(完整版)無窮級數總結

1、無窮級數總結n=1、概念與性質1.定義：對數列u,u，,u，藝u稱為無窮級數，u稱為一般項；若部分和12nnnn=1數列S有極限S,即limS=S，稱級數收斂，否則稱為發(fā)散.nnthn2. 性質 設常數c豐0，則工u與工cu有相同的斂散性；nnn=1n=1 設有兩個級數另u與另v，若另u=s，另v=o，則另(u土v)=s±a;nnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1（u土v）發(fā)散;nnn=1若另u收斂，另v發(fā)散，則另nnn=1n=1若另u，另v均發(fā)散，則另(u±v)斂散性不確定；nnnnn=1n=1n=1 添加或去掉有限項不影響一個級數的斂散性； 設級數藝u收斂，則對其各

2、項任意加括號后所得新級數仍收斂于原級數的和.nn=1注：一個級數加括號后所得新級數發(fā)散，則原級數發(fā)散; 一個級數加括號后收斂，原級數斂散性不確定.級數另u收斂的必要條件：limu=0；nn.nsn=1注：級數收斂的必要條件，常用判別級數發(fā)散；u=0nns若limu=0，則另u未必收斂;nn=1若另u發(fā)散，則limu=0未必成立nnnthn=1二、常數項級數審斂法1. 正項級數及其審斂法 定義：若u>0，則另u稱為正項級數.nnn=1 審斂法：(i)充要條件：正項級數另u收斂的充分必要條件是其部分和數列有界.(ii)比較審斂法：設另u與另v都是正項級數，且u<v(n=12)，nnnn

3、n=1n=1則若收斂則收斂；若發(fā)散則發(fā)散.A. 若收斂，且存在自然數N，使得當n>N時有u<kv(k>0)成立，則收nn斂；若發(fā)散，且存在自然數N，使得當n>N時有u>kv(k>0)成立，則nn 發(fā)散；B. 設藝u為正項級數，若有p>1使得u<丄(n=1,2,)，則另u收斂；若nnnpnn=1n=1u>丄(n=1,2,)，則另u發(fā)散.nnnC.極限形式：設另u與另vnnn=1n=1n=1都是正項級數，若lim=l(0<l<+s)，則nfgvn另u與另v有相同的斂散性.nnn=1n=1注：常用的比較級數：幾何級數：a£a

4、rnt=v1rn=1發(fā)散Ir|<1Ir|>1級數：藝丄收斂npn=1發(fā)散p>1時p<1時調和級數：另1=1+1+1+發(fā)散.n2nn=1(iii)比值判別法(達郎貝爾判別法)設藝a是正項級數，若nn=1liman+1=r<1，則藝a收斂；lim°n門=r>1，則藝a發(fā)散.anannT+gnT+gnn=1nn=1=1，推不出級數的斂散.例藝1與藝丄，雖然nn2n=1n=1注：若liman+1=1，或lim；：anT+gnf+ganalimn+1=1，nf+gan但藝1發(fā)散，而藝丄收斂.nn2n=1n=1(iv)根值判別法(柯西判別法)設藝a是正項級數，

5、lim；：a=p，若p<1，n甲nnT+g=l>0且p<1，則級級數收斂，若P1則級數發(fā)散.(v)極限審斂法：設u>0，且limnpu=l，則limnpunnnsns=l(0<l<+x),則其收數藝u發(fā)散；如果p>1，而limnpunnsn=1斂.(書上P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會使用比較判別法.正項級數的比(根)值判別法不能當作收斂與發(fā)散的充要條件，是充分非必要條件.2. 交錯級數及其審斂法定義：設u>0(n=1,2,)，則區(qū)(-1)n-1u稱為交錯級數.nnn=1審斂法：n+1nns萊布尼茲定理：對

6、交錯級數藝(-1)n-iu，若u>u且limu=0,n=1注：比較u比值法，差值法，則藝(1)n-1unn=1與u的大小的方法有三種：n+1即考察匚是否小于1；un收斂.即考察uu是否大于0；nn+1 由u找出一個連續(xù)可導函數f(x)，使un3. 一般項級數的判別法：=f(n),(n=1,2,)考察廣(x)是否小于0.若藝u絕對收斂，則藝u收斂.nnn=1n=1 若用比值法或根值法判定藝|uI發(fā)散,nn=1則另u必發(fā)散.nn=1三、冪級數1. 定義：£axn稱為冪級數.nn=02. 收斂性阿貝爾定理：設冪級數芳axn在x0豐0處收斂，則其在滿足Ix|<|x|的所n00n=

7、0有x處絕對收斂反之，若冪級數藝axnnn=0在X處發(fā)散，則其在滿足|x卜|xj的所有x處發(fā)散.收斂半徑(i)定義：若冪級數在x=x°點收斂，但不是在整個實軸上收斂，則必存在一個正數R,使得當|時，冪級數收斂；當|>R時，冪級數發(fā)散；R稱為冪級數的收斂半徑.(ii)求法：設冪級數藝axn的收斂半徑為R，其系數滿足條件lim汕nnT+8aR=；當l=0時'R=+g，n=0n或limnIa'=l，則當0<l<+a時,nnT+g當l=+g時，R=0注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異前一個可直接用公式，后一個則須分奇、偶項(有時會出現更復雜的情況)分別來求在

8、分成奇偶項之后，由于通項中出現缺項，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數項級數收斂性的方法(iii)收斂半徑的類型A.R=0，此時收斂域僅為一點;B. R=+g，此時收斂域為(g,+g);C. R=某定常數，此時收斂域為一個有限區(qū)間3. 冪級數的運算(略)4. 冪級數的性質若冪級數的收斂半徑R>0，則和函數S(x)=藝axn在收斂區(qū)間(R,R)內連續(xù).nn=0若冪級數的收斂半徑R>0，則和函數S(x)=藝1axn在收斂區(qū)間(R,R)內可導,nn=0且可逐項求導，即S，(x)=(另axn)，=藝(axn)，=藝naxn1，收斂半徑不變nnnn=0n=0n=1 若冪級數的收斂半徑

9、R>0，則和函數S(x)=藝axn在收斂區(qū)間(R,R)內可積,nn=0且可逐項積分，即JxS(t)dt=0Jx(藝0n=0atn)dt=n刃xn=00atndt(xe(R,R)n收斂半徑不變5. 函數展開成冪級數 若f(x)在含有點x0的某個區(qū)間I內有任意階導數，f(x)在x0點的n階泰勒公式為f(x)=f(x0)+f，(x0)(x-x0)+_2F(x_x0)2+"；0)(x_x0)+-堂(x-x)(n+1)，記R(x)=-Q(x-x)(n+l)，g介于x,x0之間，則f(x)在(n+1)!0n(n+1)!00I內能展開成為泰勒級數的充要條件為limR(x)=0,VxeI-nn

10、T+g 初等函數的泰勒級數(x0=0)n!n=0ii)iii)+g(-1)n-1x2n-1smx=,(2n-1)!n=1¥(-1)nx2ncosx=(2n)!n=0,xe(_g,+g)；,xe(-g,+g)；iv)v)ln(1+x)=藝(1)",xe(-1,1；n+1n=0(1+x)«=1+2©-1)©-n+1)n=1n!xn,xe(_l,l),QeR)；(i)ex=藝,xe(_g,+g)；-=藝(-1)nxnJxI<1.1+xn=0vi)-=藝xn,|x|<1；1-xn=06. 級數求和冪級數求和函數解題程序(i)求出給定級數的收

11、斂域；(ii)通過逐項積分或微分將給定的冪級數化為常見函數展開式的形式(或易看出其假設和函數s(x)與其導數s，(x)的關系)，從而得到新級數的和函數；注：系數為若干項代數和的冪級數，求和函數時應先將級數寫成各個冪級數的代數和，然后分別求出它們的和函數，最后對和函數求代數和，即得所求級數的和函數數項級數求和(i)利用級數和的定義求和，即limS=s，則另u=s，其中nnnTgn=1s=u+u+u=¥u根據s的求法又可分為：直接法、拆項法、遞n12nknk=1推法.A. 直接法：適用于蘭u為等差或等比數列或通過簡單變換易化為這兩種數列；kk=1B. 拆項法：把通項拆成兩項差的形式，在求

12、n項和時，除首尾兩項外其余各項對消掉(ii)阿貝爾法(構造冪級數法)藝aIn=0=limaxn，xt1-nn=0其中冪級數yaxn，可通nn=0過逐項微分或積分求得和函數S(x).因此藝an=0=lims(x)x1四、傅里葉級數1.定義定義1：設f(x)是以2為周期的函數，a=卜f(x)cosnxdx=J2Kn兀-冗兀0b=卜f(x)sinnxdx=J2Kn兀-冗兀0稱為函數f(x)的傅立葉系數.且在-兀,?；?,2兀上可積，則f(x)cosnxdx,(n=0,1,2),f(x)sinnxdx,(n=1,2,),定義2：nn=1以f(x)的傅立葉系數為系數的二角級數a+另(acosnx+bsi

13、nnx)-20nn稱為函數f(x)的傅立葉級數，表示為y+(acosnx+bsinnx)nnn=定義3:設f(x)是以2l為周期的函數，且在-l,l上可積，則以a=-Jlf(x)cosxdx,(n=0,1,2)，nlllb=-J另n兀n兀f(x尸a+(acosx+bsinx).0nlnln=12收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設函數f(x)在區(qū)間-冗,冗上滿足條件除有限個第一類間斷點外都是連續(xù)的；只有有限個極值點,f(x)sin竺xdx,(n=1,2)為系數的三角級數nlll1 a+y(acosnx+bsin匹x)稱為f(x)的傅立葉級數，表示為2 0nlnln=1則f(x)的傅立葉級數在-兀,

14、兀上收斂，且有0+另(acosnx+bsinnx)=2nnn=1f(x),x是f(x)的連續(xù)點；2f(x0-0)+f(x0+0),x0是f(x)的第一類間斷點；f(兀+0)+f(兀一0),x=±兀3. 函數展開成傅氏級數周期函數(i)以2“為周期的函數f(x):f(x)弘+無acosnx+bsinnx2nnn=1_兀a=丄卜f(x)cosnxdx(n=0,1,2,)，b=J"f(x)sinnxdx(n=1,2,)；n“-“n“注：右f(x)為奇函數，則f(x)另bsinnx(正弦級數)，a=0(n=0,1,2,)nnn=12"b=J"f(x)sinnxd

15、x(n=1,2,);n"0若f(x)為偶函數，則f(x)亠+另acosnx(余弦級數),2nn=12"a=f(x)cosnxdx(n=0,1,2,)，b=0(n=1,2,).n"0n(ii)以21為周期的函數f(x):f(x)作+藝a2n=1a=-J'f(x)cosxdx(n=0,1,2,)，nl-ll注：若f(x)為奇函數，則f(x)£bsin巴xInn=1n兀n兀、cosx+bsinx)nb=Af(x)sinxdx(n=1,2,)；n-(正弦級數),an=0(n=0,1,2,)b=1f(x)sinxdx(n=1,2,)；n101若f(x)為偶

16、函數，則f(x)+a2n=12in兀a=f(x)cosxdx(n=0,1,2,)，nl0l非周期函數(i)奇延拓：n兀cosx，1(余弦級數)b=0(n=1,2,).nA.f(x)為0,兀上的非周期函數，令F(x)=f(x),°<x<K，則F(x)除x=0外在I-f(-x),兀<x<0-","上為奇函數，f(x)bsinnx(正弦級數)，b=f(x)sinnxdxnn"0n=1(n=1,2,)；B.f(x)為0,1上的非周期函數，則令F(x)=f(X),°-X-1，則F(x)除x=0外I-f(-x),-1<x<°在-K,冗上為奇函數，f(x)蘭bsin匹x(正弦級數)，bnlnn=1=j1f(x)sin蘭-xdXlol(n=1,2,).(ii)偶延拓:A.f(x)為0,兀上的非周期函數，令F(x)=f(x),0<x<K，f(-x),兀&l