數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的特征及應(yīng)對(duì)策略

1、信道哥精品文檔酸地感謝您下載關(guān)注”KX.數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的特征及應(yīng)對(duì)策略以能力為立意，重視知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，突出理性思維，是高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想；而重視知識(shí)形成過(guò)程的思想和方法，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，則是高考命題的創(chuàng)新主體。由于高考的選拔功能，近年來(lái)的數(shù)學(xué)高考的壓軸題中出現(xiàn)了不少以能力立意為目標(biāo)、以增大思維容量為特色，具有一定深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型，使數(shù)學(xué)高考試題充滿了活力。本文準(zhǔn)備結(jié)合近幾年高考實(shí)例來(lái)談?wù)剶?shù)學(xué)高考?jí)狠S題的特征及應(yīng)對(duì)策略。一.數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的特征1 .綜合性，突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用近幾年數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題已經(jīng)由單純的知識(shí)疊加型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法、能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型試

2、題。壓軸題是高考試題的精華部分，具有知識(shí)容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等特點(diǎn)。例1.(06年福建(理)第21題)已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m；(I)求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);(n)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16;當(dāng)t+1<4,即t<3時(shí)，f(x)在t,t+1上單調(diào)遞增，h(t)=f(t+1)=(t+1)2+8(t+1)=t2

3、+6t+7;當(dāng)tW4伊1,即3GW4時(shí),h(t)=f(4)=16;當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在t,t+1上單調(diào)遞減，h(t)=f(x)=t2+8t;2-t26t7,t:二3;綜上，h(x)=16,3<t<4;-t28t,t4;(II)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)xg(x)f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).從而有：中(x)=x2-8x+16lnx+m,(x>0)2.cc62x2-8x62(x-1)(x-3),小'(x)=2x-8=-(x0),xxx當(dāng)xC(0,1)時(shí),5(x)A0,9(x)是增函數(shù)；當(dāng)xC(1

4、,3)時(shí)，叫x)<0,9(x)是減函數(shù)；當(dāng)xC(3,+8時(shí)，中'(x)>0,中(x)是增函數(shù)；當(dāng)x=1,或x=3時(shí)，中'(x)=0;Wx)極大值=中(1)=m-7a(x)極小值=平(3)=m+6ln315;,當(dāng)x充分接近0時(shí)，邛(x)M0,當(dāng)x充分大時(shí)，邛(x)A0.信道哥精品文檔庵遛歌I感謝您下載關(guān)注宜首，要使9(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),4口/冒力(x)極大值=m'70,當(dāng)且僅當(dāng)7即7<mc156ln3,.(x)極小值=m+6ln3-15：0,所以存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍

5、為(7,15-6ln3).點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)能力；第一小問(wèn)考查分類與整合等數(shù)學(xué)思想，第二小問(wèn)考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想。2.高觀點(diǎn)性，與高等數(shù)學(xué)知識(shí)接軌所謂高觀點(diǎn)題，是指與高等數(shù)學(xué)相聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣的問(wèn)題或以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，或體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法。由于高考的選擇功能，這類題往往倍受命題者青睞。近年來(lái)的考題中，出現(xiàn)了不少背景新、設(shè)問(wèn)巧的高觀點(diǎn)題，成為高考題中一道亮麗的風(fēng)景。例2.(06廣東(理)22題)A是由定義在2,4上且滿足如下條件的函數(shù)中(x)組成的集合：對(duì)任意x1,2,都有邛(2x)W(1,2);存在常數(shù)L

6、(0<L<1),使得對(duì)任意的x1,x2W1,2,都有|邛(2x1)邛(2x2)怪L|x1x2;(I)設(shè)甲(x)=濟(jì)不又xW2,4,證明：平(x)WA；(n)設(shè)中(x)wA,如果存在x0亡(1,2)，使得=中(2%),那么這樣的凡是唯一的；(出)設(shè)中(x)WA,任取x亡(1,2)，令xn卅=(2xn),n=12，證明：給定正整數(shù)k,Ik1對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式|xk+xk|M|x2x1|.1-L解：(I)對(duì)任意xW1,2W(2x)=3/1+2x,x三1,2,v3<(2x)<3/5,1<3<5<2,所以中(2x)W(1,2)對(duì)任意的x1,x2W1,2

7、,有：|；(21)一Q4)4_%|22312x1312x11x231x23W(1+2x12+.(1+2x1X1+x2)+,(1+x2j,一_,22所以：0：二_2._<-,312x12312x11x231x223信道哥精品文檔畫(huà)式I感謝您下載關(guān)注一A±*人2一令廠2一,一一-1'0<L<1,312xi2312xi1X231X22則|中(2X1)中(2X2)區(qū)L|xX2|;所以中(x)wA;(n)反證法：設(shè)存在兩個(gè)Xo,X；w(1,2),%#x0使彳導(dǎo)Xo=W2Xo),X0=5(2x0);則由|邛(2xo)代2X0。區(qū)L|Xo-Xo/|,得|Xo-Xo/|&l

8、t;L|Xo-Xo/|,所以L之1,矛盾,故結(jié)論成立。(m)X3-X2=|中(2X2)甲(2X1)<LX2-X1,所以Xn書(shū)一Xn|WLnX2X1；Lk|xk_|pXk|=(Xk-|p-Xk4pJ_)+(XkpJ_Xkqp_2)+lH(xk+Xk)|X2X1|1LXk*-+Xk*一Xk*N+III,Xk1-XkLkMLk、2/Lk、一為HIX2-X1點(diǎn)評(píng)：本題具有高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理的背景，一般學(xué)生解答是很困難的。在對(duì)待高觀點(diǎn)題時(shí)要注意以下兩個(gè)方面：一是高觀點(diǎn)題的起點(diǎn)高，但落點(diǎn)低，即試題的設(shè)計(jì)雖來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，但解決的方法是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是將高等數(shù)學(xué)引入高考；二是高

9、觀點(diǎn)題有利于區(qū)分考生能力，在今后高考中還會(huì)出現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)“雙基”，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，才能更適應(yīng)新時(shí)期的高考要求。3.交匯性，強(qiáng)調(diào)各個(gè)數(shù)學(xué)分支的交匯注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的檢測(cè)，是近年來(lái)高考試題的特色。高考數(shù)學(xué)壓軸題講究各個(gè)數(shù)學(xué)分支的綜合與交匯，以利于加強(qiáng)對(duì)考生多層次的能力考查。例3.(08年山東卷(理)第22題)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B.(I)求證：A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(n)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2p)時(shí)，|AB=4/

10、10.求此時(shí)拋物線的方程；(m)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物"42，一F丁F線X2=2py(p>0)±,其中，點(diǎn)C滿足OC=OA+OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);信道哥精品文檔畫(huà)部|感謝您下載關(guān)注若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22解：(I)證明：由題意設(shè)A(x1,')，B(x2,匹)，x1<x2,M(x0,2p);2p2p,2一x2一x一xx.由x=2py得y=,得y=,所以kMA=，Kmb=一；2pppp因此直線MA的方程為y+2P=9(x%),直線MB的方程為y+2P=*(x%)；pp22所以工+2p=3(x

11、1x)；至+2p=%(x2x)；2pp2pp由、得x=x1+x2x0,因此x0=x1；x2,即2x=xl+x2；所以A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.(n)解：由(I)知，當(dāng)xo=2時(shí)，將其代入、并整理得：22x1-4x1-4p=0,22x2-4x2-4p=0,所以x1，x2是方程x2-4x-4p2=0的兩根，因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,2x2又kAB=2p2Px2-x1xix22P&，所以kAB；由弦長(zhǎng)公式得AB=1k2十x2)2-4x1x2=,1+之"l6+16p2；又|AB|=4M,所以p=1或p=2,因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.(出)解：設(shè)

12、D(x3,丫3),由題意得C(x+4,y1+y2),則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x+x2+x37i+y2+y3),22設(shè)直線AB的方程為y-y1=°(x-x1),p由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)(當(dāng)口，2)也在直線AB上，代入得y3=x3；22p若DG，V3)在拋物線上，則x2=2py3=2x0x3,信道哥精品文檔演題1感謝您下載關(guān)注一2Xn因此X3=0或X3=2X0.即D(0,0)或D(2X0,)；P(1)當(dāng)=0時(shí)，則X1+X2=2%=0,此時(shí)，點(diǎn)M(0,2p)適合題意;(2)當(dāng)5第0,對(duì)于D(0,0),此時(shí)C(2%,X12X；2P)，22X1X2又|<ab='，AB_CD

13、,P2pX2x；2X04PX02222所以kABkcD=包.5=中=_1,即Xi2十X；=MP2,矛盾;P4pXq4p對(duì)于2x2D(241),P因?yàn)镃(2x0，XypX2-),此時(shí)直線CD平行于y軸,又kAB=包¥0,所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，PX000時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.點(diǎn)評(píng)：本題從形式上看兼有解幾、數(shù)列、向量等多個(gè)數(shù)學(xué)分支，但細(xì)細(xì)分析可知數(shù)列和向量都只須了解基本概念即可，主要還是解幾的內(nèi)容。二.數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的應(yīng)對(duì)策略1.抓好“雙基”，注意第一問(wèn)常常是后續(xù)解題的基礎(chǔ)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，一定要牢固地掌握基本、知識(shí)基本方

14、法、基本技能的運(yùn)用，這是解決數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的關(guān)鍵，因?yàn)樵绞蔷C合問(wèn)題越是重視對(duì)基本知識(shí)方法的考查。這里也要提醒大家一點(diǎn)，數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題的第一問(wèn)常常是后續(xù)解題的基礎(chǔ)。例4.(04年全國(guó)卷2理科22題)已知函數(shù)f(X)=ln(1+x)X,g(x)=xlnx.(I)求函數(shù)f(x)的最大值；a-b.一(II)設(shè)0vavb,證明：0vg(a)+g(b)2g()v(ba)ln2.2解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,8),f'(x)=-i.令f'(x)=0,解得x=0,當(dāng)-1<x<01-X時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)X>0時(shí)，f'(x)<0,又f(

15、0)=0,故當(dāng)且僅當(dāng)X=0時(shí)，f(x)取得最大值，最大值是0(II)證法一：g(a)+g(b)-2g(ab)=alna+blnb-(a+b)ln-a-ib=aln-2a-+bln-2b-22abab-由(I)的結(jié)論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且xw0),由題設(shè)0<a<b,得ba>0,T<?上上<0,因此2a2b信道哥精品文檔催遁1感謝您下載關(guān)注宜首ln2aa，bbab-a二n(1-)2a2a2bIna，b2a2bb-aa-b6alnbln>-=0.abab22p2aab2a2bab2b2b又：-,ain-bln<aln-bln=(b

16、-a)In：-(b-a)ln2.ab2babab2baba'b綜上0Vg(a)+g(b)-2g(3)<(b-a)ln2.2(II)證法二：g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+1,設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g(-ax),2axax則F'(x)=g'(x)2g(-2-)'=lnx=ln2.當(dāng)0<x<a時(shí)F'(x)<0,因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)x>a時(shí)F1(x)>0,因此F(x)在(a,+8)上為增函數(shù)，從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a).因?yàn)镕(a)=0,b>a,所以F(b)

17、>0,即0Vg(a)+g(b)-2g(Hb).2點(diǎn)評(píng)：雖然是壓軸題，但第一問(wèn)考查的就是基本知識(shí)與方法。而第二問(wèn)的兩種解法每一種顯然都是建立在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上的。2 .要把數(shù)學(xué)思想方法貫穿于復(fù)習(xí)過(guò)程的始終數(shù)學(xué)學(xué)科包括許多分支一一代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等，這眾多的分支緊密相連，組成了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一整體，而許多數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵在各個(gè)分支中，如集合的思想、公理化的思想、化歸思想、平面化的思想等。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它是在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中孕育出來(lái)的。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍使用的方法。提煉數(shù)學(xué)思

18、想方法，把握數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力、發(fā)展智力結(jié)合起來(lái)的關(guān)鍵。因此，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)時(shí)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，要把數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程的始終。數(shù)學(xué)思想方法要及時(shí)加以強(qiáng)化。可以從兩方面考慮：一個(gè)是及時(shí)鞏固，將新學(xué)習(xí)的思想方法與以往學(xué)習(xí)的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，這樣不但可以使新知識(shí)納入到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，還可以對(duì)先前學(xué)習(xí)的相應(yīng)內(nèi)容起到促進(jìn)作用，實(shí)現(xiàn)正遷移；另一個(gè)是通過(guò)做一定數(shù)量的習(xí)題來(lái)理解和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，習(xí)題需要精心選擇，不但要在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中選擇，還要兼顧與其他學(xué)科的交匯以及在實(shí)際生活中的應(yīng)用，習(xí)題數(shù)量不宜太多，要力

19、求舉一反三。數(shù)學(xué)思想方法要時(shí)時(shí)、處處加以滲透。數(shù)學(xué)思想方法的隱蔽性較強(qiáng)，抽象程度較高，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度較大。在教學(xué)中要充分挖掘知識(shí)與技能中的思想方法，時(shí)時(shí)、處處滲透。以立體幾何為例，就可以用化歸思想駕馭教材，在宏觀上我們可以將空間問(wèn)題化歸到某一平面上或?qū)⒅诺轿覀兯熘膱D形背景中，在微觀上如何實(shí)現(xiàn)化歸呢？可以通過(guò)轉(zhuǎn)化條件或者展圖來(lái)實(shí)施平面化，有時(shí)可以通過(guò)“割與補(bǔ)”來(lái)將問(wèn)題更清楚化，比如可以將特殊是四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體等，這時(shí)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法就得到了很好的體現(xiàn)。再如，分類討論思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不一般的地位，這是因?yàn)槿藗兘鉀Q任何問(wèn)題都是在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行的，這個(gè)范圍就是問(wèn)題的論域，在整個(gè)論

20、域內(nèi)解決問(wèn)題遇到困難時(shí)，往往先把論域劃分為若干種情況一一討論，顯然分類的作用就是化整為零、分而治之、各個(gè)擊破。由具體問(wèn)題衍生出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法，像函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合的方法等，也需要我們給予足夠的重視。把數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程的始終，讓學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效果達(dá)到最大化！3 .掌握一些“模型題”，由此出發(fā)易得解題突破口一些高考?jí)狠S題，常常是由基本題型(即“模型題”)演變而成，掌握“模型題”的解題思路，由此出發(fā)易得解題突破口。信道哥精品文檔做逅1感謝您下載關(guān)注WX一首a例5（06上海局考?jí)狠S題）已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在（0,點(diǎn)上是減函數(shù)，在Ji,0）上是增函數(shù)；（1）如果函數(shù)y=x+（x>0）的值域?yàn)?,+求b的值；xc（2）研究函數(shù)y=x2十二（常數(shù)c>0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；x（3）對(duì)函數(shù)尸x+a和y=x2+斗（常數(shù)a>0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特xx例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫(xiě)出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)2111F（x）=（x+）+（+x）（n是正整