第13章__非正弦周期電流電路和信號(hào)頻譜

1、第十三章第十三章 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)13-1 13-1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算 理解非正弦周期電流電路的概念；掌握非正弦周期電流電路有效值和平均功率的計(jì)算；掌握應(yīng)用諧波分析法計(jì)算非正弦周期電流電路。 有效值和平均功率的計(jì)算；應(yīng)用諧波分析法計(jì)算有效值和平均功率的計(jì)算；應(yīng)用諧波分析法計(jì)算非正弦周期電流電路。非正弦周期電流電路。無難點(diǎn)。無難

2、點(diǎn)。講課講課3 3學(xué)時(shí)。學(xué)時(shí)。13-1 13-1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)按周期性變化，但不是正弦量。按周期性變化，但不是正弦量。鋸齒波鋸齒波Out24Um矩形波矩形波Out2Um全波整流波形全波整流波形Out2Um13-1 13-1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào) 諧波分析法諧波分析法 首先應(yīng)用傅立葉級(jí)數(shù)，將非首先應(yīng)用傅立葉級(jí)數(shù)，將非正弦周期激勵(lì)電壓、電正弦周期激勵(lì)電壓、電流或信號(hào)，分解為一系列頻率為周期函數(shù)頻率的正整倍流或信號(hào)，分解為一系列頻率為周期函數(shù)頻率的正整倍數(shù)的正弦量之和；數(shù)的正弦量之和； 再根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計(jì)算每一頻率的再根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計(jì)算每一頻率的正

3、弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的同頻正弦電流分量和正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的同頻正弦電流分量和電壓分量；電壓分量； 最后，把所得分量按時(shí)域形式疊加，就可以得到電最后，把所得分量按時(shí)域形式疊加，就可以得到電路在路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。 它實(shí)質(zhì)上是把非它實(shí)質(zhì)上是把非正弦周期電流電路的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一正弦周期電流電路的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一系列不同頻率的正弦電流電路的計(jì)算。系列不同頻率的正弦電流電路的計(jì)算。13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) tkbtkatbtatbtaatfkk11121211110sincos 2si

4、n2cossincos2 一個(gè)非一個(gè)非正弦周期函數(shù)，只要正弦周期函數(shù)，只要滿足狄里赫利條件，都滿足狄里赫利條件，都可以展開為一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)，即可以展開為一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)，即1110sincos2kkktkbtkaa一、一、非正弦周期函數(shù)的分解非正弦周期函數(shù)的分解 nTtftfT為周期函數(shù)為周期函數(shù)f(t)的周期，的周期，n為自然數(shù)為自然數(shù)0，1，2，基波分量基波分量或或1 1次諧波次諧波直流分量直流分量或恒定分量或恒定分量 kktktttf1m21m211m10cosA 2cosAcosA2A或合并成另一種形式：或合并成另一種形式：11m0cosA2Akkktk其它各項(xiàng)其它各項(xiàng)( (

5、k 1) )為高次諧波為高次諧波00AakkkacosAmkkkbsinAm22mkkkbaAkkkabarctankkkbaAkjejm傅立葉級(jí)數(shù)是一傅立葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) ttktfTaTkdcos210 ttktfTTTdcos2122 ttktf1120dcos1 ttktf11dcos1 ttktfTbTkdsin210 ttktfTTTdsin2122 ttktf1120dsin1 ttktf11dsi

6、n1 TtkkkkttfTbaAk0jjmde2je1 , 2 , 1 , 0k二、頻譜圖二、頻譜圖13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 一般所說頻譜是專指一般所說頻譜是專指幅度頻譜幅度頻譜而言：而言：為了直觀、為了直觀、形象地表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)后包含哪形象地表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占些頻率分量以及各分量所占“比重比重”，用線段的高度，用線段的高度表示各次諧波振幅，畫出表示各次諧波振幅，畫出 的圖形。的圖形。1mkAk1O1kmkA1213 頻譜圖提供一種從諧波頻譜圖提供一種從諧波的幅度和譜線密度兩

7、個(gè)方面的幅度和譜線密度兩個(gè)方面研究函數(shù)研究函數(shù)f ( t )的頻率特性的的頻率特性的圖像方法。圖像方法。kkAjme稱為頻譜函數(shù)稱為頻譜函數(shù)13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 例例13-1 求圖示周期性矩形信號(hào)求圖示周期性矩形信號(hào)f (t)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式的傅立葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜。及其頻譜。解：解：Of(t)t2TEm-EmTf(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 2T0 mtEtf TtTEtf2 m TtkkkkttfTbaAk0jjmde2je1TTtkTtktEtET2jm20jmdede2112jme1jkkE13-

8、2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 2jmjme1jekkkEAk 當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，上述結(jié)果為零；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，上述結(jié)果為零；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，上為奇數(shù)時(shí)，上述結(jié)果為述結(jié)果為kEAkkj4emjm mm904-kEAkk tttEtf111m5sin513sin31sin4 諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來的諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來的波形。參見波形。參見P321頁(yè)圖頁(yè)圖13-213-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 電工技術(shù)中遇到的周期函數(shù)常具有某種對(duì)稱性，利電工技術(shù)中遇到的周期函數(shù)常具有某種對(duì)

9、稱性，利用其對(duì)稱性可使系數(shù)用其對(duì)稱性可使系數(shù)ak、bk的求解簡(jiǎn)化。的求解簡(jiǎn)化。 偶函數(shù)具有縱軸對(duì)稱的性質(zhì)，即偶函數(shù)具有縱軸對(duì)稱的性質(zhì)，即 tftf故故0 , 0kkb，級(jí)數(shù)展開式中不含，級(jí)數(shù)展開式中不含sine項(xiàng)項(xiàng)( (奇函數(shù)奇函數(shù)) )。 奇函數(shù)具有原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即奇函數(shù)具有原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即 tftf故故 0ka，級(jí)數(shù)展開式中不含，級(jí)數(shù)展開式中不含cosine項(xiàng)項(xiàng)( (偶函數(shù)偶函數(shù)) )。 奇諧波函數(shù)具有鏡像對(duì)稱的性質(zhì)，即該波形移動(dòng)奇諧波函數(shù)具有鏡像對(duì)稱的性質(zhì)，即該波形移動(dòng)半周期后與橫軸對(duì)稱。半周期后與橫軸對(duì)稱。 2Ttftf故故022kkba，級(jí)數(shù)展開式中不含偶次諧波。，級(jí)數(shù)展開式中不

10、含偶次諧波。13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 任意一個(gè)非正弦周期函數(shù)任意一個(gè)非正弦周期函數(shù)f(t)都可以分解為一個(gè)偶函都可以分解為一個(gè)偶函數(shù)數(shù)fe(t)(偶部偶部)與一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)fo(t)(奇部奇部)之和，即之和，即 tftftfoe其中其中 tftftf21e tftftf21o 系數(shù)系數(shù)Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)，而與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)，而 與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，系數(shù)系數(shù)ak和和bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇也有關(guān)，所以函數(shù)的奇、與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇也有關(guān)，所以函數(shù)的

11、奇、偶性質(zhì)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇也有關(guān)。例圖偶性質(zhì)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇也有關(guān)。例圖13-3(b)和和13-4(b) k 函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)。函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)。 適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式簡(jiǎn)適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式簡(jiǎn)化?；?。 13-2 13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù) 傅立葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，理論上，必須取無窮傅立葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，理論上，必須取無窮多項(xiàng)方能準(zhǔn)確地代表原有函數(shù)。多項(xiàng)方能準(zhǔn)確地代表原有函數(shù)。 實(shí)際上，只能截取有限的項(xiàng)數(shù)，截取項(xiàng)數(shù)多少要根實(shí)際上，只能截取有限的項(xiàng)數(shù)，截取項(xiàng)數(shù)多少要根據(jù)級(jí)數(shù)

12、的收斂速度和電路的頻率特性而定。據(jù)級(jí)數(shù)的收斂速度和電路的頻率特性而定。 通常，函數(shù)的波形越光滑和越接近于正弦形，其展通常，函數(shù)的波形越光滑和越接近于正弦形，其展開級(jí)數(shù)就收斂得越快。開級(jí)數(shù)就收斂得越快。 在電路的頻率特性方面，要注意某些頻段內(nèi)，響應(yīng)在電路的頻率特性方面，要注意某些頻段內(nèi)，響應(yīng)的幅度特別大。例如諧振點(diǎn)附近的頻段。的幅度特別大。例如諧振點(diǎn)附近的頻段。13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率一、一、非正弦周期電壓和電流的有效值非正弦周期電壓和電流的有效值式中式中 為基波、二次諧波等的有效值為基波、二次諧波等的有效值 ,2,2m22m11 II II非正弦周期

13、電壓非正弦周期電壓u的有效值為的有效值為 UUUU222120 結(jié)論：結(jié)論：非正弦周期量的有效值為直流分量及各次非正弦周期量的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。諧波分量有效值平方和的平方根。 IIItiTIT22212002d1非正弦周期電流非正弦周期電流i的有效值為的有效值為二、二、非正弦周期電壓和電流的平均值非正弦周期電壓和電流的平均值13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率tiTITd10defavttITTdcos10mI898. 0 它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整波后的平均值。它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整波后的平均值。注意：注意：對(duì)于同一非正弦周期

14、電流，當(dāng)用不同類型的儀對(duì)于同一非正弦周期電流，當(dāng)用不同類型的儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)得到不同的結(jié)果，表進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)得到不同的結(jié)果，要注意不同類型要注意不同類型儀表讀數(shù)表示的含義儀表讀數(shù)表示的含義。TtpTP0d1kkkIUIUIUIUPcoscoscos22211100 結(jié)論：結(jié)論：非正弦周期電流電路中的平均功率等于非正弦周期電流電路中的平均功率等于直直流分量和各流分量和各正弦諧波分量的正弦諧波分量的的平均功率之和。的平均功率之和。13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率三、三、非正弦周期電路的平均功率非正弦周期電路的平均功率 不同頻率的正弦電壓與電流乘積的積分為零；不

15、同頻率的正弦電壓與電流乘積的積分為零；同同頻率的正弦電壓與電流乘積的積分不為零。頻率的正弦電壓與電流乘積的積分不為零。11m011m0coscoskikkkukktkIItkUUuip , 2 , 1 , , 2 , 2kIIUUikukkkmkkmk13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算解：解： 電流相量的一般表達(dá)式為電流相量的一般表達(dá)式為RLCSui+-例例13-2 圖示電路中，圖示電路中， ，輸，輸入電源為矩形波，其級(jí)數(shù)展開式為入電源為矩形波，其級(jí)數(shù)展開式為429. 0 , 211 , 311LCRV9cos12.317cos03.40 5cos02.563

16、cos37.93cos11.28011111Stttttu求電流求電流i和電阻吸收的平均功率和電阻吸收的平均功率P 。 CkLkRUkUIkkk11sm1smm1jjZ13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算kkkkkZ70.143j13210.429j31 kkk70.143arctan kkkkUIsmmcos31 2m2m5 . 121kkkIRIP CkLkRUkUIkkk11sm1smm1jjZ13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算 容性70.811 A70.8147.131mI W33.2721P 容性30.623 A30.

17、6247.143mI W06.3143P 容性41.345 A41.3441.155mI W00.3565P 諧振07 A034.137mI W07.2677P 感性99.269 A99.2624. 99mI W17.1289P W63.133797531PPPPPP41.345cos41.15 30.623cos47.14 70.81cos47.13111ttti13-4 13-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算解：解： 將將uS分解為傅立葉級(jí)數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)ttu11S4cos1512cos31211574例例13-3 圖示電路中，圖示電路中， 為正弦為正弦全波整流波形，設(shè)全波整流波形，設(shè) 。求。求R兩端電兩端電壓的各諧波分量。壓的各諧波分量。S , F10 , H5 , k2uCLRV157 , s /rad314sm1URLCSu+-101tOuS2Usm設(shè)設(shè)R兩端電壓的第兩端電壓的第k次諧波為次諧波為 kU1m kkULkUCkRLksm1m111j1j1j1 RLkLCkULkCkRUUkkk1212sm11smm1j11jj113-4 13-4 非正弦