小船過河牧羊人的希望

1、1、 一只小船渡過寬為d 的河流，目標是起點 A正對著的另一岸B點。已知河水流速 v1 與船在靜水中的速度 v2 之比為k 。 （1）建立小船航線的方程，求其解析解。 （2）設(shè) d=100 m， v1 =1 m/s， v2 = 2 m/s，用數(shù)值解法求渡河所需時間、任時刻小船的位置及航行曲線，作圖，并與解析解比較。一、 問題重述 建立數(shù)學模型的任務(wù)：求出船速（在靜水中）、水速及河寬一定的條件下船渡江的軌跡；確定船速、流速、河寬已知條件下任意時刻船的位置及渡河所需總時間。 二問題分析 該問題模型為典型的微分方程模型。問題中船在靜水中的速度及流水速度是不變的，且有簡單的比例關(guān)系，易于得出船的詭計解

2、析方程。同時船的行駛路線的起點和終點已經(jīng)確定，這為微分方程求數(shù)值解提供了初值條件。 三模型假設(shè) 1 船行駛路線為連續(xù)曲線，終點為起點A對面的點B。 2 船在行駛過程中始終向著B點前進，即船速V2始終指向B；并且過程中船的合速度V始終與船的行駛軌跡相切。 3 該段河流為理想的直段，水速V1與和岸平行，河寬為d. 。四、模型建立過程中將用到的各物理量 ：水速V1， 船速V2 ， 船的合速度為 V， 河寬d ， 船的橫坐標 X，縱坐標Y，船行駛時間T ， V2與X軸正向夾角 w ，系數(shù)K=V1：V2.。以船的起點B點為坐標原點，水速V1的方向為X軸正方向，以B>A的方向為Y軸正方向，建立直角坐

3、標系。設(shè)船的軌跡方程為 Y=F（X）根據(jù)模型得出船速V2的方向在任意位置與X軸夾角W滿足： Tan（W）= -Y/X 速度方向與X軸夾角的正切值為 ：V2*Sin（W）/V1+V2 *Cos（W） 又由假設(shè)“過程中船的合速度V始終與船的行駛軌跡相切”得 Y（X）= V2*Sin（W）/V1+V2 *COS（W） 結(jié)合上面兩個式子，利用matlab軟件即可求出（1）中要求的船的運行軌跡的解析方程。在得出了船的軌跡方程的基礎(chǔ)上，利用微分關(guān)系 dX/dT=Vx=V1+V2*COS(W) dY/dT=Vy= -V2*Sin（W）再次利用matlab軟件編程即可求出（2）中要求的船的時間，以及船在任意時

4、刻的位置 及航行曲線。五模型求解 利用matlab軟件求解方程 （1）、在命令窗口中輸入：y =dsolve(DY=v2*Y/(v1*sqrt(X2+Y2)-v2*X),X)即得小船運行的軌跡的解析方程為：x=(100-y)*sqrt(y)/20;利用matlab軟件作圖：程序如下：y=100:-0.1:0;>> x=(100-y).*sqrt(y)/20;>> plot(x,y)圖形如下：>> （2）、編輯M文件如下：function dx=chuan(t,x)v1=1;v2=2;dx=zeros(2,1);dx(1)=v1-v2*x(1)/(sqrt(x

5、(1)2+x(2)2);dx(2)=-v2*x(2)/(sqrt(x(1)2+x(2)2);在命令窗口輸入如下命令：t,x=ode45('chuan',0 66.5,0 100)；plot(x(:,1),x(:,2)；經(jīng)過調(diào)整 確定t取66.5時，船能到達B點。得圖像如下：將兩幅圖繪于同一坐標系中： 明顯吻合，故數(shù)值解法得出的結(jié)論也可信。2、牧羊人的希望一個牧羊人擁有 x平方米的牧場，牧場中長著多年生的黑麥草，他期望今后幾年通過養(yǎng)羊獲得滿意的收益。請你建立數(shù)學模型幫助他解決以下問題：（1）、他應(yīng)該飼養(yǎng)多少只羊？（2）、夏季應(yīng)儲存多少干草用作冬季的飼料？（3）、為了繁殖，每年保留

6、多大比例的母羊？黑麥草的平均生長率冬季 春季 夏季 秋季 日生長率（%） 0 3 7 4 一般母羊的生育期是58年，每年產(chǎn)一頭、兩頭或三頭。如果每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售，一只母羊在每個年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù)年齡（年） 01 12 23 34 45 生產(chǎn)的羊羔（頭） 0 1.8 2.4 2.0 1.8 每頭羊日平均所需飼料（單位：kg）羔羊 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35 一、問題分析為了使得牧羊人n年的獲利最大，就應(yīng)該讓牧羊人每年的獲利達到最大。合理配置所擁有的資源，可以提高牧場的產(chǎn)量，增加經(jīng)濟效率；保持整個羊群年齡結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，

7、則可以保持整個羊群數(shù)目的穩(wěn)定。著手建立模型，求解穩(wěn)定狀態(tài)時母羊、羊羔數(shù)目及比例和夏季的儲草狀況。二、基本假設(shè)1、僅考慮養(yǎng)殖所需的黑麥草供給條件，配合飼料，給水，飼養(yǎng)費用等因素均不予考慮、2、經(jīng)查資料得知，相鄰的兩株黑麥草種植間距為1525cm之間，取20計算，知每平方米可種植36株黑麥草，假設(shè)每株黑麥草重0.1kg。3、除冬季外均進行野外放牧，而冬季食用其他季節(jié)存儲的干草Qkg,當春天干草不夠時，可以使用上一年剩余的干草。4、鮮草與干草具有同樣的喂養(yǎng)效果，經(jīng)資料查知：鮮草向干草的轉(zhuǎn)化率為45%。5、母羊僅在春天繁殖且一年繁殖一次。6、羊的售出僅在春季繁殖過后進行。7、假設(shè)穩(wěn)定狀態(tài)下，羊共N只，

8、則春季考慮N只全為母羊的食草量，相鄰兩代羊的數(shù)量在繁殖售出前后的數(shù)量變化是連續(xù)的（羊的數(shù)量及比例保持不變）。8、草的生長量（kg）是指每株草的日生長量。9、母羊所產(chǎn)羊羔的性別比，認為是1:1（因為公羊全部被賣出）。10、羊的成長無恙，即不考慮死亡等偶然因素。11、記01為羊羔，12為第一代母羊，23為第二代母羊，34為第三代母羊，45為第四代母羊。12、第四代母羊在春季繁殖后就全部賣出。13、羊市場穩(wěn)定，且只關(guān)心羊的數(shù)量及年代，而不關(guān)心它們的重量。每只羊羔的價格P元，每只母羊的價格q元，且都穩(wěn)定，經(jīng)查資料得知p:q1:3。14、羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率計算，羊的食草量及草的生長率亦按

9、表格中的平均量進行計算。（由假設(shè)4的鮮草向干草的轉(zhuǎn)化折扣以及夏季有三分之二的鮮草剩余，經(jīng)計算得知將夏季剩余的鮮草制為干草是不夠的，所以秋季的剩余的鮮草也要進行干化，這也說明了從春季開始飼養(yǎng)的合理性）。三、模型建立設(shè)開始時牧羊人購買第一、第二、第三、第四代的母羊的數(shù)目分別為a1,a2,a3,a4頭，為保持羊群的相對穩(wěn)定，則春季售出羊后相應(yīng)的羊羔、第一、第二、第三代母羊的數(shù)目分別為a1,a2,a3,a4頭，且有a1>=a2>=a3>=a4>=0。于是，同年春季羊繁殖前及售出后有以下關(guān)系:繁殖前 售出后 母羊羔數(shù)量 0 a1第一代母羊數(shù)量 a1a2第二代母羊數(shù)量a2a3第三代

10、母羊數(shù)量a3a4第四代母羊數(shù)量a40所以每年售出的羊羔數(shù)量為：1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4由于每年的公羊羔全部賣出，且公羊羔的數(shù)目與母羊羔相等，所以有1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1>=a1每年售出的母羊數(shù)目為：(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+a4=a1牧羊人養(yǎng)羊的數(shù)量為：N=a1+a2+a3+a4目標函數(shù)：收益Y=n*(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a1q)約束條件：Q+ S春-T春>=0 W1= S夏-T夏>=0 W2= S秋-T秋>=0 （W12）&g

11、t;=00.1a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1其中，S春=36*3x*0.001*90=9.72x kg S夏=7*36x*0.001*90=22.68x kg T春=2.4(a1+a2+a3+a4)*90 kg T夏=(1.65a1+1.15(a2+a3+a4)*90 kg S秋=4*36x*0.001*90=12.96x kg T秋=1.35(a2+a3+a4)*90 kg T冬=2.1（a2+a3+a4）*90 kgS春：春季鮮草產(chǎn)量T春：春季所需的黑麥草重量W1：夏季鮮草的剩余量W2：秋季鮮草的剩余量Q：牧羊人初始準備的干草量n為牧羊人計劃的年數(shù)x為牧場的面積k=0.4

12、5化簡如下：n年收益Y=n*(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a1q)約束條件：25.758x-282.825a1-506.25(a2+a3+a4)>=0 W1=22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)>=0 W2=12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=0 16.038x-66.825a1-290.25(a2+a3+a4)>=0 0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4>=0 a1>=a2>=a3>=a4 且均取整x>=0 Q= 16.038x-(66.825a1+290.25(a2+a3+a4

13、)整合上述表達式的數(shù)學模型如下：Max Y=3.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4四、模型求解為了方便使用matlab軟件進行求解，將上述線性規(guī)劃問題標準化得標準化模型如下：Min Y=-3.8a1-2.4a2-2a3-1.8a4Matlab程序如下：c=-3.8,-2.4,-1,-1.8,0;a=282.825,506.25,506.25,506.25,-25.758;148.5,103.5,103.5,103.5,-22.68;0,121.5,121.5,121.5,-12.96;66.825,290.25,290.25,290.25,-16.038;0.1,-1.2,-1,-0.9,0;-1,