數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱劉玉蓮

1、包頭師范學(xué)院“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)大綱數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱課程編號(hào)：課程性質(zhì)：基礎(chǔ)必修課適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（本科）選用教材：數(shù)學(xué)分析講義（第五版）劉玉璉等編著高等教育由版社2008年10月包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院函數(shù)論教研室數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：總學(xué)時(shí):352課程類型：總學(xué)分:基礎(chǔ)必修課20適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)先修課程：高中數(shù)學(xué)使用教材：劉玉璉、傅沛仁編著數(shù)學(xué)分析講義（第四版），高等教育出版社，2002年10月。參考書：陳傳璋等編著數(shù)學(xué)分析（第二版），高等教育出版社，1983年7月。1987年獲全國(guó)優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng)。華東師大編數(shù)學(xué)分析，面向21世紀(jì)課程教材一、課程性質(zhì)、目的和任務(wù)

2、本課程是包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)）的一門重要基礎(chǔ)課。本課程一方面為后繼課程提供所需的基礎(chǔ)，同時(shí)還為培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立工作能力提供必要的訓(xùn)練。通過本課程的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)分析方法、培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象思維能力以及處理實(shí)際問題的綜合應(yīng)用能力。學(xué)生學(xué)好這門課程的基本內(nèi)容和方法，對(duì)今后的學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用都具有關(guān)鍵性的作用。二、教學(xué)基本要求在教學(xué)中，應(yīng)注意本課程的整體結(jié)構(gòu)，各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，以及與初等數(shù)學(xué)和后繼課程的聯(lián)系。要求學(xué)生熟練掌握本課程的基本概念、基本理論、基本運(yùn)算及方法。通過課堂教學(xué)及進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，使得學(xué)生做到概念清晰、推理嚴(yán)謹(jǐn)、運(yùn)算準(zhǔn)確，能綜合應(yīng)用所學(xué)

3、知識(shí)解決實(shí)際問題，并且了解分析學(xué)的基本概念及物理、幾何意義，學(xué)會(huì)應(yīng)用這些基本理論和方法去處理和解決物理、幾何等領(lǐng)域中的實(shí)際問題。三、教學(xué)內(nèi)容及要求依據(jù)2001年包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科培養(yǎng)計(jì)劃，本課程教學(xué)在第1、2、3、4學(xué)期進(jìn)行，分別稱為數(shù)學(xué)分析I、數(shù)學(xué)分析H、數(shù)學(xué)分析出和數(shù)學(xué)分析IV。數(shù)學(xué)分析I第一章函數(shù)§ 1.1 函數(shù)一、函數(shù)概念，二、函數(shù)的四則運(yùn)算，三、函數(shù)的圖象四、數(shù)列§ 1.2 四類具有特殊性質(zhì)的函數(shù)一、有界函數(shù)，二、單調(diào)函數(shù)三、奇函數(shù)與偶函數(shù)四、周期函數(shù)§ 1.3 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)二、反函數(shù)三、初等函數(shù)重點(diǎn)掌握：函數(shù)的概念，函數(shù)

4、的表示，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算和具有特殊性質(zhì)的函數(shù)。第二章極限§ 2.1 數(shù)列極限a.g皿(1)”a.人極限思想，二、數(shù)列(L-的極限，三、數(shù)列極限的概念n§ 2.2 收斂數(shù)列一、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的四則運(yùn)算三、數(shù)列的收斂判別法四、子數(shù)列§ 2.3 函數(shù)的極限一、當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的極限，二、當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)的極限§ 2.4 函數(shù)極限的定理，一、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系三、函數(shù)極限存在判別法§ 2.5 無窮大與無窮小一、無窮小，二、無窮大，三、無窮小的比較重點(diǎn)掌握：數(shù)列極限的定義與性質(zhì)，收斂判別的單調(diào)有界原理，函數(shù)極限

5、的定義與性質(zhì)，兩個(gè)重要極限，無窮大與無窮小的定義與性質(zhì)。第三章連續(xù)函數(shù)§ 3.1 連續(xù)函數(shù)一、連續(xù)函數(shù)的概念，二、間斷點(diǎn)及其分類§ 3.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)二、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、反函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性重點(diǎn)掌握：函數(shù)連續(xù)的定義，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)分析n»第四章實(shí)數(shù)的連續(xù)性§ 4.1 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理一、閉區(qū)間套定理二、確界定理三、有限覆蓋定理四、聚點(diǎn)定理五、致密性定理六、柯西收斂準(zhǔn)則§ 4.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明一、性質(zhì)的證明二、一致連續(xù)性重點(diǎn)掌握：上、下確界的定義，實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理及其

6、證明，一致連續(xù)的概念，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明。第五章導(dǎo)數(shù)與微分§ 5.1 導(dǎo)數(shù)，一、實(shí)例，二、導(dǎo)數(shù)概念§ 5.2 求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§ 5.3 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則一、隱函數(shù)求導(dǎo)法則，二、參數(shù)方程求導(dǎo)法則§ 5.4 微分一、微分的概念二、微分的運(yùn)算法則和公式三、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用§ 5.5 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分一、高階導(dǎo)數(shù)二、萊布尼茨公式三、高階微分重點(diǎn)掌握：導(dǎo)數(shù)與微分的定義，運(yùn)算及應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。第六章微分學(xué)的基本定理及其應(yīng)用§ 6.1

7、 中值定理一、羅爾定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§ 6.2 洛必達(dá)法則一、0型，二、一型，三、其它待定型0§ 6.3 泰勒公式一、泰勒公式，二、常用的幾個(gè)展開式§ 6.4 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值與最值三、函數(shù)的凸凹性四、曲線的漸近線五、描繪函數(shù)圖象重點(diǎn)掌握：微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象。第七章不定積分§ 7.1 不定積分一、原函數(shù)，二、不定積分§ 7.2 分部積分法與換元積分法一、分部積分法，二、換元積分法§ 7.3 有理函數(shù)的不定積分一、代數(shù)的預(yù)備知識(shí)，二、有

8、理函數(shù)的不定積分§ 7.4 簡(jiǎn)單無理函數(shù)與三角的函數(shù)的不定積分一、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的不定積分，二、三角函數(shù)的不定積分重點(diǎn)掌握：不定積分的定義及性質(zhì)，不定積分的計(jì)算。第八章定積分§ 8.1 定積分的概念一、實(shí)例，二、定積分的概念§ 8.2 可積準(zhǔn)則一、小和與大和，二、可積準(zhǔn)則，三、三類可積函數(shù)§ 8.3 定積分的性質(zhì)一、定積分的性質(zhì)，二、定積分中值定理§ 8.4 定積分的計(jì)算一、按照定義計(jì)算定積分二、積分上限函數(shù)三、定積分的基本公式四、定積分的分部積分法五、定積分的換元積分法§ 8.5 定積分的應(yīng)用一、微元法二、平面區(qū)域的面積三、平面曲線的

9、弧長(zhǎng)四、應(yīng)用截面面積求體積五、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積六、變力作功§ 8.6 定積分的近似計(jì)算一、梯形法，二、拋物線法重點(diǎn)掌握：定積分的定義，存在條件及性質(zhì)，定積分的計(jì)算及應(yīng)用。數(shù)學(xué)分析m»第九章級(jí)數(shù)§ 9.1 數(shù)值級(jí)數(shù)一、收斂與發(fā)散的概念二、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)三、同號(hào)級(jí)數(shù)四、變號(hào)級(jí)數(shù)五、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)§ 9.2 函數(shù)級(jí)數(shù)一、函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域二、一致收斂的概念三、一致收斂判別法四、函數(shù)列的一致收斂五、和函數(shù)的分析性質(zhì)§ 9.3 哥級(jí)數(shù)一、哥級(jí)數(shù)的收斂域二、哥級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)三、泰勒級(jí)數(shù)四、基本初等函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開五、哥級(jí)數(shù)的應(yīng)用§ 9.4

10、傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)二、兩個(gè)引理三、收斂定理四、奇偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)五、以21為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)重點(diǎn)掌握：收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，同號(hào)級(jí)數(shù)、變號(hào)級(jí)數(shù)收斂性判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、一致收斂、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，哥級(jí)數(shù)的概念，收斂半徑，和函數(shù)的分析性質(zhì)，函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開，傅里葉級(jí)數(shù)的概念收斂定理，函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。第十章多元函數(shù)微分學(xué)§ 10.1 多元函數(shù)一、平面點(diǎn)集二、坐標(biāo)平面的連續(xù)性三、多元函數(shù)的概念§ 10.2 二元函數(shù)的極限與連續(xù)一、二元函數(shù)的極限二、二元函數(shù)的連續(xù)性§ 10.3 多元函數(shù)微分法一、偏導(dǎo)數(shù)二、全微分三、可微的幾何意義四、復(fù)合

11、函數(shù)微分法五、方向?qū)?shù)§ 10.4 二元函數(shù)的泰勒公式一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、二元函數(shù)的泰勒公式三、二元函數(shù)的極值重點(diǎn)掌握：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限和連續(xù)概念與性質(zhì)，偏導(dǎo)數(shù)、全微分，復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，微分運(yùn)算法則，極值的概念與計(jì)算。第十一章隱函數(shù)§ 11.1 隱函數(shù)存在定理一、隱函數(shù)的概念，二、一個(gè)方程確定的隱函數(shù)，三、方程組確定的隱函數(shù)§ 11.2 函數(shù)行列式一、函數(shù)行列式，二、函數(shù)行列式的性質(zhì)，三、函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)§ 11.3 件極值一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法，二、例§ 11.4 隱函數(shù)存在定理在幾何方面的應(yīng)用一、空間曲線的切

12、線與法平面二、曲面的切平面與法線重點(diǎn)掌握：隱函數(shù)存在定理，函數(shù)行列式的性質(zhì)，條件極值的概念與計(jì)算，曲線的切線與法平面和曲面的切平面與法線方程。數(shù)學(xué)分析IV»第十二章反常積分與含參變量的積分§ 12.1 無窮積分一、無窮積分收斂與發(fā)散的概念，二、無窮積分與級(jí)數(shù)，三、無窮積分的性質(zhì)，四、無窮積分的斂散性判別法§ 12.2 瑕積分一、瑕積分收斂與發(fā)散的概念，二、瑕積分的斂散性判別法§ 12.3 含參變量的積分一、含參變量的有限積分，二、含參變量的無窮積分，三、函數(shù)與函數(shù)重點(diǎn)掌握：無窮積分收斂與發(fā)散的概念及斂散性判別法，瑕積分收斂與發(fā)散的概念及斂散性判別法，含參

13、變量的有限積分的概念與分析性質(zhì)，含參變量的無窮積分的概念，一致收斂的定義與判別法，含參變量無窮積分的分析性質(zhì)，函數(shù)與函數(shù)。第十三章重積分§ 13.1 二重積分一、曲頂柱體的體積二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、二重積分的計(jì)算五、二重積分的換元六、曲面的面積§ 13.2 三重積分三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三、三重積分的換元四、簡(jiǎn)單應(yīng)用重點(diǎn)掌握：重積分的概念與性質(zhì)，二重積分及二重積分、三重積分的計(jì)算及柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)。第十四章曲線積分與曲面積分§ 14.1 曲線積分一、第一型曲線積分二、第二型曲線積分三、第一型曲線積分與第二型曲線積分的關(guān)系四、格林公式，

14、五、曲線積分與路線無關(guān)的條件§ 14.2 曲面積分一、第一型曲面積分二、第二型曲面積分三、奧高公式四、斯托克斯公式，§ 14.3 場(chǎng)論初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重點(diǎn)掌握：第一型曲線積分與曲面積分的定義及計(jì)算，第二型曲線積分與曲面積分的定義及計(jì)算，格林公式，曲線積分與路線無關(guān)的條件，奧高公式，斯托克斯公式。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)數(shù)學(xué)分析I的重點(diǎn)內(nèi)容有：極限論、函數(shù)的連續(xù)性，極限的-定義。數(shù)學(xué)分析n的重點(diǎn)內(nèi)容有：實(shí)數(shù)的連續(xù)性、微分學(xué)、微分學(xué)的基本定理、積分學(xué)。難點(diǎn)是：實(shí)數(shù)連續(xù)性定理及其證明，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明，一致連續(xù)性。數(shù)學(xué)分析出的重點(diǎn)內(nèi)容有：級(jí)數(shù)論和多元函

15、數(shù)微分學(xué)。難點(diǎn)是：函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的概念，函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開，傅里葉級(jí)數(shù)收斂性判別法，隱函數(shù)存在定理，條件極值的計(jì)算數(shù)學(xué)分析W的重點(diǎn)內(nèi)容有：廣義積分與含參變量的積分，重積分、曲線積分與曲面積分。難點(diǎn)是：含參廣義積分的一致收斂概念，各類積分之間的關(guān)系。五、學(xué)時(shí)分配數(shù)學(xué)分析I總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)，其中講授學(xué)時(shí)，習(xí)題課學(xué)時(shí)。章節(jié)內(nèi)容學(xué)時(shí)1函數(shù)（含習(xí)題課）62極限（含習(xí)題課）363連續(xù)函數(shù)（含習(xí)題課）22數(shù)學(xué)分析n»總學(xué)時(shí)108學(xué)時(shí)，其中講授學(xué)時(shí)，習(xí)題課學(xué)時(shí)。章節(jié)內(nèi)容學(xué)時(shí)4:實(shí)數(shù)的連續(xù)性（含習(xí)題課）305導(dǎo)數(shù)與微分（含習(xí)題課）186微分學(xué)的基本定理及其應(yīng)用（含習(xí)題課）307不定積分（含習(xí)題課）148定積分（含習(xí)題課