山東省青島市2025屆高三上學(xué)期部分學(xué)生調(diào)研檢測（1月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第21頁，共21頁青島市2025年高三年級部分學(xué)生調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題2025.01本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13，15，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】利用中位數(shù)的定義直接求得結(jié)果.【詳解】樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13，15的中位數(shù)是.故選：C2.若，其中，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】由，得，而，解得，所以.故選：B3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和性質(zhì)求解即可判斷.詳解】，故選：D.4.已知圓與圓恰有條公切線，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，兩圓外切，可得出，再利用重要不等式可求得的最大值.【詳解】由題意可知，圓心，圓的半徑為，圓心，圓的半徑為，因?yàn)閮蓤A恰有條公切線，則兩圓外切，則，可得，由重要不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號成立，故的最大值為.故選：A.5.設(shè)函數(shù)，，，則可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意可得，可得出關(guān)于的表達(dá)式，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，則該函數(shù)的最大值為，最小值為，且，所以，、中一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)為函數(shù)的最小值，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，即，可得，所以，的可能取值為.故選：C.6.“超橢圓”是一種優(yōu)美的封閉曲線．如圖是當(dāng)，時(shí)的圖象，點(diǎn)是與軸正半軸的交點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)、，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出曲線的方程，分析可知，曲線關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對稱，設(shè)點(diǎn)，其中，，則，計(jì)算得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)法求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，在曲線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，即點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，同理可知，曲線關(guān)于、軸對稱，因?yàn)樵c(diǎn)的直線交于點(diǎn)、，則點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，在曲線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，，由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，，則，，令，令，其中，則，因?yàn)?，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)?，則，所以，，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于換元，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求其值域.7.已知，若不等式對任意x>0恒成立，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明若原不等式恒成立，則必有，再證明當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，即可得到的最大值是.【詳解】①若，則當(dāng)x=1時(shí)，有，從而原不等式對x=1不成立，不滿足條件；這表明若原不等式恒成立，則必有；②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，下面證明該不等式恒成立：設(shè)，則對有，對x>1有.從而fx在上遞減，在上遞增，故.這就意味著，即.從而此時(shí)原不等式恒成立，滿足條件.綜合①②兩個(gè)方面可知，的最大值是.故選：B.8.實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有3個(gè)根，則，，．設(shè)是方程的3個(gè)根，則（）A. B. C.3 D.4【答案】B【解析】分析】根據(jù)給定條件，列式代入計(jì)算即得.【詳解】由是方程的3個(gè)根，得，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可判定A；由得，，可判斷B、D；然后由根據(jù)公式求解即可判斷C.【詳解】由知正態(tài)分布曲線的對稱軸為，，，因?yàn)?，所以，，故A、D不正確，B、C正確.故選：BC.10.已知點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中垂線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.曲線的方程為 B.線段中點(diǎn)的軌跡方程為C.的最小值為5 D.直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義即可判斷；對于B，設(shè)Ex,y是線段的中點(diǎn)，則，由點(diǎn)在圓上，代入化簡即可判斷B；對于C，設(shè)，則，，將表示成的二次函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可；對于D，分直線與圓相切與不相切兩類討論，當(dāng)與圓不相切時(shí)，通過三角設(shè)元法，設(shè)出的中點(diǎn)為，得到直線的方程，再將直線的方程與曲線方程聯(lián)立，通過方程組的解的情況即可判斷.【詳解】對于A，∵是的中垂線上的點(diǎn)，則，∴，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，∴曲線的方程為，故A正確；對于B，設(shè)Px0,y0，線段中點(diǎn)所以，即化簡為，故B正確；對于C，設(shè)，則，則，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；對于D，曲線的方程為.設(shè)是圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)與(或)重合時(shí)，的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，且∥，直線的方程為：，直線為曲線的漸近線；當(dāng)不與重合時(shí)，由選項(xiàng)B知，線段中點(diǎn)的軌跡方程為，故可設(shè)中點(diǎn)，若，則，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)中垂線，與相切，即直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)中垂線，與相切，即直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；若，則，∴，即，若，即，此時(shí)直線過原點(diǎn)，則與（或）重合，故.聯(lián)立，即，得，化簡得，則，即此時(shí)，解得.所以只有一組實(shí)數(shù)解，即直線與曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11.曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則（）A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于2【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在處的切線方程，令，可得，可判斷A的真假；利用A得到的遞推公式，探索與的關(guān)系，判斷B的真假；根據(jù)B中的結(jié)論，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷C的真假；根據(jù)ABC中的正確結(jié)論，對數(shù)列進(jìn)行放縮，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，判斷D的真假.【詳解】因?yàn)?，所?所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：.對A選項(xiàng)：在切線方程中，令，得：，所以，故A正確；對B選項(xiàng)：因?yàn)?，，兩邊取自然對?shù)，得：.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對C選項(xiàng)：由B可知：.故C正確；對D選項(xiàng)：因?yàn)?，又，，所以?設(shè)，則，所以，，，，…，，所以.即數(shù)列數(shù)的前項(xiàng)和小于2.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線，令得到數(shù)列的遞推公式后，根據(jù)題目的提示，研究數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為80，則__________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理列式計(jì)算得解.【詳解】二項(xiàng)式展開式中含的項(xiàng)為，依題意，，即，解得.故答案為：513.函數(shù)（且）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，探討其對稱中心，進(jìn)而求出.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)在上有相同的單調(diào)性，，即，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以.故答案為：.14.稱集合為“集合”，如果滿足如下三個(gè)條件：①中有20個(gè)元素；②中的每個(gè)元素是包含于的閉區(qū)間；③對任意實(shí)數(shù)，中包含的元素個(gè)數(shù)不超過10．對于“集合”，滿足的區(qū)間對的個(gè)數(shù)的最大值為__________．【答案】300【解析】【分析】先構(gòu)造一個(gè)特例，再根據(jù)逐步調(diào)整法和數(shù)學(xué)歸納法可證得取值范圍，從而可求其最大值.【詳解】先構(gòu)造一個(gè)例子：設(shè)，，，，構(gòu)造區(qū)間，，集合，設(shè)，，，，構(gòu)造區(qū)間，，集合，顯然A，B都是“集合”，以下交集不為空集稱為“相交”，交集為空集稱為“不相交”，易發(fā)現(xiàn)：A中每個(gè)元素與B中前10個(gè)元素相交，A中后10個(gè)元素只與B中后10個(gè)元素相交，而與前10個(gè)元素不相交，所以滿足的區(qū)間對的個(gè)數(shù)為，這就是最大值,下面給予一般性的證明：斷言一：對于A中區(qū)間，如果，則將中的區(qū)間替換為不改變原結(jié)果，稱之為“切換”.這是因?yàn)?①如果中的一個(gè)區(qū)間與相交，那么它與替換前后的兩個(gè)區(qū)間都相交，成立；②如果中的一個(gè)區(qū)間與不相交，則它要么與都不相交，要么恰與中一個(gè)相交.因此，如果它與其中之一相交，則在替換區(qū)間后仍會與其中之一相交，也成立.斷言二：總能在有限次“切換”后，使得對于中任意兩個(gè)區(qū)間，它們要么不交，要么一個(gè)包含另一個(gè)，對于亦然.為此，考慮一個(gè)以區(qū)間為頂點(diǎn)的圖，兩頂點(diǎn)之間連邊當(dāng)且僅當(dāng)它們對應(yīng)的兩區(qū)間相交，將每個(gè)連通分支的頂點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)間劃分為一組，記為，使得如果，則，顯然此分組方式唯一且不改變圖的連通性.下面，我們固定并對進(jìn)行歸納.歸納基礎(chǔ)為，顯然成立.對每個(gè)，考慮中左端點(diǎn)位于最左邊的區(qū)間（注意稍后可能會變化）.則對于其它任何區(qū)間，我們有，另外，若，則稱包含．對其它區(qū)間執(zhí)行操作，那么總是包含操作后的區(qū)間.因此，與中的每個(gè)區(qū)間最多相交一次.只要存在區(qū)間且，操作過程就不會結(jié)束.當(dāng)操作終止時(shí)，中必然不存在滿足的區(qū)間，并且對于，不與中的任何區(qū)間相交.因此，且包含中的所有區(qū)間.此時(shí)，我們?nèi)サ簦瑢?yīng)用歸納假設(shè)即可.第二步，加強(qiáng)歸納.設(shè)集合為“-好的”集合，如果：(1)；(2)的每個(gè)元素都是包含在中的閉區(qū)間；(3)對于任意實(shí)數(shù)中包含的元素個(gè)數(shù)不超過.定義為可以取得的最大值，其中是“-好的”集合且是“-好的”集合.下證加強(qiáng)的命題：，原題即時(shí)的特例.對此，我們采用歸納法，歸納基礎(chǔ)為.此時(shí)，再對使用歸納法.如果，顯然成立；否則，設(shè)為中最左邊的兩個(gè)區(qū)間（注意到，因此我們能夠比較這兩個(gè)區(qū)間的位置）?為中最左邊的兩個(gè)區(qū)間.此時(shí)不難得到：或兩者之一，與另一個(gè)集合中最多一個(gè)區(qū)間有非空交集.這是因?yàn)?，若對某個(gè)與的交集非空，則，因此，對于所有與交集為空.不妨設(shè)與另一個(gè)集合中最多一個(gè)區(qū)間有非空交集，這樣一來，我們可以去掉，再利用歸納假設(shè)，結(jié)論成立.不妨設(shè)，否則把換成.令為中互相不包含的區(qū)間的集合（如果多個(gè)區(qū)間相同且未嚴(yán)格包含于更大的區(qū)間中，則選擇任意一個(gè)加入）.注意到為“-好的”集合，為“（-好的”集合（為中的補(bǔ)集）．下面即為區(qū)間對的個(gè)數(shù).則：，其中，不等號使用了奠基的結(jié)論.至此，加強(qiáng)的命題得證!【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)極限法，的最大值是10構(gòu)造集合，得出最值結(jié)論，然后用調(diào)整法，歸納法證明一般結(jié)論，從而得出結(jié)果．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某種產(chǎn)品每噸成本7萬元，其銷售價(jià)格（萬元/噸）和銷售量（噸）的變化情況如下表：89109（1）若與線性相關(guān)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)測要使該產(chǎn)品銷售利潤最大，銷售價(jià)格是多少？（結(jié)果精確到）附：（參考公式）【答案】（1）；（2）萬元/噸.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用最小二乘法公式求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.（2）由（1）的結(jié)論，求出銷售利潤函數(shù)式，再借助二次函數(shù)最值求解.【小問1詳解】依題意，，，，因此，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.【小問2詳解】依題意，銷售利潤為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以預(yù)測銷售價(jià)格是萬元/噸時(shí)，該產(chǎn)品銷售利潤最大.16.已知內(nèi)角的對邊分別為，．（1）證明：；（2）求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得證.（2）由（1）的結(jié)論，利用和角的正弦及二倍角公式化簡，再利用基本不等式求出最小值.【小問1詳解】在中，由及余弦定理，得，整理得，由正弦定理得，則于是或（不成立），所以.【小問2詳解】由（1）知，，，則，由，得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為.17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，點(diǎn)、在上．當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其重心為．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，直線、是圓的兩條切線．求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得出關(guān)于、方程組，解出的值，可得出、的坐標(biāo)，再結(jié)合的重心坐標(biāo)求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，分析可知，直線、的斜率互為相反數(shù)，求出，結(jié)合斜率公式可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線的方程，由此可求出以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則軸，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，，解得，即點(diǎn)，可得點(diǎn)，又因?yàn)榈闹匦淖鴺?biāo)為，所以，，解得，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，顯然，且軸，所以，直線、的傾斜角、互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)為，則，，故，設(shè)點(diǎn)、，所以，，即，所以，，，同理，，解得，，所以，點(diǎn)、，則，則直線的方程為，即，，點(diǎn)到直線的距離，所以，.18.如圖，在四棱柱中，四邊形為正方形，．（1）證明：平面平面；（2）若四棱柱所有棱長為2，．記四邊形的外接圓圓心分別為，點(diǎn)分別在平面上，且．①求二面角的最大值；②根據(jù)①的結(jié)論，求外接圓直徑的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）；【解析】【分析】（1）由線線垂直得線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直；（2）①由空間向量法得，進(jìn)而可得二面角最大值為；②先根據(jù)題中位置關(guān)系確定在正方體的棱切球上，進(jìn)而確定四點(diǎn)共面，進(jìn)而可得外接圓直徑的最大值即為球的直徑.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，此時(shí)四棱柱是棱長為的正方形以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與直線交點(diǎn)為，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)為中點(diǎn)，所以二面角的最大值為.由題意可知點(diǎn)均在一個(gè)與正方體各棱都相切的球上，球直徑為，當(dāng)恰分別為，中點(diǎn)時(shí)，則，顯然，所以四點(diǎn)共面，所以此時(shí)外接圓直徑的最大，最大值恰為球的直徑19.記為各項(xiàng)