第2章 點線與平面的投影

1、中國科學技術大學工程科學學院 本章主要介紹點、直線和平面投影的概念，特性和本章主要介紹點、直線和平面投影的概念，特性和作法，以培養(yǎng)空間位置的思考能力，是下一步學習的作法，以培養(yǎng)空間位置的思考能力，是下一步學習的重要基礎。重要基礎。中國科學技術大學工程科學學院2-1 2-1 投影法的基本概念投影法的基本概念中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院 正投影法是投影線相正投影法是投影線相互平行，投影方向垂互平行，投影方向垂直于投影面的投影法，直于投影面的投影法，所得的投影稱為正投所得的投影稱為正投影。影。 正投影法是機械制圖正投影法是機械制圖主要的投影法。主要的投影法。中國科學技術大

2、學工程科學學院 斜投影法是投影斜投影法是投影線相互平行，投線相互平行，投影方向傾斜于投影方向傾斜于投影面的投影法。影面的投影法。中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院2-2 2-2 點點中國科學技術大學工程科學學院1、兩投影面體系的建立VXO水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 軸 OX中國科學技術大學工程科學學院2、兩投影面體系中點的投影點A的水平投影 a點A的正面投影 aaAZYXa中國科學技術大學工程科學學院3、點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置中國科學技術大學工程科學學院4、兩面投影圖的畫法HXHVOa aaxxzya中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工

3、程科學學院5、兩面投影圖的性質1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa 中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院6、三投影面體系的建立水平投影面 - H HV - OX正面投影面 - V V W - OZ 側面投影面 - W HW - OY ZYWO中國科學技術大學工程科學學院O7、 三投影面體系中點的投影點A的水平投影 a 點A的正面投影 a點A的側面投影 aHa aa VWXOZYWYHaaaA中國科學技術大學工程科學學院1. aa X軸，aaz = aay = XA2. aaZ軸， aax =aa y = ZA3. aax = aaz =YA8、三投影面體

4、系中點的投影規(guī)律中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等中國科學技術大學工程科學學院9、特殊點的投影HVOXb bc cCcca bBb Aaa a中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院10、 兩點的相對位置兩點中x值大的點 在左兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上a a ab b bBA中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院11、 重影點的投影重影點的投影cd(c)dCDa(b)abAB中國科學技術大學工程科學學院中國科學技術大學工程科學學院例題例題1 已知點A

5、的正面與側面投影，求點A的水平投影。a中國科學技術大學工程科學學院注注：因為平面是無限大的，所因為平面是無限大的，所 以一般以一般不畫出平面邊框。不畫出平面邊框。中國科學技術大學工程科學學院例題例題2 已知點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點A的投影。a a a985中國科學技術大學工程科學學院2-3 2-3 直線直線中國科學技術大學工程科學學院基本要求中國科學技術大學工程科學學院2-3-1 直線的投影 直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d) 2-3-2 直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置一、特殊位置直線一、特殊位置直線

6、1.1.直線平行于一個投影面直線平行于一個投影面 (1) (1) 水平線水平線 (2) (2) 正平線正平線 (3) (3) 側平線側平線2.2.直線垂直于一個投影面直線垂直于一個投影面 (1) (1) 鉛垂線鉛垂線 (2) (2) 正垂線正垂線 (3) (3) 側垂線側垂線3.3.從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線 從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線 從屬于投影面的鉛垂線從屬于投影面的鉛垂線 從屬于投影軸的直線從屬于投影軸的直線二、一般位置直線二、一般位置直線中國科學技術大學工程科學學院(1) 水平線水平線 只平行于水平投影面的直線只平行于水平投影面的直線aababb Xa b ab b

7、aOzYHYWAB投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真實大小中國科學技術大學工程科學學院（2）正平線）正平線只平行于正面投影面的直線只平行于正面投影面的直線aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真實大小中國科學技術大學工程科學學院（3）側平線）側平線只平行于只平行于側側面投影面的直線面投影面的直線aa b a bbAB投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真實大小XZa b bbaOYHYWa中國科學技術大學工程科學學院b a(b

8、)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 積聚 成一點 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB（1）鉛垂線）鉛垂線 垂直于水平投影面垂直于水平投影面的直線的直線AB中國科學技術大學工程科學學院（2）正垂線 垂直于正面投影面的直線bababa投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =ABABzXab baOYHYWab中國科學技術大學工程科學學院（3）側垂線 垂直于側面投影面的直線投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABABbaababZX

9、abbaOYHYWab中國科學技術大學工程科學學院從屬于V 面的直線ZXabaOYHYWabbBbbabaA a中國科學技術大學工程科學學院從屬于V 投影面的鉛垂線ZYWbXaba(b)OYHa中國科學技術大學工程科學學院從屬于OX軸的直線ZXabaOYHYWabb中國科學技術大學工程科學學院二、一般位置直線二、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于實長 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 3不反映 、 、 實角中國科學技術大學工程科學學院 2-3-3 一般位置線段的實長及其與投影面的夾角一般位置線段的實長及其與投影面的夾角中國科學技術

10、大學工程科學學院1 1 求直線的實長及對水平投影面的夾角求直線的實長及對水平投影面的夾角 角角2 2 求直線的實長及對正面投影面的夾角求直線的實長及對正面投影面的夾角 角角3 3 求直線的實長及對側面投影面的夾角求直線的實長及對側面投影面的夾角 角角 例題例題1 1 作圖方法作圖方法中國科學技術大學工程科學學院|zA-zB |AB1 求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab中國科學技術大學工程科學學院2 求直線的實長及對正面投影面的夾角 角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|中國科學技術大學工程

11、科學學院3 求直線的實長及對側面投影面的夾角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|中國科學技術大學工程科學學院例題例題1 已知 線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB| abABab|zA-zB|中國科學技術大學工程科學學院本本 章章 作作 業(yè)業(yè) 題（題（1） 教材教材： 思考練習題思考練習題 2.1 2.2 2.3 2.4 習題集習題集： 2.1 2.8中國科學技術大學工程科學學院直線上的點具有兩個特性： 1從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。

12、即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。 例題2 例題3 例題4 2-3-4 屬于直線的點屬于直線的點中國科學技術大學工程科學學院cc 例題例題2 2 已知線段AB的投影圖，試將AB分成21兩段，求分點C的投影c、c 。中國科學技術大學工程科學學院例題例題3 3 已知點C在線段AB上，求點C 的正面投影。cccabc中國科學技術大學工程科學學院例題例題4 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影， 使BC 的實長等于已知長度L。cLABzA-zBcab中國科

13、學技術大學工程科學學院2-3-5 兩直線的相對位置 一、平行兩直線二、相交兩直線 三、交叉兩直線四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 例題5 例題6 例題7中國科學技術大學工程科學學院一、平行兩直線 1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2平行兩線段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc中國科學技術大學工程科學學院二、相交兩直線 當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然。bXaabkcddck中國科學技術大學工程科學學院三、 交叉兩直線

14、凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 b Xa abc d dc11 (2 )2中國科學技術大學工程科學學院四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷(3 )4 1(2)43341 2 12中國科學技術大學工程科學學院例題例題5 5 判斷兩直線的相對位置dacboYWYHz中國科學技術大學工程科學學院例題例題6 6 判斷兩直線的相對位置11dc 11中國科學技術大學工程科學學院例題例題7 7 判斷兩直線重影點的可見性3(4)34121(2)中國科學技術大學工程科學學院2-3-6 直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面

15、上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影定理三定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。中國科學技術大學工程科學學院一、垂直相交的兩直線的投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac中國科學技術大學工程科學學院AB垂直于MN,且AB平行于H面,則有ab mn二、交叉垂直的兩直線的投影c中國科學技術大學工程科

16、學學院例 題例題例題8 8例題例題9 9例題例題1010中國科學技術大學工程科學學院 例題例題8 8 過過A A點作一條正平線點作一條正平線ABAB垂直于垂直于EFEFbb中國科學技術大學工程科學學院ffee例題9 已知AB、CD分別為正平線和水平線，過E點作一條直線EF垂直于AB和CD。中國科學技術大學工程科學學院b 例題例題1010 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa中國科學技術大學工程科學學院2-2 2-2 平面平面 基本要求基本要求 1.掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置

17、平面的跡線表示法。線表示法。 2.掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法。掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法。 3.掌握平面內的點和直線的幾何條件及作圖方法。掌握平面內的點和直線的幾何條件及作圖方法。 4.掌握直線和平面、平面和平面相對位置關系及作掌握直線和平面、平面和平面相對位置關系及作圖方法。圖方法。中國科學技術大學工程科學學院一、面的投影一、面的投影中國科學技術大學工程科學學院二、二、平面的表示法平面的表示法1 1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平

18、行二直線；任點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。意平面圖形。2 2、平面的跡線表示法、平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。中國科學技術大學工程科學學院1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd中國科學技術大學工程科學學院2、 平面的跡線表示法平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ中國科學技術大學工程科學學院三、三、 各種位置平面的投影特性各種位置平面的

19、投影特性（一）、投影面的垂直面（一）、投影面的垂直面1鉛垂面鉛垂面2正垂面正垂面3側垂面?zhèn)却姑妫ǘ?、投影面的平行面（二）、投影面的平行?水平面水平面2正平面正平面3側平面?zhèn)绕矫妫ㄈ?、一般位置平面（三）、一般位置平面中國科學技術大學工程科學學院（一）、投影面的垂直面（一）、投影面的垂直面 正垂面正垂面 鉛垂面鉛垂面 側垂面?zhèn)却姑?中國科學技術大學工程科學學院PPH1鉛垂面鉛垂面投影特性 (1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為ABC的類似形 (3) abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實大小 ABCacbabab bab ccc中國科學技術大學工程科學學院鉛垂面跡線表示法鉛

20、垂面跡線表示法PHPPH中國科學技術大學工程科學學院QQV 2正垂面正垂面 投影特性 (1) abc 積聚為一條線 (2) abc、 abc為 ABC的類似形 (3) abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實大小 AcCabBbababaccc中國科學技術大學工程科學學院正垂面的跡線表示法正垂面的跡線表示法 QQVQV中國科學技術大學工程科學學院SWS 3側垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦?(1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為 ABC的類似形 (3) abc與OZ、 OY的夾角反映、角的真實大小 CabABcbababaccc中國科學技術大學工程科學學院側垂面的跡線表示法側垂面的跡線表示

21、法VWSwSZXOYSwY中國科學技術大學工程科學學院（二）、投影面的平行面（二）、投影面的平行面正平面正平面 水平面水平面 側平面?zhèn)绕矫嬷袊茖W技術大學工程科學學院1水平面水平面投影特性： (1) abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC實形 CABabcbacabccabbbaacc中國科學技術大學工程科學學院2正平面正平面投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC實形 cabbacbcabacabcbcaCBA中國科學技術大學工程科學學院投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線

22、，具有積聚性 (2) 側平面投影 abc 反映 ABC實形 3側平面?zhèn)绕矫鎍bbbacccabcbacabcCABa中國科學技術大學工程科學學院（三三）、一般位置平面、一般位置平面 投影特性：投影特性：中國科學技術大學工程科學學院（三三）、一般位置平面、一般位置平面的投影的投影投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均為 ABC的類似形 (2) 不反映、 的真實角度 abccabbaaabbccbacABC中國科學技術大學工程科學學院四、四、 屬于平面的點和直線屬于平面的點和直線1、屬于一般位置平面的點和直線、屬于一般位置平面的點和直線2、屬于特殊位置平面的點和直線、屬于特殊位置平面

23、的點和直線3、屬于平面的投影面平行線、屬于平面的投影面平行線中國科學技術大學工程科學學院（一一）、屬于一般位置平面的點和直線、屬于一般位置平面的點和直線1 1平面上的直線平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點；通過平面上的兩點；通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。2 2平面上的點平面上的點 點在平面上的幾何條件是：點在平面上的幾何條件是： 點在平面內的某一直線上。點在平面內的某一直線上。中國科學技術大學工程科學學院平面上的直線（平面上的直線（1） 直線直線DE通過平面通過平面ABC上的兩個點上的兩個點D

24、、E。中國科學技術大學工程科學學院平面上的直線（平面上的直線（2） 直線直線DE通過平面通過平面ABC上的點上的點D，且平行于平面且平行于平面ABC上的直線上的直線BC。中國科學技術大學工程科學學院平面上的點平面上的點 點點D在平面在平面ABC的的直線上。直線上。中國科學技術大學工程科學學院在平面上取點、直線的作圖在平面上取點、直線的作圖 在平面上取點、直線的作圖，實質上就是在平面在平面上取點、直線的作圖，實質上就是在平面內作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的內作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已

25、知平面；完成已知平面上的點和直線的投屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。影；完成多邊形的投影。 例題例題1 1 例題例題2 2 例題例題3 3中國科學技術大學工程科學學院1取屬于平面的直線取屬于平面的直線 取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經過取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFddeeff 中國科學技術大學工程科學學院2取屬于平面的點 取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線

26、EDddee中國科學技術大學工程科學學院例題例題1 已知 ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。ddee中國科學技術大學工程科學學院例題例題2 已知點D在 ABC上，試求點D的水平投影 。dd中國科學技術大學工程科學學院例題例題3 已知點E在 ABC上，試求點E的正面投影 。ee中國科學技術大學工程科學學院（二二）、屬于特殊位置平面的點和直線、屬于特殊位置平面的點和直線 1 1屬于投影面垂直面的點和直線屬于投影面垂直面的點和直線 2 2過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線總可作投影面的垂直面 (1) (1) 幾何元素表示法幾何元素表示法 (2) (2) 跡線表示法跡線表示法 3 3過特殊位置直線作平面過特殊位置直線作平面 (1) (1) 過正垂線作平面過正垂線作平面 (2) (2) 過正平線作平面過正平線作平面 中國科學技術大學工程科學學院bb1 取屬于投影面垂直面的點和直線aaeffe中國科學技術大學