數(shù)值分析試卷及答案

1、精品文檔1求A的LU分解，并利用分解結(jié)果求A*A-102"121232解由緊湊格式一102一1112302212A=123269_L=故10-1112412L=,U"二從而0-1-211-4-I-2故2求證：非奇異矩陣不一定有LU分解證明設(shè)/已五非奇異，要說明A不一定能做A矩陣LU分解，只需舉出一個反例即可?，F(xiàn)考慮,顯然A為非奇異矩陣。若A有LU分解,1而n"ii=1,顯然不能同時成立。這矛盾說明%23口十”及A不能做LU分解，故只假定A非奇異并不能保證A能做LU分解，只有在A的前世-1階順序主子式4Hos=L2，題-1）時才能保證人一定有l(wèi)u分解。1歡在下載精品

2、文檔解設(shè)有分解423-21251由公式瓦二其中4，口£，%分別是系數(shù)矩陣的主對角線元素及其下邊和上邊的次對角線元素，故有隊二47L二一一3239曠亍85二13從而有-42539TE513_113故L'F一委2-幼553%=一=710-2必205+名1F-"彩M二b=l1B2歡在下載精品文檔4設(shè)A是任一舞階對稱正定矩陣，證明,IL=（盤，”是一種向量范數(shù)證明（1）因A正定對稱，故當五=口時,卜L二。，而當“口時,1|叱=(一4戶o（2）對任何實數(shù)U,有卜L=而黯7后'=口北"三H卜I（3）因A正定，故有分解八=匚疔，則凡=（/=（/口爐=西）

3、3;力戶=忖或故對任意向量忑和丁，總有卜七兒=-a+y*=花+陽=啡凡+%L=HL+llyL綜上可知，一種向量范數(shù)。200017.0003-21-7_,已知方程組A3方的精確解為工二3.D(1)計算條件數(shù)%溫（瑪S；(2)若近似解工='297'T°D，計算剩余廣=,一出；(3)利用事后誤差估計式計算不等式右端，并與不等式左邊比較，此結(jié)果說明了什么?10COO10000（1）2000020001W|L=40001x3.00011200127.000320001-12.970.05-7-1.01-0.3(3)由事后誤差估計式，右端為冷心品皿92而左驪TE3歡在下載精品文檔

4、這表明當A為病態(tài)矩陣時，盡管剩余舊很小，誤差估計仍然較大。因此，當A病態(tài)時，用H大小作為檢驗解的準確度是不可靠的。21a/A=±_6矩陣第一行乘以一數(shù)成為I11，證明當行時，弓"雙兒有最小值2-32-3之<21|+11T函犯二Miua二,2_2從而當W時，即"丁時，34兒有最小值，且揄77討論用雅可比法和高斯-賽德爾法解方程組"汗=1時的收斂性。如果收斂，比較哪一種方法收斂較快，其中L解對雅可比方法，迭代矩陣23'2二故雅可比法收斂。對高斯-賽德爾法，迭代矩陣4歡在下載精品文檔0（紇=12瓦二（口一0-10二Cl-223121112,故高斯

5、-賽德爾法收斂。fW因01112=口氏）故高斯-賽德爾法較雅可比法收斂快。1010的充要條件。解雅可比法的迭代矩陣,求解方程組工xS,求雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法收斂10diB=-Bj=故雅可比法收斂的充要條件是高斯-賽德爾法的迭代矩陣10(J10-fc0b10103ab100100<103aa5歡在下載口一話ab而500bioah50精品文檔故高斯-賽德爾法收斂的充要條件是國釜。9設(shè)求解方程組加t的雅可比迭代格式為同+/，其中佐二al幺),求證：若可L則相應(yīng)的高斯-賽德爾法收斂。證明由于K是雅可比法的迭代矩陣，故工引1故"1上除卜|%口=12./-I£即:二故

6、系數(shù)矩陣A按行嚴格對角占優(yōu)，從而高斯-賽德爾法收斂。10設(shè)A為對稱正定矩陣，考慮迭代格式L求證：(1)對任意初始向量：/","收斂；%:：0姆川+鏟,2(2)收斂到工工三的解。證明(1)所給格式可化為公網(wǎng)yA)x(i)+fij(F+A)lb222(I+-A)-1l¥-A這里2存在是因為，由A對稱正定，,故2也對稱正定。5二q+4T】q-%)1八設(shè)迭代矩陣z2的特征值為a,x.o為相應(yīng)的特征向量，則Ex=工(/+4)與工做內(nèi)積，有6歡在下載精品文檔(1一5/»=雙(1+?)工*)£出X騎X）一!（缶璜鼻二=（/+A）xrx）5以（迎璋因工正定，故

7、（&*"o,從而Mh】M1,格式收斂。（2）設(shè)即朋/工3*/*'收斂到x,則L，即="收斂到用匯=A的解。1他力匿可/二“4。蹈以誹杷-“幽1 漢E-.<jvkUZ.證明以汗=鼻和X=»為插值節(jié)點建立,（X）的不超過一次的插值多項式a-Dba應(yīng)用插值余項公式有1工）-4（刈二年/"（式（久-）（兀-4名穴SM卜窸卜”（切松窸白一厘）（無叫歸的一"蹈2 求一個次數(shù)不高于4次的多項式"（'）,使它滿足川。）=/。（1）=，3=32）=1.解法一（待定參數(shù)法）滿足必=/（0）=0,H式1）=%。）=1的Herm

8、ite插值多項式為；''：7歡在下載精品文檔*蟲*%,&耳言1言,（1）言3=2-設(shè)尸（力/+令/2）=得人;：,一一：這樣可以寫出F（0000011111110-1210-1-1124Newton插值公式元)=0+0卜0)+1(工-0)*-1("0)抬-解法二（帶重節(jié)點的Newton插值法）建立如下差商表=：工工一/（工1）+；/（x）=-3設(shè)1十工，在一5乂牙W5上取用計算各節(jié)點間中點處內(nèi)與，（力的值，釬2一解步長一"一，L*插值函數(shù)母）二三）上3+，（%）上%一Vi&分段線性插值函數(shù)定義如下*句=卓=常各區(qū)間中點的函數(shù)值及插值函數(shù)值如表

9、所示/5_葉=31工3y=1口，按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)4（工），并倩計誤差.：-5-hi（0<i<101,3.住區(qū)間L'=+1J上的線性一再個N累1穴一個廣西1+z?1+J=0,1,-',9£十二2四21+總工1"+】.?8歡在下載精品文檔X+0.5±1.5±2.5±3.5F.50.800000.307690.137930.075470.0470640750000.350000.150001007941r0.04864估計誤差：在區(qū)間Z，號+1上匕-僧川=(/(身sF)b-/1)五一叫卜一&JI<

10、tnaxIniaxIf2-5以，5'八叫耳1HliImas耳“）卜&Jk=3+幽強箔卜,一1）卜;(is)(")的駐點°，土,于是故有結(jié)論生啾卜m回修|J門上川卜9）卜2防Y3層山孫京右端與I無關(guān)，于是有"-白區(qū)025-5,51確定參數(shù)凡口和二，使得積分取得最小值，并計算該最小值.9歡在下載精品文檔解本題實質(zhì)上是求=Ji,二高的二次最佳平方逼近多項式.選切比雪夫多項式為基函數(shù)進行計算:4=1Z=34。）=2/一1心工”正(ZEAW3)=5，石)二：/一/下二以二2（工4）='"一/rJlm"二0(丁芯卜j,二二一|于是得

11、7(1)的二次最佳平方逼近多項式式)(%幻0例幻I(&%)2+03y-3一三其3開'，3開3n”一里啟二0空進而有參數(shù)-，1-1-3瓦0=胤=，力-，用箕最小值1("就是平方誤差:48-+0+一«0,01467197r10欠0迎下載精品文檔2對彗星1968Tentax的移動在某個極坐標系下有如表所示的觀察數(shù)據(jù).r2.702.001.611.201.023卷67"8T10學(xué)12s一假設(shè)忽略來自行星的干擾，坐標應(yīng)滿足：其中P為參數(shù)，呂為離心率，試用最小二乘法擬合和并給出平方誤差.11電CO9甲解由于關(guān)于參數(shù)少和日是非線性的，變形為尸中m,這樣有下表的數(shù)

12、據(jù).1y=-r10.3703700.5000000.6211180.85333310.980392/-cos0.6591310.3907310.121869-0.309017-0.587785金二3二一工3+如=乂（/且）=2/（“年也）記p,尸得擬合模型網(wǎng)(L1)=三妙=5.0,(V)=02g4929=91)(M)=1.056242,(y,I)=33a52154,(yj)=-0.314887求解法方程組3.305214-03148875.00.284929-Fa02849291056242J|_Aa=0.688617J6=-0483880=1=1452186,a=-bp-0.702684進而

13、有,擬合方程為L4521B61-0.702684cos審城夕二工尸（咐"082262平方誤差一為J1欺速下載精品文檔3求函數(shù)人）=3環(huán)工三05在指定區(qū)間上關(guān)于中二印加口,工的最佳平方逼近多項式.二1解對J'L做線性變換上£，即j（z）=cosTTa=<1+1）c<?s打I2）利用勒讓德正交多項式%=«）=£為基建立電（力的一次最佳平方逼近多項式砌=（蜃為）5k跖）A（4+、尹1F）=o-8/2/3Pi（4=-,的最佳平方逼近為129（271）二示（2天1）周2.431708元一1215854五七/：/（萬）必回44（一封+4/+4/（

14、我）1確定Z''八F訓(xùn)八J中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度。解令"x）=hx，代入公式兩端并令其相等，得41+4+4=4必（-忘）+4人=o=>-4+4=0心（-“+4萬二之球y=4+a=蔡辦4=4"比4=-3解得二-o=工打黑=g取（一宓十由0精確度。切（_獷囿卜%5-二故求積公式具有3次代數(shù)12欠°迎下載精品文檔2計算積分人，若復(fù)化梯形公式，問區(qū)間0應(yīng)分多少等份才能使截斷誤差不超-xlO-J過2?若改用復(fù)化辛普森公式，要達到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分多少等份?解由于/=八"也=1,故對復(fù)化梯形公式，

15、要求耳卜-3巧%)1W<-<-xWs12J2三工10。pa>212.S5即6。取屋=/13,即將區(qū)間。門分為213等份時，用復(fù)化梯形L10”公式計算，截斷誤差不超過二用復(fù)化辛普森公式，要求b-a(百5嚴<180x24L>41xl0"耳三(CU)2加之一冥10'理之3L7066即1的。取厘=4,即將區(qū)間等分為8等份時，復(fù)化辛普森公式可達精度2。3確定求積公式匕-球（亦=/卬伉）+紂+日？（強什方卜衣（力如中的系數(shù)D，使代數(shù)精確度盡量高，并給出“的表達式。公式中。解這是一個帶權(quán)'''口的且?guī)?dǎo)數(shù)值的求積公式。為了積分方便，設(shè)該

16、求積公式,，（工）=1,A-甬,（X-4，口對J0（I"準確成立，得13欠0迎下載精品文檔:卜-4=火"月）事（工一為y=京3+助）+匯c+D）3修1（了4）*'=（0+班,十川（口十2a041k-（靠-%）J=一3十二）+A3（0+*）化簡得AS=-2E+C7+。,3B+20三14843。L5A=-fB=-/C=fD=-解得工-1二為，："演）b而，煮MM3+的）+7（Q+4廿0）故求積公式層/（a）+（西）+后/W"T具有3次代數(shù)精確度。X,人H穴（/）下面估計求積公式的余項",O設(shè)在與，/上三次月1仃陽滋插值多項式為，式“）,即&

17、amp;I"滿足瑪?shù)瑁?0）品（務(wù)）='（#）"=甲因前述求積公式具有3次代數(shù)精確度，故它對于*（*）是準確成立的，且因此有14°迎下載精品文檔-式1/（工心：0-鼻內(nèi)0粒+：（"事胃/（1）62（-動心=*卜修（*-£/仿）卜涼C筆（和計叫卜，"）二必“（/）+磯仃，&）+獷+刈力注意到（”/）卜一人）在礴，工1上不變號，故余項R二舟I：5-M（"j&二，7七（*4f”L的U113左廂=工？F看=了4已知424。（1）推導(dǎo)以這3個點作為求積節(jié)點在I01上的插值型求積公式;（2）指明求積公式所具有的代

18、數(shù)精確度；r1冗（3）用所求公式計算J0。解（1）過這3個點的插值多項式卜一均）伉-）1（工一/）（工_為）（司-%）（網(wǎng)-）5f)(1)小(/-/)(/一3；/5"工陶j：馬0工=£4/CO故-其中故所求的插值型求積公式為。加軻升嗎卜2間15欠°迎下載精品文檔2次代數(shù)精確度。再將（2）上述求積公式是由二次插值函數(shù)積分而來，故至少具有*）=£，'代入上述求積公式，有-=廣/我=1Y5/4Jo(I故上述求積公式具有3次代數(shù)精確度。423<4唧的精確度。2由于該求積公式具有3次代數(shù)精確度，從而3為設(shè)/（加C的-2通>0/-檎小小J2，&#

19、177;2。求證：（二廣4+刃+0伊)（提示：直接使用泰勒展開即可得證）七JI21對于迭代函數(shù)就辦二工+以工一0，試討論:（1）當二為何值時，小尸?®）（6L2-）產(chǎn)生的序列旗）收斂于企；（2）c取何值時收斂最快？c_:§分別取2之點計算以工）的不動點也，要求IfI解（1）儂C（/-2）MW+以根據(jù)定理7.3，當取訃卜2后|<1-L<c<o亦即時迭代收斂。16欠°迎下載精品文檔1由定理7.4知，當爐（加）T+2&C二°，即2炬時迭代至少是二階收斂的,收斂最快。門11Cj加if卜1產(chǎn)。事實上,應(yīng)=1.414213562-（3）分別

20、取2，笈，并取=1-2,迭代計算結(jié)果如表7-4所示。ft(n%CI2)it(n強cI2)01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此時都達到2（牛頓迭代法收斂性定理）設(shè)丁仁）在比，句上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足條件（2）在區(qū)切上F3H0/3*0；叵可滿足八瑜八）0。則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列工單調(diào)收斂于/（¥）=°在1句內(nèi)的唯一實根匯”,并且是平方收斂的。證明因丁在鬼句上連續(xù)，由條件（1）知，方程/（幻二°在功內(nèi)有根釬。又由條件（2）知在&句上恒正或恒負，所以，在?切上嚴格單調(diào)，因而爐是，加。在3內(nèi)的唯-實根。條件（1）（2）共有四種情形：（1）出"°J3.80加國司一：1-11.1一：一,一1，一17發(fā)迎下載精品文檔僅就（1）進行定理證明，其余三種情況證明方法類似。由而E皿句，也）二'0可知（/）叫再由°知/單增且又由牛頓迭代法知*27%）由臺勞展開的，=/（/）+/%+4?。ā＃ㄒ灰?）其中焉介于工，之間。利用/2=°得人七）十/'&）0"-瓦）十/，.矗7二比一餐尸二0”一兩?。?工廠設(shè)一irm,