復(fù)變函數(shù)西安交大　拉普拉斯變換學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)西安交大拉普拉斯變換西安交大拉普拉斯變換第一頁，共52頁。在在 所確定的某一域內(nèi)收斂所確定的某一域內(nèi)收斂, ,則由此積分則由此積分(jfn)(jfn)所確定的所確定的函數(shù)可寫為函數(shù)可寫為 ( )f t0t0( )(stf t edts 是一個(gè)復(fù)參量是一個(gè)復(fù)參量） s0( )( )stF sf t edt我們稱上式我們稱上式為函數(shù)為函數(shù) 的拉普拉斯變換式的拉普拉斯變換式 , ,記做記做( )f t( )F s ( )f t叫做叫做( )f t的拉氏變換的拉氏變換, ,象函數(shù)象函數(shù). .( )F s叫做叫做的拉氏逆變換的拉氏逆變換, ,象原函數(shù)象原函數(shù), ,(

2、)ft=( )f t( )F s1( )F s第1頁/共51頁第二頁，共52頁。 的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),亦即存在(cnzi)常數(shù) 若函數(shù)若函數(shù)(hnsh)( )f t滿足下列條件滿足下列條件 在在0t 的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù)的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù), , 0t 時(shí)時(shí), , ( )0f t 當(dāng)當(dāng)t 時(shí)時(shí), , ( )f t0,M 及0C ,使得使得 0c tf tMet 成立成立, ,則函數(shù)則函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換( )f t0( )( )stF sf t edt在半平面在半平面 上一定存在上一定存在. .此時(shí)右端的積分絕對收斂而此時(shí)右端的積分絕對收斂而且一致收斂且一致

3、收斂. .并且在此半平面內(nèi)并且在此半平面內(nèi) 為解析函數(shù)為解析函數(shù) Re s C F s第2頁/共51頁第三頁，共52頁。記記+ dtetftfst0)()(-dtetftfst0)()(000)()(dtetfdtetfstst0)(0)(00 dtetfttfst附附近近有有界界時(shí)時(shí)，在在當(dāng)當(dāng)即即+ )(tf-)(tf處處包包含含了了脈脈沖沖函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，在在但但當(dāng)當(dāng)0)( ttf+ )(tf-)(tf0)(00 dtetfst即即 應(yīng)應(yīng)理理解解為為 0)()(dtetftfst-)(tf但仍記作但仍記作 )(tf第3頁/共51頁第四頁，共52頁。1)()()(00tstststedtetd

4、tett例例2 求單位求單位(dnwi)階躍函數(shù)階躍函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 u t解解: 1t 例例1 求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù)(hnsh) 的拉氏變換的拉氏變換 t解解: : 011( )00ststu tedteRe sss 1u ts)0)(Re(s第4頁/共51頁第五頁，共52頁。例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換(binhun) ( )k tf te.kR解解: : ()001( )ktsts k tf te edtedtRe sksk 1ktesk 例例4 求單位求單位(dnwi)斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 000ttt u ttt解解: : 20011

5、1( )00sts tstttedtteedtRe ssss 21( )( )ttu ts )0)(Re(s)(Re(ks 第5頁/共51頁第六頁，共52頁。例例5 求冪函數(shù)求冪函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換(binhun) 1ntn 解解: : 1010nnstnntt edtRe ss 1!nnnts 當(dāng)當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí), , 1!0nnntRe ss ), 0)(Re(Nns !)1()()1()0()(01mmmmmmmdttemmt 為正整數(shù)時(shí)，為正整數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)）遞推公式遞推公式且且第6頁/共51頁第七頁，共52頁。例例6 求正弦求正弦(zhngxin)函數(shù)函數(shù) 的拉氏變換的拉氏

6、變換 ( ) sin)f tktk R ( 解解: : 則則22200sinsinststkkktedtktedtss所以所以(suy) 22sin0kktRe ssk 00sin1sin)(ststdektsdtekttf 00cossin1dtektkktesstst 002coscosststktdeskdtektsk 002sincosdtektkkteskstst第7頁/共51頁第八頁，共52頁。即即22sinkktsk)0)(Re(s同理可得同理可得22cossktsk如如 22sin204tRe ss 2cos309stRe ss )0)(Re(s第8頁/共51頁第九頁，共52頁

7、。例例7 求求: :變換。變換。的的Laplacetuetetftt)0()()()( 解解: : 0)()(dtetftfst dtetuetesttt 0)()( dtedtettsts 00)()()( 0)(0)(tsttsese )0)(Re(1 ssss第9頁/共51頁第十頁，共52頁。 是周期(zhuq)為當(dāng)當(dāng) 在一個(gè)周期在一個(gè)周期(zhuq)(zhuq)上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí)上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí), ,則有則有這是求周期函數(shù)拉氏變換公式這是求周期函數(shù)拉氏變換公式 ( )f tT的周期函數(shù)的周期函數(shù),即即()f tT( )(0)f tt ( )f t可以證明可以證明: :若若01( )1

8、 t Tss Tf t edte ( )f t第10頁/共51頁第十一頁，共52頁。例例8 200cos)(2)(ttttftf周周期期內(nèi)內(nèi)的的表表達(dá)達(dá)式式為為個(gè)個(gè)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)，且且在在一一是是以以設(shè)設(shè)求求: : )(tf解解: :)(tf dtetfests 202)(11dtetests 02cos11sssseesssee 221)1()(11 兩次分部(fn b)積分第11頁/共51頁第十二頁，共52頁。1212( )( )( )( )f tftF sF s7.2.1 7.2.1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)(xngzh) (xngzh) , 設(shè)設(shè)為常數(shù)為常數(shù)(chngsh) (chn

9、gsh) 則則 11212( )( )( )( )F sF sf tft1( )F s1( )f t 2( )F s2( )f t 第12頁/共51頁第十三頁，共52頁。例例9 求求: :變變換換。的的Laplacetttf2cos3)(4 解解: : )(tf 43t t 2cos4724! 432525 ssssss第13頁/共51頁第十四頁，共52頁。若若= ( )F s()f t 0a 則則 ( )f at 1sFaa 1( )()sFaf ata第14頁/共51頁第十五頁，共52頁。0t( )F s ( )f t例例10 求函數(shù)求函數(shù)) 0( 10)(bbtbtbtu的拉氏變換的拉氏

10、變換(binhun)解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi) 1( )( )u tF ss 所以所以 1()sbu tbes 若若為非負(fù)實(shí)數(shù)，則為非負(fù)實(shí)數(shù)，則)()(00sFettfst)()(010ttfsFest第15頁/共51頁第十六頁，共52頁。a( )()ate f tF s a ( ),F s ( )f t若若為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)(chngsh)，則則第16頁/共51頁第十七頁，共52頁。( 為正整數(shù)為正整數(shù)). 例例11 求求解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi) sin,atekt 1!()at nnnetsa n 22sinkktsk 1!nnnts 所以所以(

11、suy) 22sin()atkektsak at net第17頁/共51頁第十八頁，共52頁。則則一般一般(ybn)(ybn)地地, , ( )( )(0)f tsF sfRe sC ( ),F s ( )f t若若( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff 特別特別(tbi)(tbi)地地, ,當(dāng)當(dāng)(1)(0)(0)(0)(0)0nffff時(shí)時(shí), ,( )( )( )nnfts F s 可以可以(ky)證明證明( )( )nnts 7.2.47.2.4微分性質(zhì)微分性質(zhì)(1) (1) 原象函數(shù)的微分性質(zhì)原象函數(shù)的微分性質(zhì)第18頁/共51頁第十九頁，共52頁

12、。nnsF) 1()()()(tftn若若( )F s則則( )tf t從而從而(cng r)( )( )tf tF s ( ),F s ( )f t1( )( )F stf t 一般一般(ybn)(ybn)地地, ,有有從而從而)(tftn)() 1()(sFnn第19頁/共51頁第二十頁，共52頁。例例1212 求函數(shù)求函數(shù)sintkt解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) (yn wi) 同理同理, , 2222222cosdssktktdssksk 22sinkktsk所以所以(suy), 222222sindkkstktdssksk 第20頁/共51頁第二十一頁，共52頁。例例13 求求

13、: :變換。的Laplacettetftcos)(解解1:1: ,cos22 sst由象函數(shù)由象函數(shù)(hnsh)(hnsh)的位的位移性質(zhì)移性質(zhì), ,得得 ,)(cos22 sstet再由象函數(shù)的微分再由象函數(shù)的微分(wi (wi fn)fn)性質(zhì)性質(zhì), , 22222)()( ss 22)(cos)( ssttetft解解2:2: 2222222)(cos sssstt 22222)()(cos)( ssttetft 第21頁/共51頁第二十二頁，共52頁。若若0( )( )tF sf t dts則則10( )( )tF sf t dts( ),F s ( )f t(1) (1) 象原函數(shù)的

14、積分象原函數(shù)的積分(jfn)(jfn)性質(zhì)性質(zhì) 一般一般(ybn)地地0001( )( )tttnn dtdtf t dtF ss 次次第22頁/共51頁第二十三頁，共52頁。且積分且積分(jfn) (jfn) 收斂收斂若若( )( )sf tF s dst 則則( ),F s ( )f t(2) (2) 象函數(shù)的積分象函數(shù)的積分(jfn)(jfn)性質(zhì)性質(zhì) 一般一般(ybn)地地( )( )nsssn f tdsdsds F st 次次( ) sF s ds或或ttf)(sdssF)(1復(fù)數(shù)中的復(fù)數(shù)中的是對應(yīng)與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)是對應(yīng)與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn),實(shí)部、虛部與幅角的概念對它實(shí)部、虛部

15、與幅角的概念對它均無意義均無意義,但它的模則規(guī)定為正無窮但它的模則規(guī)定為正無窮大大,即即| |=+|=+）但但可可為為：的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算作作如如下下規(guī)規(guī)定定關(guān)關(guān)于于 , 0(0)(, 0),0()(,aaaaaaaaaaaaa第23頁/共51頁第二十四頁，共52頁。推論推論(tuln)若若則則( ),F s ( )f t且積分且積分(jfn) (jfn) 收斂收斂( ) sF s ds00( )( )f tdtF s dst 例例14 14 求求 0sin ttdtt 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi) 21sin1ts所以所以2sin1arctanarctan12sstdssst

16、s 2000sin1arctan12tdtdssts 順便可得順便可得ssdtttt)arctan2(sin0即得。中令在0)()()(0sdssFdtettfttfsstisisis11ln2arctan第24頁/共51頁第二十五頁，共52頁。(1)(1)0,)上的卷積定義上的卷積定義(dngy) 若函數(shù)若函數(shù)(hnsh)1( ),f t2( )f t, ,滿足滿足 時(shí)都為零時(shí)都為零, ,稱為函數(shù)稱為函數(shù)1( ),f t2( )f t在在 上的卷積上的卷積. .1( )f t2( )f t0t 則則0,)dtffdtffdtffdtfftt)()()()()()()()(2120120121

17、dtfft)()(201第25頁/共51頁第二十六頁，共52頁。卷積滿足卷積滿足(mnz)下列性質(zhì)下列性質(zhì)1221( )( )( )( )f tf tf tf t1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t )()()()()()(321321tftftftftftf1)2)3)4)()()()(2121tftftftf第26頁/共51頁第二十七頁，共52頁。例例15 15 對函數(shù)對函數(shù)(hnsh)(hnsh) 11ft 計(jì)算計(jì)算(j sun) (j sun) 上上的卷積的卷積 解解:2,( )tf te0,) dtfftftft)()(

18、)()(02121 dett)(01 ttdee0 )1( tteete 1第27頁/共51頁第二十八頁，共52頁。例例1616 求求:)0()()( atfat 解解: tdtfatfat0)()()()( 此積分為零。此積分為零。時(shí)，時(shí)，且且當(dāng)當(dāng) , 0)(0atat 時(shí)時(shí)，積積分分且且當(dāng)當(dāng)tat 0 tdtfa0)()( dtfaaaata)()(0 aadtfa )()( dtfa)()()()(atftfa atatfattfat)(0)()( 第28頁/共51頁第二十九頁，共52頁。(2)(2)拉氏變換拉氏變換(binhun)(binhun)的卷的卷積定理積定理 若若則則11212

19、( )( )( )( )F s F sf tf t1212( )( )( )( )f tf tF s F s1( ),F s 1( )f t2( ),F s 2( )f t注：上述定理注：上述定理(dngl)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形第29頁/共51頁第三十頁，共52頁。例例1717 已知已知 12,( ,mnf ttfttm n為正整數(shù)為正整數(shù)) )求求 在在 上的卷積上的卷積12( )( ).f tf t0,)解解 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)所以所以(suy) 2121!)()(nmsnmtftf )()()()(2121sFsFtftf nmtt 11!

20、nmsnsm2! nmsnm 21)!1()!1(!nmsnmnmnm1)!1(! nmtnmnm第30頁/共51頁第三十一頁，共52頁。根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 102js tjf tF s e dstj 右端的積分稱為(chn wi)拉氏反演積分.它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分,但計(jì)算比較麻煩. 第31頁/共51頁第三十二頁，共52頁。( )( )nnts22cossktsk一些常用一些常用(chn yn)函數(shù)的拉氏變函數(shù)的拉氏變換對換對( )1t 1( )u ts1ktesk1!nnnts22sinkktsks11第32頁/共51頁第三十三頁，共52頁。

21、11212( )( )( )( )F sF sf tf t1( )()sFaf ata0100( )() ()steF sf t t u t t 1()( )a tF saf t e 1( )( )F stf t 11212( )( )( )( )F s F sf tf t10( )( )tF sf t dts1( )( )sf tF s dst 第33頁/共51頁第三十四頁，共52頁。例例18 18 已知已知 11F ss s求求( )f t解解 11111F ss sss所以所以(suy) 1tf te 例例19 19 已知已知 211sF ses求( )f t解解所以所以(suy) si

22、n11f ttu t121sin1ts01000( )() (),1steF sf t t u t tt 部分部分(b fen)分式法分式法第34頁/共51頁第三十五頁，共52頁。 325sssF ss 例例20 20 已知已知求求( )f t解解所以所以(suy) 5f tttt 322551sssF sssss 22529sF ss例例21 21 已知已知求求( )f t解解所以所以(suy) 2212cos3sin33ttf tetet 222222225133292323ssF ssss第35頁/共51頁第三十六頁，共52頁。 )0()(Re)(21)(, 0)()Re()(,121

23、tesFsdsesFjtfsFsssFsssnkstssjjstnk 則有則有時(shí)，有時(shí)，有且當(dāng)且當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)），的范圍內(nèi)），使這些奇點(diǎn)全在使這些奇點(diǎn)全在（選取適當(dāng)（選取適當(dāng)?shù)乃衅纥c(diǎn)的所有奇點(diǎn)是函數(shù)是函數(shù)設(shè)設(shè)定理定理(dngl)特別特別(tbi)當(dāng)當(dāng)，的的次次數(shù)數(shù)是是且且），高高次次要要比比分分子子最最高高次次高高都都是是多多項(xiàng)項(xiàng)式式，且且分分母母最最即即是是不不可可約約的的有有理理真真分分式式nsBsBsAsBsAsF)()(),()()()( 第36頁/共51頁第三十七頁，共52頁。,)(,)()(21個(gè)個(gè)一一級級零零點(diǎn)點(diǎn)）的的即即為為個(gè)個(gè)一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)有有若若nsBsssnsBsAn(1

24、)(1)(2)(2)）是是它它的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)，（級級零零點(diǎn)點(diǎn)），的的一一個(gè)個(gè)（即即為為級級極極點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)若若nmmksmsBsmsBsAk21)()()(1 上述兩個(gè)上述兩個(gè)(lin )(lin )公式也稱為公式也稱為HeavisideHeaviside展開式展開式. .)0()()()(1 tesBsAtfnktskkk則則)0()()()()()(lim)!1(1)(11111 tesBsAesBsAssdsdmtftsnmkkkstmmmssk則則第37頁/共51頁第三十八頁，共52頁。例例22 22 利用利用(lyng)(lyng)留數(shù)方法求留數(shù)方法求 的逆變換的逆變換1)

25、(2sssF解解: :,)(21jsjssF 有有兩兩個(gè)個(gè)一一級級極極點(diǎn)點(diǎn))0(cos)(21 tteejtjtjsstjsstessesssstf )1()1(1)(2221第38頁/共51頁第三十九頁，共52頁。例例23 23 求求 的逆變換的逆變換) 1(1)(2sssF解解1:1:的二級極點(diǎn)，的二級極點(diǎn)，是是的一級極點(diǎn)，的一級極點(diǎn)，是是)(0)(1sFssFs 20)1()1(lim sesteeststst1 tet留數(shù)方法(fngf) )1(1)(21sstf123)(1 sstess stsesssdsd)1(1)0(lim)!12(1220第39頁/共51頁第四十頁，共52頁。

26、解解2:2:部分部分(b fen)分式法分式法1)1(1)(22 sCsBsAsssF設(shè)設(shè)則比較則比較(bjio)(bjio)分子分子 的同次冪系數(shù)的同次冪系數(shù), ,得得 100BBACA 111CBA )1(1)(21sstf 111121ssstet 1s)1()1()1(22 ssCssBsAs第40頁/共51頁第四十一頁，共52頁。7.4.17.4.1常系數(shù)常系數(shù)(xsh)(xsh)線性微分方程的拉普拉斯變線性微分方程的拉普拉斯變換解法換解法 利用拉普拉斯變換可以(ky)比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下: （1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì)

27、,對微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程; （2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù); （3）對象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.第41頁/共51頁第四十二頁，共52頁。( (微分、積分微分、積分(jfn)(jfn)方程的方程的LaplaceLaplace變換解法變換解法) )微分微分(wi fn)、積分、積分方程方程取取LaplaceLaplace變換變換(binhun)(binhun)象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程解代數(shù)解代數(shù)方程方程 象函數(shù)象函數(shù)取取Laplace逆變換逆變換象原函數(shù)象原函數(shù)( (方程的解方程的解) )第42頁/共51頁

28、第四十三頁，共52頁。例例24 24 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)23tyyye滿足滿足(mnz)初始條件初始條件 00y 01y的解的解 解解 設(shè)設(shè) ( )y tY s 211231s Y ssY sY ss 3112884( )113113sY sssssss解得解得所以所以(suy) 3131488ttty teee )0()()0()0()(2yssYyysysYsy 對方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得對方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得第43頁/共51頁第四十四頁，共52頁。例例25 25 求微分方程求微分方程(wi

29、fn fn chn) (wi fn fn chn) 滿足初始條件滿足初始條件tteyyy 22)0(, 1)0(yy的解的解. .解解 設(shè)設(shè) ( )y tY s )0()()0()0()(2yssYyysysYsy 11)() 1)(2)2)(2ssYssYssYssssYss22) 1(1)() 12(24) 1() 1(1)(ssssY24) 1(111) 1(1sss) 161(! 31)(33tteteeettytttt對方程對方程(fngchng)兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得，則得第44頁/共51頁第四十五頁，共52頁。例例26 26 求積分

30、求積分(jfn)(jfn)方程方程 的解的解. .tttdty0cos)cos()(解解 設(shè)設(shè) ( )y tY s 1coscos)(2sstttty即即2222) 1(11)(sssssY) 1(1)(22ssssYsss11221cos2)(tty1) 1(1222sCBssAsssttycos)( 對方程兩邊對方程兩邊(lingbin)取拉氏變?nèi)±献儞Q，則得換，則得第45頁/共51頁第四十六頁，共52頁。例例27 27 求微分、積分求微分、積分(jfn)(jfn)方程方程 在滿足初始條件在滿足初始條件 的解的解. . tdytyy0)(sin2 0)0( y解解 設(shè)設(shè) ( )y tY

31、s)(111)(2)(2sYsssYssY即即11)(122ssYss) 1() 1()(22ssssY22) 1(21121ss1) 1(1) 1() 1(2222sDCssBsAsss)(sin2121sin21)(tttettetty對方程兩邊取拉氏變換對方程兩邊取拉氏變換(binhun)，并考慮到初始條件，并考慮到初始條件，則得則得第46頁/共51頁第四十七頁，共52頁。例例28 28 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)組組 txyxyeyxxyt222滿足滿足(mnz)(mnz)初始條件初始條件 的解的解. .0)0()0(0)0()0(xxyy解解 設(shè)設(shè) , ( )y