橢圓切線尺規(guī)作圖(徐文平定稿)

1、橢圓切線尺規(guī)作圖 2016年年6月月東東 南南 大大 學(xué)學(xué)徐徐 文文 平平 圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理 橢圓內(nèi)接四邊形KLMN，對邊線KN與LM交于A，對邊線KL與NM交于B，對角線KM的極點(diǎn)為C，對角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。雙曲線和拋物線也具有同樣性質(zhì)。大狗熊定理：大狗熊定理：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點(diǎn)調(diào)和分割對角線兩極點(diǎn)。（徐文平論文：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理）（徐文平論文：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理） 證明：證明：

2、由于割線JK的極點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)，利用大狗熊定理，可以快速證明這個命題。 過橢圓上一點(diǎn)作切線過橢圓上一點(diǎn)作切線 命題命題1 1：已知橢圓的斜向割線AB，作一條過橢圓圓心O點(diǎn)的任意割線JK， JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn) N點(diǎn)，連線NA、NB就是橢圓的切線。 證明：證明：利用侯明輝三割線定理和調(diào)和分割尺規(guī)作圖，可以快速證明這個命題。 過橢圓上一點(diǎn)作切線過橢圓上一點(diǎn)作切線 方法：方法：取取ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M，連接，連接MOMO，延伸與橢圓交于，延伸與橢圓交于CDCD兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，作作CDCD為直徑的圓，作為直徑的圓，作MPMP垂直與垂直與CDCD，過過P P點(diǎn)作切線，點(diǎn)作

3、切線，CDCD與切線與切線PNPN交于交于N N點(diǎn)，點(diǎn)，則則N N點(diǎn)為點(diǎn)為ABAB的極線。的極線。 （如果JK為過原點(diǎn)O的雙曲線割線，仍然成立。） 過雙曲線上一點(diǎn)作切線過雙曲線上一點(diǎn)作切線 命題命題2：已知雙曲線的斜向割線AB，點(diǎn)J、K是雙曲線的頂點(diǎn)，JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn) N點(diǎn)，連線NA、NB就是雙曲線的切線。 （JAB三點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)可以構(gòu)成拋物線的內(nèi)接四邊形） 過拋物線一點(diǎn)作切線過拋物線一點(diǎn)作切線 命題命題3：已知拋物線的斜向割線AB，點(diǎn)J是拋物線上任意一點(diǎn)，JA與過B點(diǎn)豎向線交于F點(diǎn)，JB與過A點(diǎn)豎向線交于E點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn) N點(diǎn)，連線NA、NB就是拋物

4、線的切線。 （證明：依據(jù)極點(diǎn)極線的對偶定理，可知方法成立） 思考：橢圓切線的通用方法思考：橢圓切線的通用方法 已知：橢圓的斜向割線PQ。作任意一條割線AB，如PQ和AB交于S點(diǎn)。 對于橢圓內(nèi)接四邊形APBQ，延伸對邊線可得到M、N交點(diǎn)， 從而獲得S點(diǎn)的極線MN。同樣方法，作任意一條割線GH，則PQ和GH交于T點(diǎn)，可獲得T點(diǎn)的極線EF。極線MN和極線EF交于C點(diǎn)，連線PC、QC就是橢圓的切線，C為PQ線的極點(diǎn)。（問題：橢圓圓心O點(diǎn)不知道啊） （極點(diǎn)與極線知識可知，PQR為自配極三角形） 過橢圓外一點(diǎn)作切線過橢圓外一點(diǎn)作切線 命題命題4 4：已知橢圓外一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意橢圓割線

5、，AD、CB交于Q點(diǎn)，AC、BD延長交于R，連線QR與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是橢圓的切線。 過橢圓外一點(diǎn)作切線過橢圓外一點(diǎn)作切線 方法：方法：連接連接ONON線，交橢圓于線，交橢圓于CDCD，作，作CDCD為直徑的圓，為直徑的圓，過過N N點(diǎn)作圓切線，切點(diǎn)為點(diǎn)作圓切線，切點(diǎn)為P P點(diǎn)，作點(diǎn)，作PMPM垂直垂直CDCD，過過C C點(diǎn)作橢圓切線，點(diǎn)作橢圓切線， M M點(diǎn)作切線的平行線交橢圓于點(diǎn)作切線的平行線交橢圓于ABAB，則則ABAB為極線。為極線。證明：證明：利用侯明輝三割線定理和調(diào)和分割尺規(guī)作圖，利用橢圓共軛直徑的性質(zhì) 可以快速證明這個命題。 （極點(diǎn)與極線知識可知，PQR為自配極三角形） 過雙曲線外一點(diǎn)作切線過雙曲線外一點(diǎn)作切線 命題命題5 5：雙曲線外一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意雙曲線割線，AD、CB交于Q點(diǎn)，AC、BD延長交于R，連線QR與雙曲線交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是雙曲線的切線。 （試問：過A點(diǎn)作水平線與BC交于H點(diǎn)，H點(diǎn)也在P的極線上嗎？是的在的。） 過拋物線外一點(diǎn)作切線過拋物線外一點(diǎn)作切線 命題命題6 6：已知 拋物線外一點(diǎn) ，過P點(diǎn)作一條任意拋物線割線交于A、B兩點(diǎn)，過P點(diǎn)作水平線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點(diǎn)作水平線與AC交于Q點(diǎn)。在x軸上確定一