高等數(shù)學第六版(同濟版)第九章復習資料

1、第九章多元函數(shù)微分法及其應用引入：在上冊書中，我們學習了一元函數(shù)微積分學，所討論的對象都只有一個自變量的函數(shù)，而在實際應用中，研究的問題往往要涉及多方面的因素，反映在數(shù)量上就是一個變量要依賴幾個自變量，即數(shù)學上的多元函數(shù)，從這節(jié)課開始，我們進入多元函數(shù)微積分學的學習階段先來學習多元函數(shù)微分學.由于從一元函數(shù)到二元函數(shù)，單與多的差異已能充分體現(xiàn)，我們由二元函數(shù)入手來研究多元函數(shù)微分學，然后把相關概念及性質(zhì)推廣到三元、四元直至n元函數(shù)上去.第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、平面點集的相關概念1. 平面點集：E二(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P2ER=RR二(x,y)|xR,yR例如：C-(x,y)|x2

2、y2：r2=P|0P|：r，其中點P表示點(x,y).2. 鄰域：Pod。"。)，R2.(1) .鄰域：U(Po,6)=P|P)P|£6=(x,y)|j(xx。)2十(yy°)2+(zz。)2£§0A0(2) .去心鄰域：U(P°)二PO：|F0P|：、二U(P°)3. 坐標面上的點P與平面點集E的關系：PR2,ER2(1) .內(nèi)點：若-0，使U(P,、)E，則稱P為E的內(nèi)點.(2) .外點：若0，使U(P廠E=，則稱P為E的外點.(3) .邊界點：若-0，U(P)'Eh：，且U(P)二E，則稱P為E的邊界點.邊界：

3、E的邊界點的全體稱為它的邊界，記作:E.o(4) .聚點：若-0，U(P廠E廠：，則稱P為E的聚點.導集：E的聚點的全體稱為它的導集注：1°.若P為E的聚點，貝UP可以屬于E，也可以不屬于E.2. 內(nèi)點一定是聚點；外點一定不是聚點；邊界點也不總是聚點，如孤立的邊界點.例如：巳=(x,y)1cx2+yl2；E?=(x,y)1cx2+y2蘭25(0,0).4. 一些常用的平面點集：(1) .開集：若點集E的點都是其內(nèi)點，則稱E為開集.(2) .閉集：若點集E的邊界:EE，則稱E為閉集.(開集加邊界)(3) .連通集：若E中任何兩點都可用屬于E的折線連接，則稱E為連通集.(4) .開區(qū)域：

4、連通的開集稱為開區(qū)域，也稱為區(qū)域.(5) .閉區(qū)域：開區(qū)域加上其邊界稱為閉區(qū)域.例如：巳=(x,y)1ex2+y2蘭2為區(qū)域.E?=(x,y)1蘭x2+y2蘭2為閉區(qū)域.(6) .有界集：若r0，使EU(O,r)，則稱E為有界集.(7) .無界集：若-r0，使E二U(O,r)，則稱E為無界集.二、n維空間：對取定的自然數(shù)n，稱n元數(shù)組(為山2，xj的全體為n維空間，記為Rn.注：前述的鄰域、區(qū)域等相關概念可推廣到n維空間.三、多元函數(shù)的概念z=f(x,y)1. 定義：，或z二f(P)，其中P(x,yrD.、:、:.因映自變變量身寸量定義域：D.值域：f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)D

5、uR.注：可推廣：n元函數(shù)：u=f(X“X2，Xn)，(人也,，Xn)DR“.例：1.z=arcsin(x?+y2),D=(x,y)x2+y2蘭1.2. z=1n(xy),(x,y)xy0.2.幾何表示：函數(shù)z=f(x,y)對應空間直角坐標系中的一張曲面：F(x,y,z)=z-f(x,y)=0.四、二元函數(shù)的極限1. 定義：設函數(shù)f(x,y)的定義域為D，點F0(xo,y。)為D的聚點，若AR，-；00，-P(x,y)D'U(P°,-J，滿足|f(x,y)-A卜：；，則稱A為f(x,y)當P(x,y)P0(x°,y°)時的極,y。)限，記作&y)l

6、im、,、f(x,y)二A，稱之為f(x,y)的二重極限.1例1.設f(x,y)=(x+y)sin尹y，求證(x,y)im(0,0)f(x,y)=0.證明:-0，要使不等式221(xy)sir221(xy)sinx2-y29成立,于是，_；0，十=，0P(x,y)DCU(O,§)，總有(x2+y2)sinx2y2一0：；，即limf(x,y)=0.(x,y)(0,0)例2.證明&ylJm。)f(x,y)不存在，其中f(x,y)二xyx2y2,x2y2=o證明：當P(x,y)沿直線y=kx(k=O)趨于O(O,O)時，總有l(wèi)im(x,y)X0,0)y=kxf(x,y)列叫kx2

7、x2k2x21k2'f(x,y)隨著k的不同而趨于不同的值,故極限鳥嘰""不存在.sinxy例3.求極限(叫0,2)x解:(x,ylim(0,2)xsinxysinxylimy(x,y)Ly)o,2)xy=lim沁limy=12=2.xy)0xyy:xy五、二元函數(shù)的連續(xù)性1. 二元函數(shù)的連續(xù)性：設函數(shù)f(x,y)的定義域為D，點F0(xo,yo)為D的聚點，且P。D，若(、呵、f(x,y)=f(Xo,y°)，則稱z=f(x,y)在點F0(xo，y°)連續(xù).(x,y)r(Xo，y°)2. 二元函數(shù)的間斷點：設函數(shù)f(x,y)的定義域為D

8、，點F0(xo,yo)為D的聚點，若f(x,y)在點F0(xo,yo)不連續(xù)，則稱F0(xo,y°)為f(x,y)的間斷點注：間斷點可能是函數(shù)有定義的孤立點或無定義的點3. 性質(zhì)：設D為有界閉區(qū)域(1) .有界性：-IMO，-(x,y)D，有|f(x,y)|_M.，+-'f(R)=maxf(P)|PeD亠(2) .最值性：mPhED，使得丿一°、."PED，有f(R)Ef(P)Ef(P2).f(R)=minf(P)|PeD(3) .介值性：-Cf(P),f(P2)，P(x,y)D，使得f(x,y)二C.4. 二元連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)(1) .和、差、積仍連續(xù)

9、；(2) .商(分母不為零)連續(xù)；(3) .復合函數(shù)連續(xù).5. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性(1).二元初等函數(shù)：由二元多項式和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合所構(gòu)成的、并用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).(2).二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)例4.求limxy.(x,y)T1,2)xy解：令f(x,y)=xy例5.求()xy1-1xy解:lim(x,y)jO,O)xy1一1xy=（分子有理化）limxy1-1(x,y)WO)xy仁xy11)lim(x,y)_XO,O)1xy11第二節(jié)偏導數(shù)引入：在一元函數(shù)微分學中，我們研究了一元函數(shù)的變化率一導數(shù)，并利用導數(shù)研究了函數(shù)的性態(tài).對于

10、多元函數(shù)，我們也要討論它的變化率，但由于多元函數(shù)的自變量不止一個，所以多元函數(shù)的變化率要比一元函數(shù)的變化率復雜得多.我們還是以二元函數(shù)為例來研究多元函數(shù)的變化率，先把二元函數(shù)中某一自變量暫時固定，再討論二元函數(shù)關于另一個自變量的變化率，這就是數(shù)學上的偏導數(shù).、偏導數(shù)的相關概念1. 偏導數(shù)：設函數(shù)z=f(x,y)在點Po(xo,yo)的某鄰域內(nèi)有定義，把y暫時固定在y，而x在Xo處有增量x時，z相應地有增量f(X。*x,y°)-f(X。，y°).若極限f(X。x,y°)-f(X。，y°)zx存在，貝u稱此極限值為函數(shù)z二f(x,y)在點Po(xo,yo)處

11、對X的偏導數(shù)，記為;zX;fX=Xo;Xy=y。XzKoy之x=Xoy%或fx(xo,yo).2°.fx(Xo,yolimof(xoXy°)-f(xo,y°)dxf(x，yo)X=Xofy(xo,yoHlymof(xo,yo：y)-f(xo,y°)2. 偏導函數(shù)：若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x或y偏導數(shù)存在，則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù)，也簡稱為偏導數(shù)，記為三，zx或fx(x,y);z，,Zy或fy(x,y).exexcycy注：可推廣：三元函數(shù)u二f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數(shù)定義為fx(x,y,z)二|imof(x

12、：x,y,z)-f(x,y,z)例1.求Z=x23xyy2在(1,2)處的偏導數(shù).解：先求偏導函數(shù):LX3y，=3x2y.再求偏導數(shù):：:zX1=7.XTy=2例2.求z二x2sin2y的偏導數(shù).zz2解:2xsin2y，2xcos2y.x_y例3.求r=x2y2-z2的偏導數(shù).解：軟厲r吟由輪換對稱性可知/竺,；zr3.偏導數(shù)的幾何意義(1).偏導數(shù)fx(Xo,y°)是曲線*zf(x,y)在點Mo(x°,y°,f(x°,y°)處的切線關于x軸的斜率.y二y°(2).偏導數(shù)fy(Xo,yo)是曲線丿z=f(xy)'在點M

13、76;(x°,y°,f(x°,y°)處的切線關于y軸的斜率.X=x°4.函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關系：函數(shù)偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)之間無必然的蘊含關系(1).函數(shù)z二f(x,y)在點Po(Xo,yo)處偏導數(shù)存在，但它在點Po(Xo,yo)卻未必連續(xù).例如：函數(shù)z=f(x,y)p【0,xy22小2,xy-0xy在點(0,0)的兩個偏導數(shù)都存在，即x2y2二0f(0+也x,0)f(0,0)fx(Q°)=叭二卯"0，f(0,0+3)f(o,o)fy(o,o)Pmoyy(,)但二重極限(xJ)im(o,o)f(x,y)不存在，故z=

14、f(x,y)在點(°,。)不連續(xù).(2).函數(shù)z=f(x,y)在點Po(x°,yo)連續(xù)，但它在點Po(Xo,y°)處卻未必存在偏導數(shù).例如：函數(shù)z=f(x,y)=.X2y2在點(0,0)連續(xù)，但它在點(0,0)對x及y的偏導數(shù)都不存在,這是因為：爐"+紋)7(00)=炬獸“鳥一axZM0氐x1,AxaO-1/0，limf(0(0,叭lim.-y0:y.0Wo號1,；0，即z二f(x,y)在點(0,0)對x及y的偏導數(shù)都不存在.、高階導數(shù)1. 二階偏導數(shù)：若函數(shù)z=f(x,y)對x及y的偏導數(shù)fx(x,y)及fy(x,y)對x及y的偏導數(shù)也存在，貝U稱它

15、們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).二二fxx(x,y);'；x'點-fyyXy)；(二階純偏導數(shù))£Z；xj2zZcxdy=空=fyx(x,y).(二階混合偏導數(shù))丿dycxx11注：1.2°.二階以及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)3°.二元函數(shù)z=f(x,y)的n階偏導數(shù)至多有2n個.例4.設z=x3y2-3xy3-xy1，求它的二階偏導數(shù).-z22c3:'z3小2解：3xy-3y-y;2xy_9xy-x;excy.2.2z2z32=6xy;=2x-18xy；:x:y.2.2土二&2y-9y2-1;L=6x2y_9y2_1.:

16、x：y:y：x-2-2總結(jié)：從這一例題，我們看到：zz，即兩個二階混合偏導數(shù)相等，與求導順序無oxoycycx關.那是不是每個二元函數(shù)都有這樣的相等的二階混合偏導數(shù)呢？我們說不是的，例如:z=f(x,y)=22xy2丄2,_xy2丄2,X+yhox十yc2丄2Qx+y=，在點(0,0)，0有fxy(O,O)式fyx(O,O)，事實上，彳乂丫亦尸鯉。0"?)-0,0)；fy(O+心X,0)-fy(0,0)fy/oopm。-(二階純偏導數(shù))般地，二元函數(shù)z=f(x,y)的n-1階偏導數(shù)的偏導數(shù)稱為它的n階偏導數(shù).而fx(0,0)=limf(0x，0)-f(0，°)：x-o=0,

17、fy(0,0)=啊f(0,0y)-f(0,0)=0,fx(0,y)=ijm。f(0Xy)-f(0,y)=|：mxy2(.：x)y.x0.x.x22x-(y)fy(x,orlym0f(x,0：y)-f(x,0)l：mnm.7-02一二X.40fx(0,0+3)fx(0,0)-Ay于是,fxy(0,0)=啊，y二!：ym0=1，fyx(Qorixm0fy(0我(0,0)=啊三",即fxy(0,0)=fyx(0,0).那么滿足什么條件得二元函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)與求導順序無關呢？有下面的定理:2. 二階混合偏導數(shù)的性質(zhì)定理：若函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)fxy(x,y)與fy

18、x(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則它們在D內(nèi)必相等，即fxy(x,yfyx(x,y).注：1°可推廣：高階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導順序無關2°.一般地，若二元函數(shù)z二f(x,y)的高階混合偏導數(shù)都連續(xù)，貝Uz=f(x,y)的n階偏導數(shù)只有n1個.第三節(jié)全微分一、全微分的相關概念1. 偏增量：稱J：xZ=f(xAx,y)-f(x,y)為函數(shù)z=f(x,y)對x的偏增量；稱.：yZ二f(x,y：y)-f(x,y)為函數(shù)z=f(x,y)對y的偏增量.2. 偏微分：稱fx(x,y).：x與fy(x,y).：y為z=f(x,y)對x及y的偏微分.注：f(x：x,y)-f(x,y)：

19、fx(x,y)：x，f(x,yy)-f(x,y)：fy(x,y)y.但在實際應用中，往往要知道函數(shù)的全面的變化情況，即當自變量有微小增量Ax、厶y時,相應的函數(shù)增量z與自變量的增量x>y之間的依賴關系，這涉及到函數(shù)的全增量.3. 全增量：稱：z=f(x：x,y)y)_f(x,y)為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)對應于自變量增量x、y的全增量.一般來講，計算全增量迄是比較困難的，我們總希望像一元函數(shù)那樣，利用ex、厶y的線性函數(shù)來近似代替函數(shù)的全增量厶z，為此，引入了全微分.4. 全微分：若函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某領域內(nèi)有定義，且在P(x,y)的全增量厶z=f(x：=

20、x,y：=y)-f(x,y)可表示為'z=AxByo")，其中A、B不依賴于、:y，而僅與x、y有關，'二.0x)2(y)2，則稱z-f(x,y)在點P(x,y)可微分，而稱AxBy為z二f(x,y)在點P(x,y)的全微分，記作dz，即dz二AxBy.若z二f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點都可微分，則稱z二f(x,y)在D內(nèi)可微分.注:dz二：z-0().我們知道，當一元函數(shù)y=f(x)在點x的微分dy=A=x存在時，A=f'(x)，那么，當二元函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的全微分dAxBy存在時，A、B又為何值呢？下面討論二元函數(shù)可微分與連續(xù)、可微分與

21、偏導數(shù)存在的關系，從中得到A、B的值.、二元函數(shù)可微分與偏導數(shù)存在、可微分與連續(xù)的關系1.函數(shù)可微分的必要條件定理1.若函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分，則它在點P(x,y)的兩個偏導數(shù)fx(x,y)及fy(x,y)必定存在，且z=f(x,y)在點P(x,y)的全微分dz=fx(x,y)dxfy(x,y)dy.f(x%y)-f(x,y)AxAxo(|)zx證明：由于z=f(x,y)在點P(x,y)可微分，貝U有z=AxBy-o?)，其中t=,(lx)2Gy)2，當7-0時，有jz=f(x=x,y)-f(x,y)=A：xo(|：xI)，從而即A二fx(x,y)，同理可得B=fy(x,y

22、)，于是dfx(x,yfy(x,y：y.特殊地，令f(x,y)=x，有fx(x,y)=1，fy(x,y)=0，從而有dx，同理令f(x,y)=y，有fx(x,y)=0，fy(x,y)h，從而有dy*y.于是有dz=fx(x,y)dxfy(x,y)dy，也稱之為二元函數(shù)微分學的疊加原理注：定理說明：函數(shù)z=f(x,y)可微分，z=f(x,y)定可偏導，且全微分可用偏導數(shù)表示.但反之未必，即偏導數(shù)存在，函數(shù)z=f(x,y)未必可微分.xy2丄222，x+y式o例如：Z=f(x,y)=<vx+y在點(0,0)處兩個偏導數(shù)都存在，且0,x2+y2=0fx(0,0)=fy(0,0)，但z二f(x,

23、y)在點(0,0)卻不可微分.事實上，假設z=f(x,y)在點(0,0)可微分，則dz二fx(x,y)xfy(x,y)y，又:-z-dz=dzo()，從而厶竺0,當'>0時.而z-dz二f(03,0：y)f(0,0)-0二Z4討.('X)2(：y)2，有0,從而假設定理2若函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分，則它在點P(x,y)連續(xù).證明：由于z=f(x,y)在點P(x,y)可微分，有zAxB-y-o()，其中卩=£(.對Cy)2,于是有，limz=0.又z=f(x,y)的全增量為迂二f(xx,y.)y)-f(x,y)，從而limf(x：x,y：y)-f

24、(x,y)=0，即limf(x：x,y：y)=f(x,y)，這說明(.x,.y)_(o,o)(.x,.y)>(0,0)z二f(x,y)在點P(x,y)連續(xù).注：函數(shù)連續(xù)，未必可微分.例如：函數(shù)z二f(x,y)二x2y2在點(0,0)連續(xù)，但由于偏導數(shù)不存在，從而不可微分3. 函數(shù)可微分的充分條件定理3若函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y)與fy(x,y)在點(x,y)都連續(xù)，則z=f(x,y)在點(x,y)可微分.注：反之未必.例如：z=f(x,y)=廣/2丄2、1(x+y)sin2丄2,x+yx2y2=00,x2y2在點(0,0)可微分，但fx(x,y)與二0fy(x,y)在點(

25、0,0)都不連續(xù).(1).先說明z二f(x,y)在點(0,0)可微分.設(Xy)=fx(0,0)Xfy(0,0).：y=0，2i1因為fx(0,0)=limf(x,0)f(0,0)-lim疋=0，2.1ysin=fy(0,0)=limf(0,y)f(Q0)=lim=0,y_Qy0y，令"f(0m(0,0)=n)2sUx)2y)2,其中=x)2-cy)2，于是丄加9(氐3)P'Si門帀由于叫,=lim.00，-=(.x,=y)o(?)=fx(0,0)：xfy(0,0)=yo()，由全微分的定義知z=f(x,y)在(0,0)可微分.(2).再說明偏導數(shù)fx(x,y)及fy(x,y

26、)在點(0,0)不連續(xù).1易知fx(x,y)=2xsin2-rx+yx2x1222cos22,x+y工0,yxy由于(丿巳0,0)仁(崔切=四人刈y-x111I2xsin2cos2不存在，從而fx(x,y)在點(0,0)2xx2x丿不連續(xù).1同理可知fy(x,y)=2ysin二2x+y22y2cos2(x2y2=0)在點(0,0)也不連續(xù).xyxy例1.計算函數(shù)z=x2yy2的全微分.Zzcz解：dz'dxdy=2xydx(x22y)dy.&cy例2.計算函數(shù)z二exy在點(2,1)處的全微分.解：由于豆二yexy,迄二xexy，有工:x:y:Xx-2g=2e2，所以dzx=2

27、=e2dx十2e2dy.x-2例3.計算xx5/的全微分.yzyz.zedyyedz.解:du=dx岀dydz=dx丄cos改®fz122第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形定理1.若函數(shù)UhF(t)及V仝y(t)在點t都可導，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=fE在點t可導，且器牛教全導數(shù)公式)注：可推廣：Z二f(U,V)，U=(t)，v=(t)，丫:=J：(t)復合而成的函數(shù)Z二f(t)(t)/(t)d-dt在點t可導，且知.:zdujzdv:z!»-J-1"T-.:udtjvdt?、多元函數(shù)與多元函數(shù)復合的

28、情形定理2.若函數(shù)u=(x,y)及v=(x,y)在點(x,y)具有對x及y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)f(x,y)(x,y)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)都存在，且:z:zrrxxru.:u；z:x:v-y；z.:u.:y；:v；:y注：可推廣：由z=f(u,v)，u二(x,y)，v=(x,y)，：=r：(x,y)復合而成的函數(shù)f(x,y)?(x,y)/(x,y)在點(x,y)兩個偏導數(shù)都存在，且LLl、_l、.r,.r,l、l、-z_zu；zv'zz'zU；z；v'z；"I十I十I；I十I十I"L、L

29、9;、"L、"L、'"L、:x；u:x；v；xx；y；u:y:v；yy三、其它情形1. 函數(shù)u二(x,y)在點(x,y)對x及y的偏導數(shù)都存在，函數(shù)及v=(y)在點t可導,z=f(u,v)在點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)f(x,y),y在點(x,y)的兩個偏導數(shù)都L、L、l、L、*l、l、l、L、L、存在，且:z:z:u:zdv；z:u:zz:u=十=十0=.x:u:x:vdx:u:x:v:u:xrf口_|.'z:z:u:zdv*"T-*:y:u:y:vdy2.函數(shù)u=(x,y)在點(x,y)具有對x及y的偏導數(shù)，z-f(u,x,

30、y)在點(u,x,y)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)f(x,y),x,y在點(x,y)的兩個偏導數(shù)都存在，且.z:：u:：fdx；:fdy>十二；:f二；:u+；:x.:u；:x：xdx旳dx.:u:x.x；z;:fu:：f"-I"dx；:fdy'十«二;:f二1；:u+y；：u.:y；xdy:ydy.:uyusinv，而u=xy，v=xy，求及:z；:xy1;1.=e例1.設z.:z.:z史izvu.uT=esinvyecosv:x.:u:x:v:x.:z.:z.:u；:z.:vu.u*+*=esinvxecosv-:y；:u：y:v-:y解:1二ex

31、yxsin(xy)cos(xy).1=exyysin(xy)cos(xy);例2.設u二f(x,y,z)二e'x232z二x2siny，求-及.欣cy解:衛(wèi).x_；fdx；:fdy；:f:xdx；:ydx:z工.x二2xex2y2-2.2ze"宀22xsiny=2x(12x2sin2y)exyxsiny；.:u:y=2zex2y2z2例3.設z=uvsint，而u=£“cost，求求導數(shù)豈.:fdy；:fdx汗；zII11.L、IL'、|:ydx:xdy；z；y生亠-usintcostdt解:皓二皂屯三空三dtcudtcvdtct=etcost-dsintc

32、ost二et(cost-sint)cost.:z,:zdudv.L、L、-u:v四、全微分形式不變性：若函數(shù)-f(u-v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分詈若函數(shù)u=(x,y)及v-(x,y)也具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)f(x,y)?(x,y)的全微:z:zdz:z:z:zdxdy，有du+dv=dx:xydt:u:vxdz:z:z,(dz；:u:z:vYJdxdy=1+dx!dtxy:u:x-v:x)事實上:分為窘rr：Z:uL、.u:ydy,稱此性質(zhì)為全微分形式不變性.ydy4、叫.cudx+dyf-.fr、.cvdx+dyjxcycvcxcyJ'zdu:u£z：:u例4.利用

33、全微分形式不變性求與丄，其中z=eusinv,u=xy,v=xy.xy解：由于dz=d(eusinv)=eusinvdueucosvdv,而du=d(xy)=ydxxdy,dv=d(xy)=dxdy,于是dz=(eusinvyeucosv)dx(eusinvxeucosv)dy，即dxdy二exyysin(xy)cos(xy)dx-exyxsin(xy)cos(xy)dy，:x鋼比較兩端dx、dy的系數(shù)得:；zjx=exyysin(xy)cos(xy)exyxsin(xy)cos(xy).:x第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式、隱函數(shù)：稱對應關系不明顯，而是隱含在方程(方程組)中的函數(shù)(函數(shù)組)為由方程(

34、方程組)確定的隱函數(shù)(隱函數(shù)組).注：并不是每一個方程都能確定一個隱函數(shù)，例如：x2y4Z20.、隱函數(shù)存在定理1. 由一個方程確定的隱函數(shù)定理1.若函數(shù)F(x,y)在點P(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)，且F(Xo,y°)=O，F(xiàn)y(Xo,y°)=0,則方程F(x,y)=0在點P(x°,yo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)可導的函Fy數(shù)y=f(x)，滿足yo=f(Xo)，且dy二注：若F(x,y)的二階偏導數(shù)也連續(xù)，則有d2ydx2_洋+JLlFyJdxcyFxxFy-FyxFxFxdyFyydxFxyFy-FyyFxFxdx且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)例1

35、.設x2y2-O，求矽及dxd2y解：令F(x,y)=x2y2-1，則Fx=2x，"2y，從而齊FxFyFxFzFxxFy2-2FxyFxFyFyyFx2定理2.若函數(shù)F(x,y,z)在點P(xo,yo,Zo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)，且F(x°,y°,%)=O，F(xiàn)z(xo,yo,Zo)=O，則方程F(x,y,z)=O在點P(x°,yo,Zo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)zz=f(x,y)，滿足Zo=f(xo,yo)，且=exy2X2例2.設x2y2z24z=o，求一z.ex解：設F(x,y,zx2y2z2-4z，則Fx=2x，F(xiàn)z=2z-4，于是

36、十十=亡，從而;：2z_.:x2-(2"3(2-z)2x(2-z)x：2z(2-z)(2_z)2x2(2-z)32. 由方程組確定的隱函數(shù)組c(F,G)FuFvGuGv定理3.若函數(shù)F(x,y,u,v)與G(x,y,u,v)在點P(x°,yo，Uo，Vo)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又F(xo，yo，uo，vo)=0，GS,°，且函數(shù)行列式J*在點P(X0,yo，U0,Vo)不等于零，則方程組丿"F(xvuv)=0'''在點P(xo,Vo，Uo，Vo)的某一鄰域內(nèi)恒能G(x,y,u,v)=0確定唯一一組連續(xù)且具有連續(xù)偏

37、導數(shù)的函數(shù)組'u=u(x，y)，且v=v(x,y)-:u:y和fv解：設方程組丿xU°，兩端對x求導得:、yu+xv=1cucvnuxyoexex或：u.：vyxv=o:x:x:v-yu:x:x：u沁yxv:x:xFxFvFuFx1QF,G)GxGvcv1£(F,G)GuGxJC(x,v)FuFvexJC(u,x)FuFvGuGvGuGvFyFvFuFy|1規(guī)F,G)GyGvcv1&(F,G)GuGyJ$(y,v)FuFv?=J£(u,y)FuFv|GuGvGugJ7-：u:x-：uyu例3.設xuyv=o，yu+xv=1，求一、ex在J=x_y=

38、x2+y2H0的條件下，有yxcU-u-y-vxxu+yv<vx-uy-v|yuxv次x-yyx_22,-x+yexx-yyx|_xy2同理可得，Jr%厶I厶rv厶I厶.yxy:yxy第六節(jié)多元函數(shù)微分學的幾何應用元向量值函數(shù)及其導數(shù)r八1. 一元向量值函數(shù)的定義：r=f(t)，tD(數(shù)集)，rR.注:1°.在R3中，f(tf!(t)if2(t)jf3(t)(f!(t),f2(t),f3(t).X二fi(t)2°.向量值函數(shù)r=f(t)=(fi(t),f2(t),f3(t)(WD)稱為曲線”y=f2(t)的向量方程Z=f3(t)2. 一元向量值函數(shù)的極限：設向量值函數(shù)

39、f(t)在點to的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常向量ro，-；0，十0，-1:滿足0：|t-to卜：，總有|f'(t)-ro卜：；，則稱ro為f(t)當t-to時的極限，記作limf(t)=ro.tTo注：limf(t)存在=limfi(t)、limf2(t)、limf3(t)都存在.tot_ototo!哩f(t)=*哩fi(t)，t哩f2(t)，t哩f3(t)j.3. 一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：設向量值函數(shù)f(t)在點to的某一鄰域內(nèi)有定義，若tim°f(t)=f(t。)，則稱向量值函數(shù)f(t)在點to連續(xù).注：f(t)在點to連續(xù)=fl(t)、f2(t)、f3(t)點to連

40、續(xù).4. 一元向量值函數(shù)的導數(shù)(導向量)：設向量值函數(shù)r二f(t)在點to的某一鄰域內(nèi)有定義，若nlim,：tof(to：t)-f(to)存在，則稱此極限值為f(t)在點to的導數(shù)或?qū)蛄?，記作f'(t)drdtt=Xo注：1°.f(t)在點to可導=fi(t)、f2(t)、f3(t)點to都可導.f'(t)=fl'(t)i+f2(t)j+f3(t)k.°r2.一元向量值函數(shù)的導向量的幾何意義：f'(to)=qm。一是向量值函數(shù)r二f(t)的終端曲線】在點M(to)處的一個切向量，其指向與t的增長方向一致.例1.設f(t)=(cost)i(s

41、int)jtk,求limf(t).F42-：:27解：limf(t)=(limcost)i(limsint)j(limt)kijk.tTjr/4t-4ji/4Jn/4224例2.設空間曲線丨的向量方程為r=f(t)=(t21,4t-3,2t2-6t),tR,求曲線丨在點t。=2相應的點處的單位切向量.解：由于f'(tH(2t,4,4t-6)，有f'(2)=(4,4,2)，進而|f'|42一4廠26，于是ni(4,4,2r-,-,-'為指向與t的增長方向一致的單位切向量.6(333丿rf221n2=-2,-2,-1為指向與t的增長方向相反的單位切向量.I333丿二

42、、空間曲線的切線與法平面x=<p(t)1. 參數(shù)式情形：設空間曲線的參數(shù)方程為b=(t),tG，假設®(t)、屮(t)以及灼(t)z=co(t)在二訂上可導，且三個導數(shù)不同時為零.(1) .切線：曲線丨上的一點M(x°,y°,z。)處的切線方程為：g。X。二勺，參數(shù)t0對(t)屮'(t)Q(t)應點M(xo,yo，Zo).工x二(t)推導：由于曲線的參數(shù)方程為T亠，記向量值函數(shù)f(t)=(®(t),W(t),co(t)，由向量值=叫)函數(shù)導數(shù)的幾何意義知：向量=?'(to('(to)?'(to)/'(to)即

43、為曲線】在其上的點M(xo,yo,zo)處的一個切向量，從而曲線-在其上的點M(xo,yo,zo)處的切線方程為：x_xo_y_yo_z_zo'(to)、'(to)(to).(2) .法平面：通過曲線】上的點M(xo,yo,zo)而與曲線】在點M處的切線垂直的平面方程稱為曲線】在點M處的法平面，方程為'(to)(x-Xo)宀(to)(y-yo)'(to)(z-Zo)=o.其中法向量為T=f'（t°）=（弋0）'仇）,''（t。）."v=甲（x）2. 特殊式情形：設空間曲線r的方程為I丿，且®（X）、屮

44、（x）在點x=x°處可導，曲線Z=屮（x）X=Xr的方程可改寫為y=W（x），x為參數(shù)，從而曲線在點M（X0,yo,z。）處的切線與法平面方程分別為：（1）.切線方程：X_X。y_y。z_z。1一®（X。）一屮'（x。）.（2）.法平面方程：（x-X。）'（xo）（y-y。）'（xo）（z-Z。）=0.3. 一般式（隱函數(shù)）情形：設曲線的方程為丿F（x,y,z）=O，M（xo,yo,zo）為曲線上的一點,G（x,y,z）=0又設F、G有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且鶉=0，這時方程組在點M（X。，yo,zo）的某一鄰域內(nèi)確定了一組隱函數(shù)的參數(shù)方程為y=“

45、X），x為參數(shù),(X)yy。（1）.切線方程：XX。于是切向量為T=(1,'(Xo)；-'(Xo)/FzFxFyFzFxFyFyFz、1,GzGxM/GyGzJMGxGyM/GyGzMJ1>yFzFzFxFXFyFyFzGyGzJMGzGxJMGxGyMJMz一ZoGyGz（2）.法平面方程：（X-X。）0。）（丫-）'"。）（2-勺）=。.1"（x。）''（X。）x+y+z=6例3.求曲線y在點（1,-2,1）處的切線與法平面方程&+y+z=。解：在方程組X2*2廿=6iX+y+z=。兩端對x求導ZXyzdyT(1,0

46、,1)，從而所求切線方程為:=1，故切向量為(1,21)2x2ydy2zdxdydz門10dxdxx-10-1宀，或x1z11-1.y=-2法平面方程為(x-1)0(y2)-(z-1)=0或x-z=0.三、曲面的切平面與法線1. 定義(1) .切平面：若曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上，貝U稱此平面為曲面匕在點M的切平面(2) .法線：通過點M且與切平面垂直的直線稱為曲面二在點M的法線.2. 切平面與法線方程(1) .一般式情形：設曲面1的方程為F(x,y,z)=0，點M(x0,y°,z0)為其上一點，且函數(shù)F(x,y,z)的偏導數(shù)在點M連續(xù).切平面方程：Fx(M

47、)(x-x。)Fy(M)(y-y。)Fz(M)(z-=0;法線方程：x_x°y_y°z_z0Fx(M)Fy(M)Fz(M)¥(t)推導：在曲面工上過點M任意引一條曲線，設其參數(shù)方程為y=屮(t)，且函數(shù)x=®(t)、z=co(t)y(t)以及z=(t)在t=1°都可導，t-t0對應點M(X0,y°,Z0)，有方程F：(t)(t)(t)=0，兩端對x求導，在t“0處，有Fx(X0,y°,z0)'(t0廠Fy(x。,y0,z0)(t0)Fz(x。，丫。,虻，'(t。)=0.記N=Fx(Xo,yo,Zo),Fy(X

48、o,yo,Zo),Fz(Xo,yo,Zo).又T=(：'(t。)'(t。),'(t。)為曲線丨在點M(xo,yo,zo)處的切向量，由上式可知NT=0,即曲面匕上通過點M(Xo,y°,z。)的任意一條曲線的切向量都垂直于同一個向量，從而這些切線都在同一平面上，即曲面1在點M(xo,yo,zo)的且平面存在，該切平面以向量N=Fx(Xo,y°,z。)，F(xiàn)y(Xo,y°,z。)，F(xiàn)z(Xo,y°,z。)為一法線向量.(2) .特殊式(顯函數(shù))情形：曲面2:z=f(x,y)，且函數(shù)f(X,y)的偏導數(shù)在點(x°,yo)連續(xù).切

49、平面方程：fx(Xo,y°)(x-滄)fy(x°,y°)(yy°)(zZo)=0.法線方程：?X-Xoy-yoZ-Zofx(Xo,yo)fy(Xo,yo)-1推導：記F(x,y,z)=f(x,y)-z=o，有Fx(x,y,z)=fx(x,y)，F(xiàn)y(x,y,z)二fy(x,y)，F(xiàn)z(x,y,z)-1，故有法向量N=fx(Xo,yo),fy(Xo,yo),-1.例4.求球面X2y2z2=14在點(1,2,3)處的且平面及法線方程.解：設F(x,y,z)=x2y2z2-14，有Fx(x,y,z)=2x，F(xiàn)y(x,y,z)=2y，F(xiàn)z(x,y,z)=2z，故

50、所求切平面的法向量為N=(2x,2y,2zj(1,2,3(2,4,6)，于是所求切平面方程為：2(x-1)4(y-2)6(z-3)=o，即x2y3z-1o，法線方程為：2二心二口，即123123例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面x2y2-1在點(2,1,4)處的切平面即法線方程.解：設f(x,yx2y2-1，有fx(x,y)=2x，fy(x,y)=2y，于是所求切平面的法向量為N=(2x,2y,1j(2,1,4)=(4,2,1).從而所求切平面方程為4(x-2廠2(y-1)-(z-4)=0,即卩4x2y-z-6=0，法線方程為2二口二.42-1第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度引入:由函數(shù)f(x,y)在點Po(xo，yo)

51、的偏導數(shù)的幾何意義可知：偏導數(shù)fx(Xo,yo)、fy(xo，y°)只是函數(shù)f(x,y)過點Po(xo,yo)沿平行坐標軸法線的變化率.但在實際應用中，往往要求我們知道函數(shù)f(x,y)在點Po(xo,yo)沿任意確定的方向的變化率，以及沿什么方向函數(shù)的變化率最大，這就涉及到函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.、方向?qū)?shù)1.定義：設函數(shù)f(x,y)在點F0(Xo,yo)的某個鄰域U(P°)內(nèi)有定義，Po(x°-tcos：,y°-tsin：)為過點F0(xo,yo)的射線I(ei=(cos>,sin：)上另一點，且PU(Po).若極限存在，則稱此極限為函數(shù)z=f（x

52、,y）在點Po（x°,yo）沿limf（X。+tcosG,y°+tsina）f（人，y°）t方向I的方向?qū)?shù)，記作一啟gyo)注：若函數(shù)f(x,y)在點P)(x0,y0)的偏導數(shù)存在，且ei=(1,0)=i，則f=limf（X。+t,y。）f（x0,y。）已So）t若函數(shù)f(x,y)在點Po(Xo，yo)的偏導數(shù)存在，且e=(o,1)=j，則fy（Xo,yo）.f=Iimf（xo,y°+t）-f（xo,y。）已（xo,yo）"t2. 方向?qū)?shù)的存在性定理：若函數(shù)f(x,y)在點Po(Xo,yo)可微分，則函數(shù)f(x,y)在點Po(Xo,y

53、76;)沿任意方向I的方向?qū)?shù)都存在，且有=fx(Xo,y°)cosa+fy(Xo,yo)cosP，其中cosa、cosP的方向余弦.旦(xo,yo)注：1.可推廣：若函數(shù)f(x,y,z)在點Po(Xo,yo,Zo)可微分，則f(x,y,z)在點P°沿方向e=(cos,cos:,cos)的方向?qū)?shù)為=fx(Xo,yo,Zo)CO少+fy(Xo,yo,Zo)COS0+fz(Xo,yo,Zo)co.G(Xo，yo，zo)2.方向?qū)?shù)存在，函數(shù)未必可微分例如：f(x,y)=.x2y2在點(0,0)沿方向ei=(cos,cosJ的方向?qū)?shù)都存在，但f(x,y)在點(0,0)不可微分

54、.f(0tcos_：“0tcos：)-f(0,0)t22事頭上：由于limlim1，從而f(x,y)=.：；xy在點t0+tJ0+t(0,0)沿方向el的方向?qū)?shù)都存在但f(x,y)-x2-y2在點(0,0)的兩個偏導數(shù)都不存在，從而不可微分.例1.求函數(shù)z=xe2y在點P(1,0)處從點P(1,0)到Q(2,-1)方向的方向?qū)?shù).解：由題可知方向l就是向量PQ=(1,-1)的方向，有eicz=e2y=1，dz=2xe2y=2，ex(1,0)(1,0)創(chuàng)(1,0)(1,0)'cZC(1,0)故所求方向?qū)?shù)為例2.求f(x,y,z)二xyyzzx在點(1,1,2)沿方向l的方向?qū)?shù)，其中l(wèi)的方向角分別為ooo60,45,60.解：由題可知與方向l同向的單位向量為el=(cos60o,cos45o,cos60o)=又fx(1,1,2)=(y+z)(1,1,2)=3,fy(1,1,2)=(x+z)(仲)=3,fz(1,1,2)=(y+x)(中)=2,AIrAA故所求方向?qū)?shù)為=3+3，工-