蒙特卡羅方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 蒙特卡羅方法一、 蒙特卡羅方法概述 蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性算法這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值

2、方法難以解決的問題，因而該方法的應用領域日趨廣泛。蒙特·卡羅方法在金融工程學，宏觀經(jīng)濟學，計算物理學(如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算)等領域應用廣泛。 1歷史起源 蒙特卡羅方法于20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計劃”計劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼首先提出。數(shù)學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。1777年，法國Buffon提出用投針實驗的方法求圓周率。這被認為是蒙特卡羅方法的起源。2. 蒙特卡羅方法的基本思想二十世紀四

3、十年代中期，由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。但其基本思想并非新穎，人們在生產(chǎn)實踐和科學試驗中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。 當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學期望，或者是與概率、數(shù)學期望有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。 當隨機變量的取值僅為1或0時，它的數(shù)學期望就是某個事件的概率。或者說，某種事件的概率也是隨機變量（僅取值為1或0）的數(shù)學期望。因此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨

4、機試驗的方法計算積分，即將所要計算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機變量(r)的數(shù)學期望 通過某種試驗，得到 個觀察值r1，r2，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽取個子樣r1，r2，rN，），將相應的 個隨機變量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術平均值作為積分的估計值（近似值）。 為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗相當困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀四十年代以來，由于電子計算機的出現(xiàn)，使得人們可以通過電子計算機來模擬隨機試驗過程，把巨大數(shù)目的隨機試驗交由計

5、算機完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應用，在現(xiàn)代化的科學技術中發(fā)揮應有的作用。經(jīng)典算例及計算機模擬試驗過程 例1. 蒲豐氏問題為了求得圓周率值，在十九世紀后期，有很多人作了這樣的試驗：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ la）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準確的關系式求出值 其中為投計次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。解：設針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,）來描述，x為針中心的坐標，為針與平行線的夾角，如圖所示。針在平行線間的位置 任意投針，就是意味著x與都是任意取的，但x的范圍限于0，a，夾角的范圍限于0，。在此情況下，針

6、與平行線相交的數(shù)學條件是如何產(chǎn)生任意的（x,）？x在0，a上任意取值，表示x在0，a上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為： 類似地，的分布密度函數(shù)為： 因此，產(chǎn)生任意的（x,）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2()抽樣的過程了。由此得到： 其中1，2均為（0,1）上均勻分布的隨機變量。 每次投針試驗，實際上變成在計算機上從兩個均勻分布的隨機變量中抽樣得到（x,），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機變量s(x,)，為如果投針次，則是針與平行線相交概率的估計值。事實上， 于是有 二、蒙特卡羅方法的收斂性，誤差 蒙特卡羅方法作為一種計算方法，其收斂性與誤差是普遍關心的一個重要問題。1、 收斂性由

7、前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機變量X的簡單子樣X1，X2，XN的算術平均值： 作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知， 如X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)<），則 即隨機變量X的簡單子樣的算術平均值 ，當子樣數(shù)充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。 2、誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差2 ，即f(X)是X的分布密度函數(shù)。則當N充分大時，有如下的近似式其中稱為置信度，1稱為置信水平。這表明，不等式 近似地以概率 1成立，且誤差收斂速度的階為 。

8、通常，蒙特卡羅方法的誤差定義為上式中 與置信度是一一對應的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標準正態(tài)分布表，就可以確定出 。關于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出 。 3、 減小方差的各種技巧 顯然，當給定置信度后，誤差由和N決定。要減小，或者是增大N，或者是減小方差2。在固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。 另一方面，如能減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于N

9、增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。后面課程將會介紹一些降低方差的技巧。 4、 效率一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機的時間）兩者來衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為 ，其中c 是觀察一個子樣的平均費用。顯然 越小，方法越有效。 三、蒙特卡羅方法的特點1、能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際

10、問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學表達式出發(fā)。它有直觀、形象的特點。2、 受幾何條件限制小 在計算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點 得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。 3、收斂速度與問題的維數(shù)無關由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，與問題本身的維數(shù)無關。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。也就是說，

11、使用蒙特卡羅方法時，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關。維數(shù)的增加，除了增加相應的計算量外，不影響問題的誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應性。而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當數(shù)量的計算機內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。 4、具有同時計算多個方案與多個未知量的能力對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當。例如，對于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計算若干種厚度的穿透概率時，只需

12、計算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計算最厚一種情況時稍加處理便可同時得到。 另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。例如，在模擬粒子過程中，可以同時得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計算所求量。5、 誤差容易確定對于一般計算方法，要給出計算結果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。對干很復雜的蒙特卡羅方法計算問題，也是容易確定的。一般計算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，而要解決這一問題有時相當困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。 6、程序結構簡單，易于實現(xiàn)在計算機上進行蒙特

13、卡羅方法計算時，程序結構簡單，分塊性強，易于實現(xiàn)。 7、缺點收斂速度慢。如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，一般不容得到精確度較高的近似結果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。 誤差具有概率性。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。 在粒子輸運問題中，計算結果與系統(tǒng)大小有關經(jīng)驗表明，只有當系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結果往往比真值偏低。而對于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。 因此，在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結合，取長補短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。這樣，可以發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長，使其應用范圍更加廣泛。 五、蒙特卡羅方法的主要應用范圍 蒙特卡羅方法所特有的優(yōu)點，使得它的應用范圍越來越廣。它的