專(zhuān)題14平行線分線段成比例定理與三角形形的四心解析版

1、專(zhuān)題14平行線分線段成比例定理及三角形的四心”在一張方格紙上，我們作平行線li213于點(diǎn)A',B',C',不難發(fā)現(xiàn)A'B'B'C'AB2BC3我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖,lll2l3,ABBCDEEF.當(dāng)然，也可以得出ABACDE1、".在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們一DF、知識(shí)點(diǎn)精講（一）平行線分線段成比例定理在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比li2/3,直線a交li

2、,l2,l3于點(diǎn)A,B,C,AB2,BC3,另作直線b交定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)應(yīng)”線段成比例、典例精析【典例1】.如圖，l1/l2/l3,且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.【答案】見(jiàn)解析ABDE2EF328DEDF-,EF235/-DF23125【典例2】在VABC中，D,E為邊AB,AC上的點(diǎn),DE/BC，求證：”些匹ABACBC【答案】見(jiàn)解析證明（1）QDE/BC,ADEABC,AEDACB,VADEsVABC,證明（2）ADAEDEABACBCADAEABACQEF/AB,AEACBFBCDEBCADAEDEABACBC如圖過(guò)A作直線lBC,Ql/DE/BC,過(guò)E作

3、EFAB交AB于D,得YBDEF，因而DEBF.從上例可以得出如下結(jié)論:平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例【典例3】已知VABC,D在AC上，AD:DC2:1,能否在AB上找到一點(diǎn)E,使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.【答案】見(jiàn)解析假設(shè)能找到，如圖3.1-4,設(shè)EC交BD于F,則F為EC的中點(diǎn),QEG/AC,EFFC,作EGAC交BD于G.VEGFVCDF，且EGDC,EG/1AD,VBEG:VBAD且BE里-,=2BAAD2E為AB的中點(diǎn).可見(jiàn)，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E

4、C的中點(diǎn)在BD上.我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在,【典例4】在VABC中，AD為DBAC的平分線，求證:ABAC無(wú)解或矛盾則不存在BD.DC【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：過(guò)C作CE/AD,交BA延長(zhǎng)線于E,QAD/CE,BABDAE-DCQad平分線AC,?BAD?DAC,由ADCE知？BAD征，DAC=?ACE,?E?ACE,即AEAC,ABBD=.ACDC例4的結(jié)論也稱(chēng)為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的兩邊之比）【典例5】如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC為直角，ADABC于D.求證：（1）AB2=BD?BC，2（2）

5、 AC2=CD?CB；（3） AD2=BD?CD【答案】見(jiàn)解析【解析】證明（1）在RtVBAC與RtVBDA中，？B?B,VBACsVBDA,於二世,即AB2=BD?BC.BDBA同理可證得AC2=CD?CB.（2）在RtVABD與RtVCAD中，？C90o-?CAD?BAD,RtVABDsRtVCAD,處二匹，即AD2=BD?DC.BDAD我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱(chēng)為射影定理，該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用（二）三角形的四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題如圖，在三角形VABC中，有三條邊AB,BC,CA,三個(gè)角彳m，B,?C,三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,在三角

6、形中,角平分線、中線、高是三角形中的三種重要線段三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn)【典例6】求證三角形的三條中線交號(hào)且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.【答案】見(jiàn)解析【解析】已知：D、E、F分別為VABC三邊BC、CA、AB的中點(diǎn),求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明：如圖連結(jié)DE,設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G,1一QD、E分別為BC、AE的中點(diǎn)，則DE/AB,且DE=-AB,2VGDEsVGAB,且相似比為1：2,AG=2GD,BG=2GE.設(shè)AD、CF交于點(diǎn)G',同理可得，AG'=2G&

7、#39;D,CG'=2G'F.則G與G'重合，AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2:1.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.J;【典例71已知VABC的三邊長(zhǎng)分別為BC=a,AC=b,AB=c,I為VABC的內(nèi)心，且I在VABC的邊BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F,求證：AE=AF=b+C-a2【答案】見(jiàn)解析證明作VABC的內(nèi)切圓，則D、E、F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn),AE=AF,QAE,AF為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線,同理，BD=BF,CD=CE.b+c-a=AF+BF+AE+CE-B

8、D-CD=AF+AE=2AF=2AE三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部,直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.【典例8】求證：三角形的三條高交于一點(diǎn)【答案】見(jiàn)解析【解析】已知VABC中，ADABC于D,BEAAC于E,AD與BE交于H點(diǎn).求證CHAAB.證明以CH為直徑作圓，QADaBC,BEaAC,?HDC?HEC90o,D、E在以CH為直徑的圓上,?FCB?DEH.同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得？BED?BAD.?BCH?BAD,又VABD與VCBF有公共角DB,?CFB?ADB90°,即CH

9、aAB.三角形過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn)I、重心等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)心G、垂心H必然在一條直線上正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心(內(nèi)心、重心、垂心、外心)合一，該點(diǎn)稱(chēng)為正三角形的中心.三、對(duì)點(diǎn)精練1 .在VABC中，ABAC3,BC2.求(1) VABC的面積Svabc及AC邊上的高BE；(2) VABC的內(nèi)切圓的半徑r；(3) VABC的外接圓的半徑R.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，作ADBC于D.QA

10、BAC,D為BC的中點(diǎn),AD.AB2BD222,Svabc222.22.2.又SVABC1-ACBE,解得BE2(2)如圖，I為內(nèi)心，則I到三邊的距離均為r,連IA,IB,IC,SvabcSVIAB1_1_1_SvibcSviac,即2J2-ABr-BCrCAr,222(3)QVABC是等腰三角形,外心O在AD上，連BO,則RtVOBD中，ODADR,OB2BD2OD2,R2(272R)212,解得R9,2內(nèi)心I在三為什么？(該【說(shuō)明】在直角三角形ABC中，DA為直角，垂心為直角頂點(diǎn)A,外心O為斜邊BC的中點(diǎn),角形的內(nèi)部，且內(nèi)切圓的半徑為b+c-a(其中a,b,C分別為三角形的三邊BC,CA,

11、AB的長(zhǎng))，2直角三角形的三邊長(zhǎng)滿足勾股定理：AC2+AB2=BC2.)AP2=AB2-PB?PC.2 .如圖，在VABC中，AB=AC,P為BC上任意一點(diǎn)求證:【答案】見(jiàn)解析證明：過(guò)A作ADABC于D.在RtVABD中，AD2=AB2-BD2.在RtVAPD中,AP2=AD2-DP2-AP2=AB2-BD2+DP2=AB2-(BD+DP)(BD-DP).QAB=AC,ADABC,BD=DC.BD-DP=CD-DP=PC._2_2AP=AB-PB?PC.3 .已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到三邊AB,AC,BC的距離分別為hi,卜2由3,三角形ABC的高為h,若點(diǎn)P在一邊BC上(如圖a),

12、此時(shí)h3=0,可得結(jié)論：兒+h2+玲=h.”請(qǐng)直接應(yīng)用以上信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)（1）點(diǎn)P在VABC內(nèi)（如圖b）,（2）點(diǎn)在VABC外（如圖c）,這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，N,h2,h3與h之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想（不必證明）【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P在VABC內(nèi)時(shí),法一如圖，過(guò)P作B'C'分別交AB,AM,AC于B',M',C',由題設(shè)知AM'=PD+PE,而AM'=AM-PF,故PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.法二如圖，QSVABC=SVPAB+SVPAC+SVPBC,1“1_1”1”BC?AMAB?