微積分22 函數(shù)的極限(分析定義)

1、1 返回第第二二節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、單側(cè)極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此在此 可理解為可理解為一、一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限xx對(duì)比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義對(duì)比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義. 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的幾種形式自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的幾種形式.軸軸正正半半軸軸趨趨于于正正無(wú)無(wú)窮窮大大沿沿著著表表示示xxxx.軸軸負(fù)負(fù)半半軸軸趨趨于于負(fù)負(fù)無(wú)無(wú)窮窮大大沿沿著著表表示示xx.軸軸任任意意方方向向趨趨于于無(wú)

2、無(wú)窮窮大大沿沿著著表表示示xxx第二節(jié) 函數(shù)的極限).()( )(limxAxfAxfx或 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在 上有定義上有定義, A為一為一個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù).若當(dāng)若當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 函數(shù)函數(shù)f (x)無(wú)限趨近常數(shù)無(wú)限趨近常數(shù)A, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) 以以 A 為極限為極限. 記為記為0 ax |x| x)( )( )(lim )(,)(, 0, 0,)( xAxfAxfxxfAAxfXxXaxxfx或或時(shí)時(shí)的的極極限限，記記為為在在為為則則稱稱成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)存存在在若若對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的時(shí)時(shí)有有定定義義在在設(shè)設(shè) AxfXx

3、XAxfx)(, 0, 0 )(lim時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)定義定義 極限定義的幾何意義極限定義的幾何意義：對(duì)任意給定的正數(shù)：對(duì)任意給定的正數(shù) ，在，在直線直線 的上、下方各作一直線的上、下方各作一直線 ，則存在，則存在 使得在區(qū)間使得在區(qū)間 與與 內(nèi)函數(shù)的圖形內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線全部落在這兩條直線 之間之間. . Ay Ay0X),(X),(X AyX X )(xfyxyAO類似的可以定義極限類似的可以定義極限Axfx)(limAxfx)(lim )(lim Axfx. Axfxfxx )(lim)(lim定理定理設(shè)設(shè) f (x)在在 內(nèi)有定內(nèi)有定義義, A為常數(shù)為常數(shù).若當(dāng)若當(dāng)x無(wú)限無(wú)限增大時(shí)

4、增大時(shí), 函數(shù)函數(shù)f (x)無(wú)限趨無(wú)限趨近常數(shù)近常數(shù)A, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) 以以 A 為極限為極限.設(shè)設(shè) f (x)在在 內(nèi)有定內(nèi)有定義義, A為常數(shù)為常數(shù).若當(dāng)若當(dāng)x無(wú)限無(wú)限減小時(shí)減小時(shí), 函數(shù)函數(shù)f (x)無(wú)限趨無(wú)限趨近常數(shù)近常數(shù)A, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) 以以 A 為極限為極限.),(ax),(ax由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限.01limxx.01limxx.01limxx0limxxe2arctanlimxx2arctanlimxx二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限 自變量趨于有限值時(shí)的幾種形式00 xxxx趨于且表示0

5、 xx0 xx0 xx 00 xxxx趨于且表示00 xxxx趨于且表示自變量趨向有限值分為以下幾種形式 考察函數(shù)考察函數(shù) 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì).11)(2xxxf1x2.52.12.011.991.91.5f (x)1.51.11.010.990.90.5x函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下2)(xf從上述圖表中可以看出從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量當(dāng)自變量 時(shí)時(shí), 1x112xxyxx1 再考察函數(shù)當(dāng)自變量再考察函數(shù)當(dāng)自變量 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì).仿上例可以得到下表仿上例可以得到下表.1)( xxg1xx0.5 0.9 0.991.01 1.11.5g(x) 1.5

6、 1.9 1.992.01 2.12.52)(xg從上述圖表中可以看出從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量當(dāng)自變量 時(shí)時(shí), 1x 上述兩例說(shuō)明：上述兩例說(shuō)明： 處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義. 處有定義處有定義.而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 都有相同的變化趨都有相同的變化趨勢(shì)勢(shì).通常稱當(dāng)通常稱當(dāng) 存在極限值存在極限值2.1)(0 xxf在10 xxg在在)(1x)()(xgxf與)()(,1xgxfx與時(shí)1 xyxx1定義定義 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) 在在 的某一去心鄰域的某一去心鄰域 有定有定義義 ，若在，若在 的過(guò)程中的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f (x) 無(wú)限趨無(wú)限趨近于確定的數(shù)值近于確定的數(shù)值 A, 則稱則稱

7、 A 是函數(shù)是函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的時(shí)的極限極限.記為記為0 xx )(xf)(xf0 xx 0 xAxfxx )(lim0 說(shuō)明：說(shuō)明：由定義知極限由定義知極限 與函數(shù)在點(diǎn)與函數(shù)在點(diǎn) 的狀況的狀況（是否有定義（是否有定義; 或有定義或有定義時(shí)時(shí), 是否等于是否等于A ）是是無(wú)關(guān)的無(wú)關(guān)的.)(0 xf0 xAxxx0)(xfy xy0()U x 11函數(shù)極限定義的精確化函數(shù)極限定義的精確化AxfxxAxfxx )(,)(lim00時(shí)時(shí)也也即即;)()(,0可以任意小的距離與時(shí)AxfAxfxx;)(,0正數(shù)可以小于任意給定小的時(shí)Axfxx;)(, 00Axfxx時(shí)當(dāng)對(duì)于任意給定的;)( , 00Axf

8、xx就有足夠小只要對(duì)于任意給定的.)( ,0, 0, 00成立有時(shí)當(dāng)存在對(duì)于任意給定的AxfxxAxfxxAxfxx)( ,0, 0, 0 )(lim00時(shí)當(dāng))( )( )(lim )(,)(,0, 0, 0)()( 0000000 xxAxfAxfxxxfAAxfxxxxUxxfxx或記為時(shí)的極限，在為則稱成立恒有時(shí)使得當(dāng)存在若對(duì)于任意給定的可除外）內(nèi)有定義的某鄰域在設(shè)定義函數(shù)極限定義可以簡(jiǎn)述為函數(shù)極限定義可以簡(jiǎn)述為13 極限定義的幾何意義極限定義的幾何意義：對(duì)任意給定的正數(shù)：對(duì)任意給定的正數(shù) ，在，在直線直線 的上、下方各作一直線的上、下方各作一直線 ，則存在，則存在 使得在區(qū)間使得在區(qū)間

9、 與與 內(nèi)函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線圖形全部落在這兩條直線 之間之間. . Ay Ay0),(00 xx),(00 xx AyA)(xfy xyA0 x)(xfy xy0 x0 xAA0 x0 x0 xAA14例 證明 所以 即 取 則當(dāng) 時(shí)，有21 x210 x4122lim21xxx證明 對(duì)于任意給定 ，當(dāng) 時(shí)，為使 01x124) 1(241222xxxx成立 41222xx4122lim21xxx. )(lim0為常數(shù)cccxx由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.lim00 xxxxnnxxxx00lim.coscoslim ;sinsinl

10、im0000 xxxxxxxx00limxxxx)0(0 x00limxxxxee0arctanarctanlim0 xxxx0lnlnlim0 xxxx)0(0 x基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)極限都存在，且在定義域內(nèi)每一點(diǎn)極限都存在，且).()(lim00 xfxfxx 在在 的定義中的定義中, 若只考慮若只考慮 x 從從 的某一側(cè)的某一側(cè)(從小于從小于 的一側(cè)或從大于的一側(cè)或從大于 的一側(cè)的一側(cè)) 趨近于趨近于 時(shí)時(shí)f (x) 的的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì), 則有左極限和右極限的概念則有左極限和右極限的概念.Axfxx)(lim00 x0 x0 x0 x類似可定義類似可定義左

11、極限左極限.)( )(lim00AxfAxfxx或0 x.)( )(lim00AxfAxfxx 或或 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，A為常數(shù)為常數(shù).若若當(dāng)當(dāng)x 從從 的右側(cè)的右側(cè)(大于大于 的一側(cè)的一側(cè))趨近于趨近于 時(shí)時(shí), f (x)無(wú)限無(wú)限趨近常數(shù)趨近常數(shù)A, 則稱則稱f (x)在在 處的處的右極限右極限為為A.記為記為),(0bx0 x0 x0 x三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱為左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限單側(cè)極限. 根據(jù)根據(jù) 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) f (x)的極限定義、左極限和右的極限定義、左極限和右極限的定義極限的定義, 可以得到下面的結(jié)論可以得到下面的結(jié)論.0

12、 xx 的充分必要條件是Axfxx)(lim0定理.)()(00Axfxf y = f (x)xOyy = f (x)xOyAA0 xx xx 0左極限右極限 對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否存在極限通常用此定對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否存在極限通常用此定理進(jìn)行討論理進(jìn)行討論.)( ,0. 0 , 2, 0 , 1)( 的的極極限限是是否否存存在在函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)試試討討論論當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xfxxxxxf 函數(shù)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=0處的左、右極限都存處的左、右極限都存,在但不相等在但不相等. 2)2(lim)(lim ,000 xxfxxx有時(shí)當(dāng)所以極限所以極限 不存在不存在.)(lim 0 xfx例, 11lim)(lim ,000 xxxfx有時(shí)當(dāng)解四、函數(shù)極限的性質(zhì) , )(lim, )(lim00.BABxfAxfxxxx 則則若若性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性唯一性)