫度20C時(shí)的實(shí)際容量

31、。三、被測(cè)量V 標(biāo)準(zhǔn)溫度20C時(shí)量器的實(shí)際容量（ml）20量器在標(biāo)準(zhǔn)溫度20C時(shí)的實(shí)際容量計(jì)算公式：V =V+（mm）/p2000w式中：V量器在標(biāo)準(zhǔn)溫度20C時(shí)的實(shí)際容量（ml）；20V量器的標(biāo)稱(chēng)容量（ml）；0m稱(chēng)得的純水質(zhì)量值（g）;0m衡量法用表（二）中查得的質(zhì)量值（g）;ptC時(shí)純水密度值，近似為1（g/ml）。w四、不確定度來(lái)源的識(shí)別根據(jù)被測(cè)量的計(jì)算公式可了解到，對(duì)被測(cè)量及其不確定度的影響主要有以下四個(gè)因素：1、V重復(fù)性不確定度u20v202、m測(cè)量不確定度u0（其中含檢定用電子天平的最大允許誤差0m0u0和彎液面調(diào)定讀數(shù)誤差引起的不確定度u0）m01m023、數(shù)字溫度測(cè)量誤差導(dǎo)致

32、m值的不確定度um五、不確定度分量的量化V重復(fù)性不確定度分量u201、20v20本次比對(duì)試驗(yàn)樣本為10ml分度吸管，按JJG196-90檢定規(guī)程要求,需對(duì)總?cè)萘康?/10、半容量和總?cè)萘窟M(jìn)行測(cè)量。兩天每個(gè)檢定點(diǎn)重復(fù)測(cè)量6次，測(cè)量結(jié)果如下：量器編號(hào)檢定日期40-312004.12.112004.12.122004.12.112004.12.122004.12.112004.12.12檢定點(diǎn)（ml）01010505010010平均實(shí)際容量(ml)1.00371.00395.01205.01249.99979.9977n次s(ml)60.005360.006860.005260.002760.004

33、260.0044、m測(cè)量不確定度u00m0電子天平經(jīng)檢定給出的最大允差引起的不確定度u0m01從檢定證書(shū)得知,AG204電子天平稱(chēng)量最大允許誤差為0.2mg,因沒(méi)有給定置信水平，有理由認(rèn)為可能是極限值，通常假定其為矩形分布，k=石將其最大允許誤差轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)不確定度u0，貝Iuo=0.2mg/扃=m01m010.12mg轉(zhuǎn)化容積為：u=1.2X10-4mlom01彎液面調(diào)定讀數(shù)誤差引起的不確定度u0m0210ml分度吸管其最小分度值為0.1ml,按分度值的1/5來(lái)估計(jì)讀數(shù)的分辨率為：0.1mlX1/5=0.02ml，其估計(jì)值是以最大區(qū)間形式作出并具有對(duì)稱(chēng)分布，服從三角分布，包含因子k=、7，故u0.02/60.008mlm02貝Iu=（U2+u2）1/2=（1.2X10-4）2+0.00821/2=0.008mlm0m01m023、數(shù)字溫度測(cè)量誤差產(chǎn)生m值的不確定度um根據(jù)WMY01型數(shù)字溫度計(jì)的技術(shù)指標(biāo)要求，050C的溫度允許誤差為：0.3C。測(cè)量1ml水的質(zhì)量時(shí)，當(dāng)用數(shù)字溫度計(jì)測(cè)得水溫為18.9C，查JJG196-90衡量法用表（二）得該溫度對(duì)應(yīng)的水的質(zhì)量值為0.99734g,考慮+0.3C的影響時(shí)，溫度為19.2C，對(duì)應(yīng)水的質(zhì)量值為0.99729g；考慮一0.3C的影響時(shí)，溫度為1