2018年高考天津卷理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件A,B互斥，那么P(4UB)=P(A)+

2、P(B)-如果事件A,B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(B).棱柱的體積公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高.棱錐的體積公式V二1Sh，其中S表示棱錐的底面面積，h表示棱3錐的高.一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.設(shè)全集為R,集合A=x0<x<2，B=xx>1，則AQB)二(A)x|0<x<1(B)x|0<x<1(C)x|1<x<2(D)x0<x<2x+y<5,(2)設(shè)變量x，y滿足約束條件<2xy<4,則目標函數(shù)z=3x+5y的最大x+y<1,y&

3、gt;0,值為(A)6(B)19(C)21(D)45閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20,則輸出T的值為(A)1(B)2(C)3(D)4習(xí)是是WAjV輸出F/設(shè)xeR，則“Ix-1K1”是“x3<1”的22(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件(5)已知a=log?。，b=ln2，c=log1，則a，b，c的大小關(guān)系為1 32(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>b>a(D)c>a>b(6)將函數(shù)y二sin(2x+|)的圖象向右平移晉個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(

4、B)在區(qū)間罟,兀上單調(diào)(D)在區(qū)間哥3上單(A)在區(qū)間圣，跡上單調(diào)遞增44遞減(C)在區(qū)間竺，跡上單調(diào)遞增42調(diào)遞減已知雙曲線乂-蘭二1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于a2b2X軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d和d，且d+d=6，則雙曲線的方程為1212(A)蘭-22=1(B)乂-22=1412124(C)乂-蘭=1(D)x2y2-13993如圖，在平面四邊形ABCD中，AB丄BC，AD丄CD，ZBAD=120。，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則AE-BE的最小值為(A)21(B)3(C)25(D)316216蕖(

5、S)題圈第II卷注意事項：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上2. 本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分i是虛數(shù)單位復(fù)數(shù)警=(10)的展開式中，x2的系數(shù)為(11)已知正方體ABCD-ABCD的棱長為1，除面ABCD外，該正方體1111其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為第(11)題圉(12)已知圓x2+y2-2x二0的圓心為C,直線Jx=-1+遼t,23近ty=3一丁t(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點，則ABC的面積為(13) 已知a,beR，且a-3b+6二0，則2。+丄的最小值為.8b(14

6、) 已知a>0，函數(shù)f(x)J"2+2股+"'x-若關(guān)于x的方程f(x)=axx2+2ax2a,x>0.恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.三. 解答題：本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.(15) (本小題滿分13分)在AABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c.已知兀bsinA=acos(B)-6(I) 求角B的大小；(II) 設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2AB)的值.(16) (本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間

7、的調(diào)查.(I) 應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(II) 若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”求事件A發(fā)生的概率.(17) (本小題滿分13分)如圖，AD/BC且AD=2BC，ad丄CD,EGHAD且EG二AD,CD/FG且CD=2FG，dg丄平面ABCD,DA=DC=DG=2.(I) 若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN平面CDE；(II) 求二面角EBCF的正弦值；(

8、III) 若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(18)(本小題滿分13分)設(shè)a是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項和為S(neN*)，b是nnn等差數(shù)列.已知a=1，a=a+2，a=b+b，a=b+2b-132435546(I) 求a和b的通項公式；nn(II) 設(shè)數(shù)列S的前n項和為t(neN*)，nn(i)求T；n(ii)證明2(Tk+bk12)bk=-2(neN*).(k+1)(k+2)n+2k=1(19)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓蘭+乂=i（ab0）的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的a2b2離心率為£，點A的坐標為,0），且|FB

9、|-|AB|=6邁.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：y=kx（k>0）與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若！AQ=空sinZAOQ（O為原點），求k的值.|PQ|4(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=logx'其中al.a(I) 求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；(II)若曲線y=f(x)在點(x,f(x)處的切線與曲線y=g(x)在點11(x,g(x)處的切線平行，證明x+g(x)=-2lnlna；2212lna(III) 證明當a>e：時，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

10、參考答案：一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分40分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A填空題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分30分(9)4-i(10)5(11)丄212(12)(13)(14)(4，8)24三、解答題（15）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分13分（I）解：在厶ABC中，由正弦定理sinAsinBL,可得bsinA=asinB，7又由bsinA=acos(B-)，得asinB=acos(B-)，即sinB=cos(

11、B-兀)，可得666tanB八3又因為BG（0，n），可得B-1*（II）解：在ABC中，由余弦定理及a-2,c-3,B-n，有3b2=a2+c2-2accosB=7，故b-門由bsinA=acos(B-n)，可得sinA斗因為ac，故cosA=吉因此cos2A=2cos2A-1=.sin2A=2sinAcosA=痘，7所以，血(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=473%2-7煜=詈16) 本小題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力滿分13分(I)解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比

12、為3:2:2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人(II)(i)解：隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).C37所以,隨機變量X的分布列為X0123P丄1218_4_35353535隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1X12+2X18+3=12.353535357(ii)解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=BUC，且B與C互斥，由(i)知，P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=

13、1),故P(A)=P(BUC)二P(X=2)+P(X=1)=6.7所以，事件A發(fā)生的概率為6.717) 本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識考查用空間向量解決立體幾何問題的方法考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力滿分13分依題意，可以建立以D為原點，分別以da,dc,DG的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），可得D（0,0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2),F(0,1，2)，G(0,0，2),M(0,3，1)，N(1，0,1，可得n=(1,0,-1)又MN=(1，-，1)，可得MN-n=0，0

14、MN20又因為直線MN電平面CDE,所以MN平面CDE.(II)解：依題意，可得BC=(-1,0,0),bE=(,-2,2)，CF=(0，-1，2)設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量，則竺=0即=0n-BE=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n二(0,1,1).設(shè)m二(x,y,z)為平面BCF的法向量，則尸竺=0即-x=0m-BF=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m二(0,2,1).因此有cosm,n二旦三二吏10，于是sinm,n二巴0.ImIInI1010所以，二面角E-BC-F的正弦值為込0.10(III) 解：設(shè)線段DP的長為h(hw0,2),則點P的坐標為(0,0

15、,h),可得BP二(_1,_2,h)易知，DC=(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量，故、BP-DC2cos<BP-DC=-»=-BPDCJh2+5由題意，可得2=sin60°=叵，解得hdw0,2h2+523所以線段DP的長為込.318) 本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查等差數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分.(I) 解：設(shè)等比數(shù)列a的公比為q由a=1,a=a+2,可得n132q2一q一2=0因為q0，可得q=2，故a=2n-1.n設(shè)等差數(shù)列b的公差為d,由a=b+b,可得b+3d=4.由n4351a=

16、b+2b,546可得3b+13d=16,從而b=1,d=1,故b=n.11n所以數(shù)列a的通項公式為a="，數(shù)列b的通項公式為b=n.nnnn1一2(II) (i)由(I),有S=2n-1，故=X(2k-1)=1l2kk=1k=12X(1-2n)一n=一n=2n+i一n一21-2(ii)證明：因為(T+b)b(2k+ik2+k+2)kk2k+i2k+22k+ikk+2帚=(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)k+2k+1(T+b)b2322、2423、2n+22n+12n+2以，kk+2齊=()+()+()=2.(k+1)(k+2)3243n+2n+1n+2k=1

17、19) 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力滿分14分(I)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知竺=5，又由a2=b2+c2,a29可得2a=3b由已知可得，|fb|=a,|ab|='込b，由|fb|ab|=6、込，可得ab=6，從而a=3，b=2.所以，橢圓的方程為蘭+蘭=1.94(II)解:設(shè)點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x,y).由1122已知有yy0，故IPQlsinZAOQ=y-y.又因為|aq|=，而Z1212sinZOABOAB=扌，故|aqI=血2由lAQ=晉sinz

18、aoq，可得5y=9y.y=kx，由方程組X2y2消去x，可得y=.6k易知直線AB的方程一=1，1V9k2+494為x+y-2=0，由方程組y=kx，Ix+y2=0，消去x，可得y=竺.由5y=9y，可得5(k+1)=3頃7+4，兩邊丿2k+112八處于4平方，整理得56k250k+11=0，228所以，k的值為1或11.22820) 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.(I)解：由已知,h(x)=ax一xIna，有h(x)=axIna一Ina

19、令h'(x)二0，解得x=0.由al,可知當x變化時，h(x)，h(x)的變化情況如下表:x(-®o)h(x)h(x)0(0,+如0+極小值7所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(一。0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).(H)證明：由f'(x)=axIna，可得曲線y=f(x)在點(x,f(x)處的切線斜率為axilna.xlna22由g/(x)二，可得曲線y二g(x)在點(x,g(x)處的切線斜率為xlnaxlna2因為這兩條切線平行，故有axilna，即xalna)2=1.兩邊取以a為底的對數(shù)，得logx+x+2loglna二0，所以2lnlna曽g(叮一飛廠(III)證明：曲線y二f(x)在點(x,axj處的切線丄：111y-ax】=ax】lna-(x-x)111曲線y=g(X)在點(x,logx)處的切線1:y-logx(x-x)2a22a2xlna22時，存在要證明當a>e：時，存在直線1，使1是曲線y二f(x)的切線，也是曲線y二g(x)的切線，只需證明當a>e：xG(0,+8)，使得l和l重合.212即只需證明當a>e：時，方程組1xlna2ax1-xax1lna二log1ax1lna二x2lna有解，112lnlna+二0-由得x=2ax1(lna)21，代入，得axx一xa*lna+x+11l