中考數(shù)學(xué)壓軸題費(fèi)馬點(diǎn)

1、費(fèi)馬點(diǎn)解題思路費(fèi)馬點(diǎn)是指平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，這個(gè)最小的距離叫做費(fèi)馬距離.若三角形的內(nèi)角均小于120,那么三角形的費(fèi)馬點(diǎn)與各頂點(diǎn)的連線(xiàn)三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角；若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于等于120,則此鈍角的頂點(diǎn)就是到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).一、若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于等于120°,則此鈍角的頂點(diǎn)即為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)如圖在ABC/BA0120°,求證：點(diǎn)A為4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)證明：如圖，在ABC3有一點(diǎn)P延長(zhǎng)BA至C,使得AC=AC作/CAP=/CAP并且使得AP=AP連結(jié)PP則AAPC2AAPCPC=PC因?yàn)?BA0120所以/PAP=/CA俁60所以在等腰P

2、A沖，AP>PP所以PAP打POPP+PB+PC>BC=A打AC所以點(diǎn)A為ABC勺費(fèi)馬點(diǎn)二、若三角形白內(nèi)角均小于120,則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點(diǎn)即為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖，在ABB三個(gè)內(nèi)角均小于120°,分別以ABAC為邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在ABCW的交點(diǎn)為O,求證:點(diǎn)O為ABC勺費(fèi)馬點(diǎn)證明：在ABC1部任意取一點(diǎn)Q;連接OAOBOC將AO磷著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到AOD連接OO則OD=OC所以AOO為等邊三角形，OO=AO所以O(shè)4OOOB=OO+O拼OD則當(dāng)點(diǎn)BOO'、D四點(diǎn)共

3、線(xiàn)時(shí)，O4O打OCM小此時(shí)ABAC；邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在ABC1的交點(diǎn)即為點(diǎn)O如圖，在ABC若/BAC/ABC/ACB勻小于120,O為費(fèi)馬點(diǎn)，則有/AOB=ZBOC=ZCOA=120°,所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形的等角中心例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一6,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4m），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D使得CD=AC過(guò)點(diǎn)DE作DE/AR交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,設(shè)G為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線(xiàn)y=而x+6與y軸的交點(diǎn)M出發(fā)，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G再沿GAIU達(dá)點(diǎn)A,若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線(xiàn)GA±運(yùn)動(dòng)速度的2倍，

4、試確定點(diǎn)G的位置，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)A所用的時(shí)間最短2vv2v當(dāng)2G4GM最小時(shí)，時(shí)間最短如圖，假設(shè)在OMt存在一點(diǎn)G,則BG=AG .MG-2AG=MG-AGBG把MG的點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到MGB,連結(jié)GG,MIM .GGRMMB都為等邊三角形則GG=GB=GB又.MG=MG .MGAUBG=MG+GG+AG 點(diǎn)AM為定點(diǎn) AM與OM勺交點(diǎn)為G此時(shí)MG-AUBGM小 點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,2百）例2AB、CD四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并是整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度為最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？解：如圖，將AB限點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

5、°,得到EBM同樣，將DC嗾點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到FCN連結(jié)AEDF則4ABEDCF勻?yàn)榈冗吶切?，連結(jié)PMQN則BPMzCQ時(shí)為等邊三角形所以當(dāng)點(diǎn)E,M,P,QN,F共線(xiàn)時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)取到最小值，為線(xiàn)段EF的長(zhǎng)，如圖，此時(shí)點(diǎn)P,Q在EF上，1=2=3=4=30.進(jìn)階訓(xùn)練1 .如圖，在ABO,ABC=60,AB=5,BC=3,P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PHP打PC的最小值，并確定當(dāng)PA+PB+PC取得最小值時(shí)，APC勺度數(shù).答案：PMPB+PC的最小值為7,止匕時(shí)APC=120.【提示】如圖，將AP璐點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到ABP,連結(jié)PP,AC.過(guò)點(diǎn)A作AEBC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.解RtAEC求AC的長(zhǎng)，所得即為P/PB+PC的最小值.2 .如圖，四邊形ABC用正方形，ABEM等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN連結(jié)AMCMEN(1)當(dāng)M在何處時(shí)，A吐CM勺值最??？(2)當(dāng)M在何處時(shí)，A吐BMhCM勺值最??？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)A吐B吐CM勺最小值為匾1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).答案：(1)當(dāng)點(diǎn)M落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMHCM的值最小，最小值為AC的長(zhǎng)