特殊平行四邊形

1、特殊平行四邊形特殊平行四邊形一、教學(xué)目標(biāo) 1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì). 2.探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條件.3.了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.二、知識考點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：矩形1.矩形的定義： 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的性質(zhì): 矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)； (1)矩形的對邊平行且相等； (2)矩形的四個(gè)角都相等，且都是直角； (3)矩形的對角線互相平分且相等.3.矩形的判定方法： (1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(定義)； (2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； (3)對角線相等的平行四邊形是矩形.4.面積公式

2、： S=ab(a、b 是矩形的邊長). 知識點(diǎn)二、菱形1.菱形的定義： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì)： 菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)； (1)菱形的對邊平行，四條邊都相等；(2)菱形的對角相等；(3)菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形的判定方法： (1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)；(2)四條邊都相等的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.4.面積公式： S=ah(a 是平行四邊形的邊長，h 是這條邊上的高)或 s= mn(m、n 是菱形的兩條對角線長).知識點(diǎn)三、正方形1.正方形的定義： 有一組鄰邊相等的矩形叫做

3、正方形；或有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性質(zhì): 正方形具有平等四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；(1)正方形的對邊平行，四條邊都相等；(2)正方形的四個(gè)角都是直角；(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角；3.正方形的判定方法： (1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(3)對角線相等的菱形是正方形；(4)對角線互相垂直的矩形是正方形.4.面積公式： S=a2(a 是邊長)或 s= b2(b 正方形的對角線長).三、數(shù)學(xué)思想1.數(shù)形結(jié)合思想 多邊形是反映了數(shù)的抽象性與形的直觀性這一對矛盾的對立統(tǒng)一，以及在一定條件下的互相轉(zhuǎn)

4、化，由數(shù)構(gòu) 形，由形思數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想.尤其在平行四邊形和矩形、菱形、正方形、梯形中，圖形的特點(diǎn)非常鮮明，與我們現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系很大，利用它們的性質(zhì)和判定能解決實(shí)際中的問題.2.分類討論思想根據(jù)題目中的已知判斷是哪種特殊的平行四邊形，不同的特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定不同.結(jié)合各自的特點(diǎn)進(jìn)行分類，得出最終的結(jié)論.3.化歸與轉(zhuǎn)化思想要記清和分清平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，要體會化歸思想的應(yīng)用，如：多邊形轉(zhuǎn)化為三角形；平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形性質(zhì)的討論通過對角線轉(zhuǎn)化為全等三角形等.4.注意觀察、分析、總結(jié)在判斷邊相等或角相等的問題上，常以平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)

5、或判定為依據(jù)，當(dāng)條件結(jié)論的關(guān)系無法找到時(shí)，可以通過輔助線將圖形適當(dāng)變化，使條件集中，以便應(yīng)用條件達(dá)到解題的目的，由繁變簡，一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化.四、經(jīng)典例題透析例 1.如圖，將矩形 ABCD 沿直線 EF 折疊，使點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合，折痕交 AD 于點(diǎn) E、交 BC 于點(diǎn) F，連接 AF、CE.(1)求證：四邊形 AFCE 為菱形；(2)設(shè) AE=a，ED=b，DC=c.請寫出一個(gè) a、b、c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式【答案】 （1）證明：四邊形 ABCD 是矩形，ADBC，AEF=EFC。由折疊的性質(zhì)，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。CF=CE。AF=CF=CE

6、=AE。四邊形 AFCE 為菱形。（2）解：a、b、c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE。四邊形 ABCD 是矩形，D=90。AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。在 RtDCE 中，CE2=CD2+DE2，a、b、c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫為：a2=b2+c2。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。【分析】 （1）由矩形 ABCD 與折疊的性質(zhì)，易證得CEF 是等腰三角形，即 CE=CF，即可證得 AF=CF=CE=AE，即可得四邊形 AFCE 為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得 CE=

7、AE=a，在 RtDCE 中，利用勾股定理即可求得：a、b、c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。 （答案不唯一）例 2.在菱形 ABCD 中，對角線 AC、BD 交于點(diǎn) O，AC、BD 的長分別為 5 厘米、10 厘米，則菱形 ABCD 的面積為_cm2. 思路點(diǎn)拔：菱形的對角線互相垂直，面積公式有兩個(gè)：(1)底乘高；(2)對角線乘積的一半.解：菱形 ABCD 的面積= ACBD=510=25cm2.例 3.能夠判別一個(gè)四邊形是菱形的條件是() A.對角線相等且互相平分 B.對角線互相垂直且相等C.對角線互相平分 D.一組對角相等且一條對角線平分這組對角解析：A 選項(xiàng)可判定為矩形；B

8、 選項(xiàng)不能判定是平行四邊形，也不能判定是菱形；C 選項(xiàng)只能判定是平行 四 邊形；D 選項(xiàng)由等角對等邊和三角形全等得到四條邊都相等.故選 D.總結(jié)升華：菱形在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步特殊化，菱形的對角線互相垂直，把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，常利用這一性質(zhì)求線段和角，以及菱形的面積.舉一反三：【變式】已知菱形的一條對角線與邊長相等，則菱形的兩個(gè)鄰角度數(shù)分別為 ( )A. 45， 135 B. 60， 120 C. 90， 90 D. 30， 150思路點(diǎn)拔：菱形的一條對角線與邊長相等，則構(gòu)成等邊三角形，從而求出菱形的內(nèi)角度數(shù).答案：B例 4正方形具有而矩形不一定具有的特征是( ) A.四個(gè)角都

9、是直角 B.對角線互相平分 C.對角線互相垂直 D.對角線相等思路點(diǎn)拔：正方形是滿足矩形和菱形的所有性質(zhì).正方形的對角線互相垂直，而矩形對角線則不一定互相垂直.答案：C.例 5.下列選項(xiàng)正確的是( )A.四邊相等的四邊形是正方形 B.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形C.對角線垂直的平行四邊形是正方形 D.四角相等的四邊形是正方形考點(diǎn)：正方形的判定方法.思路點(diǎn)拔：掌握正方形的判定方法要從邊、角、對角線各方面考慮.解析：A、C 選項(xiàng)能判定是菱形；D 選項(xiàng)能判定是矩形；故應(yīng)選 B.例 6.正方形 ABCD 中，對角線 BD 長為 16cm，P 是 AB 上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到 AC、BD

10、的距離之和等于_cm.思路點(diǎn)拔：本題方法很多，(1)可以利用三角形面積去求：連接 PO，ABO 的面積等于APO 和BPO 的面積之和；(2)也可證明矩形 PEOF，得 PF=EO，再證 PE=AE，從而得出結(jié)論.總之，P 在 AB 上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P到 AC、BD 的距離之和總等于對角線長的一半.解析：PE+PF=OA=8cm【變式】(1)順次連結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形(2)順次連結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形(3)順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形(4)順次連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形的判定由原四邊形的對角線決定.思路點(diǎn)拔：規(guī)