隨機(jī)信號(hào)分析課件2

1、1隨機(jī)信號(hào)分析2第二章 隨機(jī)過(guò)程噪聲電壓的起伏波形噪聲電壓的起伏波形00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-8-6-4-202468x 10-3tX(t)32.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性 定義定義1 1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間的樣本空間S S ,若對(duì)每個(gè)若對(duì)每個(gè)元素元素S S，總有確知的時(shí)間函數(shù)，總有確知的時(shí)間函數(shù)X X( (t t,),tT,),tT與它相對(duì)應(yīng)；這樣，對(duì)于所有的與它相對(duì)應(yīng)；這樣，對(duì)于所有的S S，就可以，就可以得到一族時(shí)間得到一族時(shí)間t t的函數(shù)，將其稱為隨機(jī)過(guò)程。族中的函數(shù)，將其稱為隨機(jī)過(guò)程。族中的每一個(gè)函數(shù)稱為該過(guò)程

2、的樣本函數(shù)。的每一個(gè)函數(shù)稱為該過(guò)程的樣本函數(shù)。 特定實(shí)驗(yàn)結(jié)果特定實(shí)驗(yàn)結(jié)果 一個(gè)確一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)知的時(shí)間函數(shù)定義定義2 2：若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)間若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)間 都是隨機(jī)變量，則稱都是隨機(jī)變量，則稱 為隨機(jī)過(guò)程。為隨機(jī)過(guò)程。 一個(gè)特定時(shí)間一個(gè)特定時(shí)間 一個(gè)取一個(gè)取決于決于的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量( ,)iiX t(1,2,) , ( , )iit iX t( , )X t( , )iitX t4常用于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的實(shí)際觀測(cè)常用于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的實(shí)際觀測(cè) 用實(shí)驗(yàn)方法觀測(cè)到各個(gè)樣本用實(shí)驗(yàn)方法觀測(cè)到各個(gè)樣本樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機(jī)過(guò)程樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性常用于理論分析

3、常用于理論分析可以看成隨機(jī)變量的推廣（可以看成隨機(jī)變量的推廣（n n維）維）隨機(jī)變量的維數(shù)越大，越能掌握隨隨機(jī)變量的維數(shù)越大，越能掌握隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性5隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)在四種不同情況下的含義在四種不同情況下的含義 4 4 一個(gè)確定值（一個(gè)確定值（t t和和都固定）都固定） 2 2 一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)(t(t是變量，而是變量，而固定）固定） 1 1 一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（t t和和都是變量）都是變量） 3 3 一個(gè)隨機(jī)變量（一個(gè)隨機(jī)變量（t t固定，而固定，而是變量）是變量）62.1.2隨機(jī)過(guò)程的分類 一、按一、按X(t)X(t)

4、的時(shí)間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進(jìn)行分類的時(shí)間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進(jìn)行分類1 1、連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程任意的、連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程任意的 都是都是連續(xù)型隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量；2 2、離散型隨機(jī)過(guò)程任意的、離散型隨機(jī)過(guò)程任意的 都是都是離散型隨機(jī)變量；離散型隨機(jī)變量；3 3、連續(xù)隨機(jī)序列任意離散時(shí)刻的狀態(tài)是連、連續(xù)隨機(jī)序列任意離散時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量；續(xù)型隨機(jī)變量；4 4、離散隨機(jī)序列隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間和狀態(tài)都、離散隨機(jī)序列隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間和狀態(tài)都是連續(xù)的是連續(xù)的11 , ( )tTX t11 , ( )tTX t7二、按隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的形式不同進(jìn)行分類二、按隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的形式不同進(jìn)行分類1 1、不

5、確定性隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的未來(lái)值不能由、不確定性隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的未來(lái)值不能由過(guò)去的觀測(cè)值準(zhǔn)確預(yù)測(cè)；過(guò)去的觀測(cè)值準(zhǔn)確預(yù)測(cè)；2 2、確定性隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的未來(lái)值可以由、確定性隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的未來(lái)值可以由過(guò)去的觀測(cè)值預(yù)測(cè)；過(guò)去的觀測(cè)值預(yù)測(cè)；8三、按隨機(jī)過(guò)程三、按隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類同特性分類平穩(wěn)性過(guò)程、遍歷性平穩(wěn)性過(guò)程、遍歷性2正態(tài)過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、獨(dú)立增量過(guò)程正態(tài)過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、獨(dú)立增量過(guò)程1 寬帶過(guò)程、窄帶過(guò)程、白噪聲、有色噪聲寬帶過(guò)程、窄帶過(guò)程、白噪聲、有色噪聲4 392.1.32.1.3隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概

6、率分布12, ,nt tt12( ),( ),( )nX tX tX t時(shí)刻采樣，得到一族隨機(jī)變量時(shí)刻采樣，得到一族隨機(jī)變量10 將對(duì)隨機(jī)變量的研究推廣到隨機(jī)過(guò)程中去。將對(duì)隨機(jī)變量的研究推廣到隨機(jī)過(guò)程中去。一、一維概率分布一、一維概率分布 隨機(jī)過(guò)程在任一特定時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程在任一特定時(shí)刻 取樣得到隨機(jī)取樣得到隨機(jī)變量變量 ，其概率分布為，其概率分布為 稱作隨機(jī)過(guò)程稱作隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得 稱作隨機(jī)過(guò)程稱作隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的一維概率密度。的一維概率密度。 1tT1( )X t1111( ; )( )XFx tP X tx111

7、11( ; )( ; )XXFx tfx tx11隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨機(jī)變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度一維隨機(jī)變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；的各種性質(zhì)；隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時(shí)間時(shí)間t t的函數(shù)；的函數(shù)；隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機(jī)過(guò)程在任一孤立時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。該隨機(jī)過(guò)程在任一孤立時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。二、二維概率密度二、二維概率密度隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)為的二維分布函數(shù)為

8、12121122( ,; , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx12隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維概率密度為的二維概率密度為21212121212( ,; , )( ,; , )XXFx x t tfx x t tx x 三、三、n維概率分布維概率分布 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)的的n維分布函數(shù)為維分布函數(shù)為 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)的的n維概率密度為維概率密度為12121122( ,; , , ) ( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX tx1212121212( ,; , ,)( ,; , ,) XnnnXnnnfx xx

9、t ttFx xx t ttx xx 13 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的n n維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：1212( ,; , , )0Xnnfx xx t tt121212( ,; , ,)1Xnnnnfx xx t tt dx dxdx重121212()1212( ,; , ,)( ,; , ,)Xnnmmnn mXmmfx xx t ttdxdxdxfx xxt tt重1212(,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , , )1XnFt tt 5 5、4 4、3 3、2 2、1 1、146 6、如果、如果 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有12

10、121122( ,; , ,)( ; )(; )(; )XmmXXXnnfx xxt ttfx tfx tfx t12( ),( ),( )nX tX tX t152.1.4 2.1.4 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 在實(shí)際應(yīng)用中，要確定隨機(jī)過(guò)程的概率分布族，在實(shí)際應(yīng)用中，要確定隨機(jī)過(guò)程的概率分布族，并加以分析，常比較困難；并加以分析，常比較困難； 隨機(jī)變量的數(shù)字概念推廣到隨機(jī)過(guò)程中去；隨機(jī)變量的數(shù)字概念推廣到隨機(jī)過(guò)程中去；隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是確定的時(shí)間函數(shù)。確定的時(shí)間函數(shù)。一、數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X

11、(t)在任意一個(gè)時(shí)刻在任意一個(gè)時(shí)刻t t的取值是一個(gè)的取值是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t)X(t)，將其任意取值，將其任意取值x(t)x(t)簡(jiǎn)計(jì)為簡(jiǎn)計(jì)為x x，由隨，由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義可得機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義可得 為時(shí)間的確定函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。為時(shí)間的確定函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。( )( )( ; )XXmtE X txfx t dx16隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015tX(t)17二、均方值和方差二、均方值和方差 隨機(jī)變量隨機(jī)

12、變量X(t)X(t)的二階原點(diǎn)矩的二階原點(diǎn)矩 為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的均方值。的均方值。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t)X(t)的二階中心矩的二階中心矩 為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的方差。的方差。 為中心化隨機(jī)過(guò)程。為中心化隨機(jī)過(guò)程。均方值和方差都是均方值和方差都是t t的確定函數(shù)；的確定函數(shù)；方差描述了諸樣本對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程方差描述了諸樣本對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度；度； 222( )( )( ; )XXtE Xtx fx t dx222( )( )( )( )( ) XXtD X tE XtE X tmt( )( )XXX tmt18二、自相關(guān)函數(shù)二、自相關(guān)函數(shù)00.

13、10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02tX(t)具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程19具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015tY(t)20 自相關(guān)函數(shù)是用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)自相關(guān)函數(shù)是用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系的重要特征。時(shí)刻的狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系的重要特征。 隨機(jī)過(guò)程的自相

14、關(guān)函數(shù)定義為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)定義為 相關(guān)函數(shù)反映了相關(guān)函數(shù)反映了X(t)X(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之在任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。間的相關(guān)程度。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1212( , )( )( )XRt tE X t X t12121212( ,; , )Xx x fx x t t dx dx 212( , )( , )( )( )( )XXRt tRt tE X t X tE Xt12ttt21 隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間的相關(guān)程度。的相關(guān)程度。 協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：協(xié)方差函

15、數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：1212( ,)( )( )XKt tE X tX t1122( )( )( )( )XXE X tmtX tmt1122121212( )( )( ,; ,)XXXxmtxmtfx x t t dx dx 121122( ,)( )( )( )( )XXXKt tE X tmtX tmt12122112( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )XXXXE X t X tmt E X tmtE X tmt mt1212( , )( )( )XXXRt tmt mt22 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 推導(dǎo)可得推導(dǎo)可得 數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)最基數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)

16、是隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)最基本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過(guò)二者本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過(guò)二者間接求得。間接求得。12ttt12( ,)( , )XXKt tKt t2( )( ) XE X tmt2( )( )XD X tt222( )( )( )XXtE Xtmt23【例題】分析正弦型隨機(jī)相位信號(hào)【例題】分析正弦型隨機(jī)相位信號(hào)0( )cos()X tAt0(- , )a 為數(shù)為勻隨變，求隨機(jī)信號(hào)的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)其其中中 和和常常，上上均均分分布布的的機(jī)機(jī)量量。 解：解：0( )( )cos()XmtE X tE At01cos()2Atd01212( , )( )( )XRt

17、tE X t X t0 10 2cos()cos()E AtAt242.1.52.1.5隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù) 概率密度和特征函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換。利概率密度和特征函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換。利用特征函數(shù)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。用特征函數(shù)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。一、一維特征函數(shù)一、一維特征函數(shù) 稱為隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的一維特征函數(shù)。的一維特征函數(shù)。 一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為 11( )11( ; )ju X tXCu tE e1 1111( ; )ju xXefx t dx11( ; )Xfx t1 11111( ; )2ju xXeCu t du25 隨

18、機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的n n階原點(diǎn)矩函數(shù)為階原點(diǎn)矩函數(shù)為 二、二維隨機(jī)過(guò)程二、二維隨機(jī)過(guò)程 稱為隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維特征函數(shù)。的二維特征函數(shù)。 其傅立葉反變換為其傅立葉反變換為0( ; )( )( ; )()nnnnXXnuCu tE Xtx fx t dxju 121211221 122121212( ,; ,)exp( )( )exp()( ,; ,)XXCu u t tEju X tju X tju xju xfx x t t dx dx 12121 1221212122( ,; , )1exp()( ,; , )2XXfx x t tju xju x

19、Cu u t t du du 26 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的相關(guān)函數(shù)可表示為的相關(guān)函數(shù)可表示為 三、隨機(jī)過(guò)程的三、隨機(jī)過(guò)程的n n維特征函數(shù)維特征函數(shù) 稱為隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的n n維特征函數(shù)。維特征函數(shù)。12121212121221212120( , )( ,; , )( ,; , )XXXuuRt tx x fx x t t dx dxCu u t tu u 121211221 122121212( ,; , , )exp( )( )( )exp()( ,; , , )XnnnnnnnXnnnCu uu t ttEju X tju X tju X tju xj

20、u xju xfx xx t tt dx dxdx重27 傅立葉反變換為傅立葉反變換為 121212121 12212( ,; , , )1( ,; , , )(2 )exp( ()XnnXnnnnnnnfx xx t ttCu uu t ttju xju xju xdu dudu重282.22.2平穩(wěn)性隨機(jī)過(guò)程和遍歷性過(guò)程平穩(wěn)性隨機(jī)過(guò)程和遍歷性過(guò)程 2.2.12.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征1 1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程設(shè)有隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)，若它的，若它的n n維概率密度不隨維概率密度不

21、隨時(shí)間起點(diǎn)的選擇的不同而改變，即對(duì)于任何的時(shí)間起點(diǎn)的選擇的不同而改變，即對(duì)于任何的n n和和，過(guò)程，過(guò)程X(t)X(t)的的n n維概率密度滿足維概率密度滿足 則稱則稱X(t)X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)過(guò)程。為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。點(diǎn)無(wú)關(guān)。12121212( ,; , ,)( ,;,)XnnXnnfx xx t ttfx xx ttt291 1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一、二維概率密度及數(shù)字特征、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一、二維概率密度及數(shù)字特征 （1 1）若）若X(t)X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的一維

22、概率密是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)度與時(shí)間無(wú)關(guān) 令令 可得可得 進(jìn)一步可求得進(jìn)一步可求得 均值均值 均方值均方值 方差方差1t 11( ; )Xfx t11( ;)Xfx t1( ;0)Xfx1()Xfx( )E X t111()XXx fx dxm2( )E Xt22111()XXx fx dx ( )D X t22111()()XXXxmfx dx30（2 2）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二維概率密度只與）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二維概率密度只與t1t1、t2t2的時(shí)的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 令令 可得可得 這時(shí)過(guò)程這時(shí)過(guò)程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的

23、自相關(guān)函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為 當(dāng)當(dāng)t1t1t2t2，即，即0 0時(shí)時(shí)121 , ttt 1212( ,; , )Xfx x t t1212( ,;,)Xfx x tt1221( ,;0,)Xfx xtt12( ,; )Xfx x12( , )XRt t121212( ,; )Xx x fx xdx dx ( )XR12( , )( )XXKt tK2( )XXRm(0)XK2X2(0)XXRm31二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 滿足滿足 則稱則稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 只涉及與一、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征；只涉

24、及與一、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征；嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要均方值有界，則它必定是寬平嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要均方值有界，則它必定是寬平穩(wěn)的，反之不一定成立；穩(wěn)的，反之不一定成立；正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。1212( , )( ),( )( ) XXRt tE X tX tR2( )E Xt ( )XE X tm322.2.22.2.2遍歷性過(guò)程遍歷性過(guò)程 一般隨機(jī)過(guò)程要對(duì)大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻一般隨機(jī)過(guò)程要對(duì)大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻取值，用統(tǒng)計(jì)方法到數(shù)字特征。這種方法成取值，用統(tǒng)計(jì)方法到數(shù)字特征。這種方法成為統(tǒng)計(jì)平均或集合平均，也簡(jiǎn)稱為集平均。為統(tǒng)計(jì)平均或集合平均

25、，也簡(jiǎn)稱為集平均。辛欽證明：在具備一定的補(bǔ)充條件下，對(duì)平辛欽證明：在具備一定的補(bǔ)充條件下，對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間均值，就穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間均值，就從概率意義上趨近于此過(guò)程的統(tǒng)計(jì)均值。從概率意義上趨近于此過(guò)程的統(tǒng)計(jì)均值。任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的特性。個(gè)隨機(jī)過(guò)程的特性。33具有遍歷性的隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性的隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-8-6-4-202468x 10-3tX(t)34一、遍歷性過(guò)程的定義一、遍歷性過(guò)程的定義 1 1、嚴(yán)遍歷性過(guò)程

26、的定義、嚴(yán)遍歷性過(guò)程的定義 如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t),X(t),它的各種時(shí)間平均依概它的各種時(shí)間平均依概率率1 1收斂于響應(yīng)的集合平均，則稱過(guò)程收斂于響應(yīng)的集合平均，則稱過(guò)程X(t)X(t)具有嚴(yán)格具有嚴(yán)格遍歷性或俠義遍歷性，并稱此過(guò)程為嚴(yán)格遍歷性過(guò)程遍歷性或俠義遍歷性，并稱此過(guò)程為嚴(yán)格遍歷性過(guò)程或俠義遍歷性過(guò)程，簡(jiǎn)稱或俠義遍歷性過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)遍歷過(guò)程嚴(yán)遍歷過(guò)程。 2 2、隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均、隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均 對(duì)隨機(jī)過(guò)程對(duì)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)沿整個(gè)時(shí)間軸的下列兩種時(shí)間平沿整個(gè)時(shí)間軸的下列兩種時(shí)間平均均 分別稱為過(guò)程分別稱為過(guò)程X(t)X(t)的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。的時(shí)間

27、均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。( )( )AX tX t1lim( )2TTTX t dtT( ,)( )()Xt tX t X t1lim( )()2TTX t X tdtT353 3、遍歷性過(guò)程的定義、遍歷性過(guò)程的定義 設(shè)設(shè)X(t)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如果如果依概率依概率1 1成立，則稱過(guò)程成立，則稱過(guò)程X(t)X(t)的均值具有遍歷性。的均值具有遍歷性。如果如果依概率依概率1 1成立，稱過(guò)程成立，稱過(guò)程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。性。 若在若在0 0時(shí)，上式成立，則稱過(guò)程時(shí)，上式成立，則稱過(guò)程X(t)X(t)的均方的均方值具有遍歷性。值具有遍

28、歷性。如果過(guò)程如果過(guò)程X(t)X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性。的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性。則稱則稱X(t)X(t)是寬遍歷性過(guò)程或廣義遍歷性過(guò)程，簡(jiǎn)是寬遍歷性過(guò)程或廣義遍歷性過(guò)程，簡(jiǎn)稱遍歷性過(guò)程。稱遍歷性過(guò)程。( )( )AX tX t( )XE X tm( ,)( )()Xt tX t X t( )()( )XE X t X tR36二、遍歷性的實(shí)際意義二、遍歷性的實(shí)際意義任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以代替整個(gè)過(guò)程任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以代替整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均；的統(tǒng)計(jì)平均；遍歷過(guò)程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理遍歷過(guò)程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理意義；意義； ( )X t1lim

29、( )2TXTTmx t dtT221(0)lim( )2TXXTTRx t dtT221lim ( )2TXXTTx tmdtT2XX電壓信號(hào)電壓信號(hào)直流分量直流分量總平均功率總平均功率交流平均功率交流平均功率電壓有效值電壓有效值37二、隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性的條件二、隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性的條件 1 1、隨機(jī)過(guò)程必須是平穩(wěn)的。、隨機(jī)過(guò)程必須是平穩(wěn)的。 時(shí)間均值必定是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。時(shí)間均值必定是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。 時(shí)間相關(guān)函數(shù)必定只是時(shí)間差時(shí)間相關(guān)函數(shù)必定只是時(shí)間差的函數(shù)。所以的函數(shù)。所以是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定具有遍歷性，如圖平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定具有遍歷性，如

30、圖X(t)X(t)具具有平穩(wěn)性，但不具有遍歷性。有平穩(wěn)性，但不具有遍歷性。 1( )( )lim( )2TTTAX tX tX t dtT1( ,)( )()lim( )()2TXTt tX t X tX t X tdtT38不具備遍歷性的平穩(wěn)過(guò)程不具備遍歷性的平穩(wěn)過(guò)程00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02tX(t)39 2 2、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的均值具有遍歷性的充的均值具有遍歷性的充要條件為要條件為 證明：證明： 是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機(jī)是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機(jī)變量，

31、其數(shù)學(xué)期望為變量，其數(shù)學(xué)期望為 對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程X(t)X(t)，可得，可得2201lim(1)( )02TXXTRmdTT( )X t1( )lim( )2TTTE X tEX t dtT1lim( )2TTTE X tdtT( )XE X tm40 的方差為的方差為變量替換可得變量替換可得( )X t( )D X t22( ) XXE X tm121221lim( , )4TTXTTTKt t dt dtT 211221lim()4TTXTTTKtt dt dtT 22221lim(1)( )22TXXXTTRmdTT2201lim(1)( )2TXXTRmdTT被積函數(shù)偶函數(shù)41

32、 由由X(t)X(t)的遍歷性可得的遍歷性可得 于是，由切比雪夫不等式，有于是，由切比雪夫不等式，有 即，即， 依概率收斂于依概率收斂于 。因。因 由方差性質(zhì)可知，由方差性質(zhì)可知， 依概率依概率1 1成成立。立。3 3、自相關(guān)函數(shù)的遍歷性定理。、自相關(guān)函數(shù)的遍歷性定理。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為要條件為2( )0XD X t22( )( )0XP X tE X t( )X t( )E X t( )0D X t( )( )XX tE X tm42 令令 ，就可得到均方值具有遍歷性的充要，就可得到均方值具有遍歷性的充要條件

33、。條件。4 4、對(duì)于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若均值為零，自相關(guān)函、對(duì)于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)數(shù) 連續(xù)，則可以證明此過(guò)程具有遍歷性的連續(xù)，則可以證明此過(guò)程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為一個(gè)充分條件為2211101lim(1)( ( )( )2TXTBRdTT111( )()()()( )BE X tX tX tX t0( )XR0( )XRd 432.2.3 2.2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 22(0)( )0XXRE X t 1 1 ( )()XXRR2 2 證：證： ( )( )()XRE

34、 X t X t()( )E X tX t()XR( )()XXKK3 3 (0)( )XXRR44證：正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即證：正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即 2( )() 0E X tX t22( )2( )()()0E XtX t X tXt22( )( )()(0)XX tE XtE XtR平穩(wěn)2(0)2( )0XXRR(0)( )XXRR(0)( )XXKK在零點(diǎn)以外也在零點(diǎn)以外也可能有最大值可能有最大值 45 4 4 周期平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，周期平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過(guò)程的周期相同。且它的周期與過(guò)程的周期相同。()XRT( )(

35、)E X t X tT( )()( )XE X t X tR5 5 若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程含有一個(gè)周期分量，則自相關(guān)函若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程含有一個(gè)周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個(gè)同周期的周期分量。數(shù)也含有一個(gè)同周期的周期分量。0( )( )( )cos()( )X tS tN tatN t 20( )( )( )cos( )2XSNNaRRRR ( )( )0,2( )S tN tN t、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；在()上均勻分布；為平穩(wěn)過(guò)程46 6 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中不含有任何周期分量，則平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中不含有任何周期分量，則2lim( )( )XXXRRm 證：證：lim( )lim( )()XRE X t X t2lim(

36、 ) ()XE X t E X tmlim( )( )0XXKK 47 證：證： 7 若平穩(wěn)過(guò)程含有平均分量（均值），則相關(guān)函若平穩(wěn)過(guò)程含有平均分量（均值），則相關(guān)函數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即2( )( )XXXRKm26(0)( )XXXRR在滿足性質(zhì) 的條件下，有( )( )()XXXKE X tmX tm2( )XXRm22(0)(0)XXXXKRm(0)( )XXRR48 8 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必須滿足平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必須滿足( )0jXRed二、平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間 1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)22( )( )( )

37、(0)XXXXXXKRmrK 1 相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間00( )Xrd49【例題】已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程【例題】已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X（t）的自相關(guān)函數(shù)為）的自相關(guān)函數(shù)為10( )100100cos10100XRe 求均值、均方差和方差。求均值、均方差和方差。 解：解：10( )100cos10100100XRe12( )( )XXRR22( )10XXmR 1210XXXmmm 2( )(0)300XE XtR22(0)200XXXRm502.32.3隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù) 2.3.12.3.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)

38、過(guò)程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的多維概率密度分別為的多維概率密度分別為 定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為12121212( ,; , , )(,; , ,)XnnYmmfx xx t ttfy yyt tt1212121211221122( ,; , , , , ,)( ),( ),( ), ( ), ( ), ()XYnmnmnnmmFx xxy yyt tt t ttP X tx X txX txY ty Y tyY ty51 定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程多維聯(lián)合概率函數(shù)為定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程多維聯(lián)合概率函數(shù)為 如果如果 則稱隨機(jī)過(guò)程是相互獨(dú)立的。則稱隨機(jī)

39、過(guò)程是相互獨(dú)立的。 如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率密度不隨時(shí)間如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率密度不隨時(shí)間變化，即與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱此過(guò)程為聯(lián)合嚴(yán)變化，即與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱此過(guò)程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依過(guò)程。平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依過(guò)程。12121212121212121212( ,; , , , , ,)( ,; , , , , ,)XYnmnmm nXYnmnmnmfx xxy yyt tt t ttFx xxy yyt tt t ttx xxy yy 1212121212121212( ,; , , , , ,)( ,; , ,)(,; , ,)XYnmnmXnnYmmfx xxy yyt tt t

40、ttfx xx t ttfy yyt tt522.3.22.3.2互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)的定義為互相關(guān)函數(shù)的定義為 互協(xié)方差函數(shù)定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為 互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關(guān)系互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關(guān)系121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 1211221212( , )( )( )( ( )( )( )( )( , ; , )XYXYXYXYKt tE X tmtY tm txmtym tfx y t t dxdy 121212( , )( , )( )( )XYXYXYKt tRt t

41、mt m t53 隨機(jī)過(guò)程正交隨機(jī)過(guò)程正交 隨機(jī)過(guò)程的不相關(guān)隨機(jī)過(guò)程的不相關(guān) 若果隨機(jī)過(guò)程若果隨機(jī)過(guò)程 則稱隨機(jī)過(guò)程則稱隨機(jī)過(guò)程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 為聯(lián)合寬平穩(wěn)為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依?；?qū)捚椒€(wěn)相依。 寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：1 1、121212( ,)0( ,)( )( )XYXYXYRt tKt tmt m t 或 121212( ,)0( ,)( )( )XYXYXYKt tRt tmt m t 或 1212( , )( ) ( )( )XYXYRt tE X t Y tR( )()( )()XYYXXYYXRRKK

42、542 2、3 3、4 4、 歸一化相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)歸一化相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)2222( )(0)(0)( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRKKK 221( )(0)(0)211( )(0)(0)()22XYXYXYXYXYRRRKKK( )( )( )(0)(0)XYXYXYXYXYXYKRm mrKK 55 時(shí)間互相關(guān)函數(shù)定義為時(shí)間互相關(guān)函數(shù)定義為 如果如果 稱過(guò)程稱過(guò)程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 具有聯(lián)合寬遍歷性。具有聯(lián)合寬遍歷性。例題：設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間相位隨機(jī)信號(hào)例題：設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間相位隨機(jī)信號(hào) 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)， 在在 上均勻分布，上

43、均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。求互協(xié)方差函數(shù)。1( )( ) ()lim( ) ()2TXYTTX t Y tX t Y tdtT( )( )XYXYR00( )sin() , ( )cos()X ttY tt0(, ) 562.42.4復(fù)隨機(jī)過(guò)程復(fù)隨機(jī)過(guò)程 2.4.12.4.1復(fù)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量 復(fù)隨機(jī)變量定義為復(fù)隨機(jī)變量定義為 數(shù)字特征推廣到復(fù)隨機(jī)變量時(shí)必須遵循的原數(shù)字特征推廣到復(fù)隨機(jī)變量時(shí)必須遵循的原則是：在特殊情況下，即當(dāng)則是：在特殊情況下，即當(dāng)Y Y0 0時(shí)，時(shí)，Z Z的數(shù)字特征的數(shù)字特征應(yīng)該等于隨機(jī)變量應(yīng)該等于隨機(jī)變量X X的數(shù)字特征。的數(shù)字特征。 復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)

44、學(xué)期望ZXjY ZXYmE ZE XjE Ymjm57 復(fù)隨機(jī)變量的方差復(fù)隨機(jī)變量的方差 復(fù)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量Z1Z1和和Z2Z2的相關(guān)矩的相關(guān)矩 兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 相互獨(dú)立相互獨(dú)立22222 | ZXYDD ZE ZE XYE XE YDD12121 21 221*121122()()()Z ZX XYYX YY XKE Z ZE XYXYKKj KK12 1 21 12 212121122( ,)( ,)(,)X X YYX YX Yfx xy yfx yfxy58 兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān) Z1 Z1 和和 Z2 Z2 不相關(guān)不相

45、關(guān) 兩個(gè)隨機(jī)變量正交兩個(gè)隨機(jī)變量正交 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 正交正交121122()()0Z ZKE XYXY12*120Z ZRE Z Z592.4.22.4.2復(fù)隨機(jī)過(guò)程復(fù)隨機(jī)過(guò)程 復(fù)隨機(jī)過(guò)程的定義復(fù)隨機(jī)過(guò)程的定義其概率密度為其概率密度為其數(shù)學(xué)期望為其數(shù)學(xué)期望為其方差為其方差為( )( )( )Z tX tjY t12121212( ,; , , , , , )XYnnnnfx xxy yy t tt t tt( ) ( )( ) ( )( )( )ZXYmtE Z tE X tjE Y tmtjm t22222( ) ( )|( )| ( )( ) ( ) ( ) ( )( )Z

46、XYDtD Z tE Z tE X tY tE X tE Y tDtD t60 其自相關(guān)函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù)其自相關(guān)函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù) 平穩(wěn)復(fù)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)復(fù)隨機(jī)過(guò)程*( ,)( ) ()ZRt tE Zt Z t( ,)( )(0)ZXYZZZmmjmRt tRR *( ,)()( ( )( ) ( ()()ZZZKt tE Z Z tE Z tmtZ tmt61 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)數(shù) 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的不相關(guān)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的不相關(guān) 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的正交復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的正交 12*12( ,)( )()Z ZRt tE Zt Z t12*

47、12( ,)()Z ZKt tE Z Z t12( ,)0Z ZKt t12( ,)0Z ZRt t622.52.5正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 2.5.12.5.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的一般概念正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的一般概念 正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的的n n維概率密度為維概率密度為 式中式中 是是n n維向量，維向量， 是是n n維矩陣。維矩陣。 1212( ,; , ,)Xnnfx xx t ttXmK11/2/2()()1exp2(2 )TXXnxmKxmK63( ,)()()ikXikiikkikikKKt tE XmXmr 111212122212nnnnnnKKKKKKKKKK 正態(tài)

48、隨機(jī)過(guò)程的正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的n n維概率密度只取決于其一、維概率密度只取決于其一、二階矩函數(shù)二階矩函數(shù)數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差642.5.22.5.2平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 若若 此正態(tài)隨機(jī)過(guò)程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。此正態(tài)隨機(jī)過(guò)程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 ( ,)() , ,1,2,(0)iXXikXk ik ikiXmmRt tRi knR 65 n n維概率密度為維概率密度為 1212211( ,; , ,)11exp()()2(2 )XnnnnikiXkXnnikXXfx xx t ttRxmxmRR11121121212222121212111nnnnnnnnnnrrrrrrr

49、rrrRrrrrr662.5.32.5.3正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì) 1 1、正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的、正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的n n維概率密度完全取決于它的均維概率密度完全取決于它的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。2 2、正態(tài)過(guò)程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。、正態(tài)過(guò)程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。3 3、如果正態(tài)隨機(jī)過(guò)程、如果正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)在在n n個(gè)不同時(shí)刻個(gè)不同時(shí)刻 采樣，所得一組隨機(jī)變量采樣，所得一組隨機(jī)變量 為兩兩互為兩兩互不相關(guān)，即不相關(guān)，即 則，這些隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的。則，這些隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的。12, ,nt tt12,nXXX( , )()()0ikXikii

50、kkKKt tE XmXm67證明：證明：X(t)X(t)的的n n維概率密度為維概率密度為121222112( ,; , ,)()11exp2(2 )Xnnniiniinfx xx t ttxm 221()11exp22niiiiixm1122( ; )(; )(;)XXXnnfx tfx tfx t684 4、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)與確定性信號(hào)之和的概與確定性信號(hào)之和的概率分布仍為正態(tài)分布。率分布仍為正態(tài)分布。證明：證明：s(t)s(t)的概率密度可以表示為的概率密度可以表示為Y(t)Y(t)的一維概率密度為的一維概率密度為故合成信號(hào)的一維概率密度也是正態(tài)的。故

51、合成信號(hào)的一維概率密度也是正態(tài)的。同理，合成信號(hào)的二維概率密度為同理，合成信號(hào)的二維概率密度為合成信號(hào)的一維概率密度也是正態(tài)的。合成信號(hào)的一維概率密度也是正態(tài)的。n n維概率密度維概率密度也是正態(tài)的。也是正態(tài)的。( )ss t( ; )( ; ) ( )YXfy tfx tys tx dx1212112(,; , )( ),( ); , )YXfy y t tfys tys t t t( ); )Xfys t t695 5、若、若 為為n n維正態(tài)隨維正態(tài)隨機(jī)變量，又機(jī)變量，又 均方收斂于均方收斂于 即對(duì)每個(gè)即對(duì)每個(gè)i i有有則則X X也是正態(tài)分布的隨機(jī)矢量。也是正態(tài)分布的隨機(jī)矢量。6 6、若

52、正態(tài)隨機(jī)過(guò)程、若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 在在T T上是均方可微的，上是均方可微的，則則 也是正態(tài)過(guò)程。也是正態(tài)過(guò)程。7 7、若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程、若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 在在T T上是均方可微的，上是均方可微的，則則 是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。12( )( )( )( )TnX kXk XkXk( )X k12TnXX XX2lim( )0 , 1iikEXkXin ( )()X t tT( )X t( )()X t tT( )( ) ( ,)( )( ) ( , ) ( ,)tabaY tXda tTY tXh tda tT70【例題】設(shè)隨機(jī)過(guò)程【例題】設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中其中A A與與B B是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變

53、量。且有是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。且有EA=EB=0EA=EB=0， 而而 為常數(shù)。為常數(shù)。求此過(guò)程的一、二維概率密度。求此過(guò)程的一、二維概率密度。解：正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍為正態(tài)隨機(jī)變量；解：正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍為正態(tài)隨機(jī)變量；正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度只由均值和協(xié)方差確定。正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度只由均值和協(xié)方差確定。 X(t)X(t)的均值為的均值為 00( )cossinX tAtBt222E AE B000( )cossinE X tE AtBt00 cos sinE AtE Bt0Xm71 X(t) X(t)的相關(guān)函數(shù)為的相關(guān)函數(shù)為 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以( ,)( )()XRt tE

54、 X t X t0000( cossin)( cos()sin()E AtBtAtBt 0E ABE A E B2200000000coscos()sinsin()cossin()sincos()E AttE BttE ABttE ABtt( ,)XRt t220000coscos()sinsin()E AttE Btt20cos( )XR 72 X(t) X(t)的均方值和均方差為的均方值和均方差為 因此，因此，X(t)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。一維概率密度為為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。一維概率密度為 為求二維概率密度只要再求相關(guān)系數(shù)為求二維概率密度只要再求相關(guān)系數(shù)2X2(0)XR 2X22(0)XXRm( )Xfx221exp()22x2( )XR0cos 2( )( )XXXKr22( )XXXRm73 X(t) X(t)的二維概率密度為的二維概率密度為12( ,; )Xfx x22112022222002cos1exp2(1 cos)21 cosxx xx 74本章小結(jié)隨機(jī)過(guò)程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性 定義、分類、概率分布、數(shù)字特征定義、分類、概率分布、數(shù)字特征平穩(wěn)隨