(完整版)多元線性回歸模型公式

1、二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個(多于兩個)要素之間也存在著相互影響、相互關聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。(一)多元線性回歸模型的建立假設某一因變量y受k個自變量X,x,x的影響，其n組觀測值為(y,X,x，,x),12ka1a2akaa=1,2,.,n。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：y+Px+Px+.+Px+&(3.2.11)a011a22akkaa式中：PP,.,P為待定參數(shù)；0,1k為隨機變量。a如果b,b，,b分別為P,P,P,P的擬合值，則回歸方程為01k012k=b+bx+bx+.+bx（3212）01122kk式中：bo為常數(shù);b,b

2、,.,b稱為偏回歸系數(shù)。12k偏回歸系數(shù)b(i=1,2,.,k)的意義是，當其他自變量x.(jHi)都固定時，自變量x每iji變化一個單位而使因變量y平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，P(i=0,1,2,.,k)的估計值b(i=0,1,2,.,k)應該使iia=1（b+bx+bx+.+bxa011a22akkaTmin（3.2.13）有求極值的必要條件得a=13.2.14）將方程組(3.2.14)式展開整理后得：nb+(x)b+(x)b+.+(x)b=2ka(x)b1a(an=1x)b2aa=1x)b+.2a2a=1xx)b1akak=xy1aa(x)bka0+(xx)b1aka1a=1a=

3、1x2)b+.+(xx)b2a22akaka=1+xx)b+2aka2(x2)bkaka=1方程組（3.2.15）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：b=(b)0b1b2(y1,Yy2,Xx2aya2aaa=1nxykaaa=1a=13.2.15)Ibk丿(1A=XTX=x11x12x21x22xk2xk3x1ax1aan=1x2aa=1kaan=1x21axx1a2aa=1xx1aka(1xx.x1121k11xxx1222k21xxx1323k3.1xx.x丿1n2nknx13x23x1nx2n1(1xkn丿2axx1a2ax22aa=1xx2akaa=1xx1121xx1222

4、xx1323xx1n2nkaa=x1xxx1akak1xk2xk3xx2akaa=1x2ka丿xkn(111xxx111213XTY=xxx212223.、xxxk1k2k3a=1a=1a=1ayaya則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進一步寫成矩陣形式Ab二B(3.2.15)求解（3.2.15）式可得：b二A-iB二(XtX)-iXtY(3.2.16)如果引入記號：L=L二工(x一x)(x一x)(i,j=1,2,.,k)ijjiiaijaja=1yL=(x一x)(y一y)(i=1,2,.,k)iyiaiaa=1則正規(guī)方程組也可以寫成：Lb+Lb+.+Lb=L1111221kk1yLb+Lb+

5、.+Lb=L2112222kk2y(3.2.15)Lb+Lb+.+Lb=Lk11_k2_2kkkkyb=y一bx一bx一.一bx01122kk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗與一元線性回歸模型一樣，當多元線性回歸模型建立以后，也需要進行顯著性檢驗。與前面的一元線性回歸分析一樣，因變量y的觀測值y,y，,y之間的波動或差異，是由兩個因12n素引起的，一是由于自變量x,x，,x的取之不同，另一是受其他隨機因素的影響而引起12k的。為了從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進行方差分析，也就是將y的離差平方和ST或（Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和U與剩余平方和Q：S=L=U+QTyy在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有k個自變量對y的變差的總影響，它可以按公式U=工（yy）=ybLaiiya=1i=1計算，而剩余平方和為Q=工（y-F/=l-uaayya=1以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回歸分析中，各平方和的自由度略有不同，回