分式方程的增根與無(wú)解

1、分式方程的增根與無(wú)解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程時(shí)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一變形中，由于去分母擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.比如132例1、解方程：產(chǎn)區(qū)-2。為了去分母，方程兩邊乘以況收一力，得("2)+3-2由解得芯二口。甲：原方程的解是西二嘰乙：可是當(dāng)芯口。時(shí)，原方程兩邊的值相等嗎？甲：這我可沒(méi)注意，檢驗(yàn)一下不就知道了。喲！當(dāng) 笈二口時(shí)，原方程有的項(xiàng)的分母為0,沒(méi)有意義，是不是方程變形 過(guò)程中搞錯(cuò)啦？乙：求解過(guò)程完全正確，沒(méi)有任何的差錯(cuò)。甲：那為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？乙：因?yàn)樵瓉?lái)方程 中未知數(shù)x的取值范圍是xgO且又#2,而去分母化為整式方程后，未知數(shù) x

2、的取值范圍擴(kuò) 大為全體實(shí)數(shù)。這樣，從方程解出的未知數(shù)的值就有可能不是方程的解。甲：如此說(shuō)來(lái)，從方程變形為方程，這種變形并不能保證兩個(gè)方程的解相同，那么，如何知道從整式方程解出的未知數(shù)的值是或不是原方程 的解呢？乙：很簡(jiǎn)單，兩個(gè)字：檢驗(yàn)。可以把方程 解出的未知數(shù)的值一一代入去分母時(shí)方程兩邊所乘的那個(gè)公分母，看 是否使公分母等于0,如果公分母為0,則說(shuō)明這個(gè)值是增根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個(gè)題中區(qū)三口就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無(wú)解。甲：?。浚槭裁磿?huì)無(wú)解呢?乙：無(wú)解時(shí)，方程本身就是個(gè)矛盾等式，不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等，如上題中，不論x取1=0何值，都

3、不能使方程兩邊的值相等，因此原方程無(wú)解，又如對(duì)于方程 X ,不論x取何值也不能使它成立，因此，這個(gè)方程也無(wú)解。甲：是不是有增根的分式方程就是無(wú)解的，而無(wú)解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定無(wú)解，無(wú)解的分式方程也不一定有增根，你看：2k 2 _ x + 1例2、解方程區(qū)+ 1 Y +工 笈，去分母后化為便-3)|> + 1卜口，解得芯=3或x =此時(shí)，區(qū)=7是增根，但原方程并不是無(wú)解，而是有一個(gè)解x = 3 ,x + 2 而方程 .=,去分母后化為口 -況=-2,原方程雖然無(wú)解，但原方程也沒(méi)有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用這

4、種關(guān)系可以解決分式方程的有關(guān)問(wèn)題，你看：1 + 2k例3、已知關(guān)于x的方程'J芯-2有增根,求k的值。首先把原方程去分母，化為 值+2)+'低-1”1£。因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是 伍一聯(lián)區(qū)+2),所以方程的增根可能是區(qū)=1或區(qū)=-2若增根為 = 1,代入方程，得？ + O = k , k = 3 ；若增根為笈代入方程，得O-6 = k, k-Y。故當(dāng)k = 3或k=-6時(shí)，原方程會(huì)有增根。甲：雖然無(wú)解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無(wú)解，但我還覺(jué)得無(wú)解與增根之間似乎有種微妙的關(guān)系，這是怎么一回事？乙：你說(shuō)的沒(méi)錯(cuò)，增根與無(wú)解都是分式方程的 ?？汀?，它們雖然

5、還沒(méi)有達(dá)到形影不離的程度，但兩者還是常常相 伴而行的，在有些分式方程問(wèn)題中，討論無(wú)解的情形時(shí)應(yīng)考慮增根，例如：x 4-tn=m例4、已知關(guān)于x的方程工-3 無(wú)解，求m的值。先把原方程化為咒+ m =3)。(1)若方程無(wú)解，則原方程也無(wú)解，方程化為 Q-mk = -4m,當(dāng)= ,而-4m，口時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí) m = 1 0(2)若方程有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無(wú)解，所以，當(dāng)方程的解為笈=3時(shí)原方程無(wú)解，*三鄉(xiāng)代入方程，得 Rm=口，故m =綜合(1)、(2),當(dāng)m = l或m = -3時(shí)，原方程無(wú)解。妙用分式方程的增根解題在解分式方程的過(guò)程中，我們還可以利用增根來(lái)求分式方

6、程中的待定字母的值.請(qǐng)看下面幾例.例1若關(guān)于x的方程 "-1=0有增根,則a的值為.x -1析解：去分母并整理，得ax+1=x1,因?yàn)樵匠逃性龈?，增根只能?x = 1,將x = 1代入去分母后的整式方 程，得a = -1.例2若關(guān)于x的方程一二其+2無(wú)解，則m的值是.x - 3 x - 3析解：去分母并整理，得x,m-4=0 .解之，得x =4 m .因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以x = 4-m為方程的增根.又由于原方程的增根為x=3.所以4-m = 3, m = 1.例3.已知方程 一二' + 2=-有增根，則k=.4 -xx-2析解：把原方程化成整式方程，得 _2-1 2(4

7、-x ) = -k(x 2).因?yàn)樵匠逃性龈?，所以增根只能?x=2n£x = -2.將 x =2 代入 1 十 2(4x2) = k(x+2),得 k =,；4將 x = -2代入 1 +2(4 -x2) = -k(x + 2),無(wú)解.故應(yīng)填1.4練一練：1.如果分式方程上=上-無(wú)解，則m的值為().x 1 x 1(A) 1(B) 0(C) -1(D) -22.如果方程xjk + x =2有增根x =1 ,則k=.x -1 1 -x答案：1.C; 2.1;分式方程的增根及其應(yīng)用一、增根的原因解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，這是因?yàn)槲覀儼逊质椒匠剔D(zhuǎn)化為整式方程過(guò)程中，無(wú)形中取掉了原分

8、式方程中分母不為零的限制條件，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程時(shí)，驗(yàn)根 是必不可少的步驟.二、利用增根解題不可否認(rèn)，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來(lái)了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道， 分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時(shí)還能使其最簡(jiǎn)公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問(wèn) 題，常見(jiàn)的類(lèi)型有如下幾種：1 .已知方程有增根，確定字母系數(shù)值例1

9、：若方程上 _2 =上有增根，則m的值為 （） x -3x -3A. 3 B. 3C. 0D.以上都不對(duì)析解：把分式方程兩邊同乘以公分母 x 3,得整式方程x-2 （x-3） =m.若原方程有增根，必須使公分母 x 3等于0,即x=3,代入整式方程得3=6 m,解得m=3.故應(yīng)選B.點(diǎn)評(píng)：方程有增根，一定是公分母等于 0的未知數(shù)的值.解這類(lèi)題的一般步驟把分式方程化成的整式方程； 令公分母為0,求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系數(shù)的值.2 .已知方程無(wú)解，確定字母系數(shù)值例2:若方程乏且+21吧=*無(wú)解，則m的值為 （） x - 33 - x3A. -1 B. 3 C. 1 或 3 D

10、. 1 或95分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無(wú)解，則分式方程一定無(wú)解；若整式方程有解，但要使分式方程無(wú)解，則該解必為使公分母為 0時(shí)對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，此時(shí)相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無(wú)解. 解：去分母，得（3 2x） （2+mx）=3x,整理，得（m+1） x= -2.若m+1=0,則m= 1,此時(shí)方程無(wú)解；若 m+1w0,則x= - -2一是增根.因?yàn)開(kāi) 2 =3,所以m=_3 .所以m的值為1或一'，故應(yīng)選D. m 1m 155點(diǎn)評(píng)：方程無(wú)解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況.既要考慮整式方程無(wú)解的條件，又要考慮整 式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問(wèn)題要全

11、面、周到.3 .已知方程無(wú)增根，確定字母系數(shù)值例3:若解關(guān)于x的方程上-二=上 不會(huì)產(chǎn)生增根，則k的值為 （）x -1 x -1 x 1A. 2 B. 1C.不為土 2的數(shù) D.無(wú)法確定析解：去分母，把分式方程化為整式方程，x（x+1）-k=x（x- 1）,解關(guān)于k的方程，得k=2x.由題意，分式方程無(wú) 增根，則公分母x21*0,即xw±1,則kw±2.故應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)：方程無(wú)增根，就意味著對(duì)應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用這一點(diǎn)可以確定字母系數(shù)值或取值范圍.妙用分式方程的增根求參數(shù)值解分式方程時(shí)，常通過(guò)適當(dāng)變形化去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，若整式方程的根使分

12、式方程中的至少一個(gè) 分母為零，則是增根，應(yīng)舍去，由此定義可知：增根有兩個(gè)性質(zhì)：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值，靈活運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)，可簡(jiǎn)捷地確定分式方程中的參數(shù)（字母）值，請(qǐng)看下面例示：一、分式方程有增根，求參數(shù)值2/x -4x a例1 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 XT3 =0有增根？分析：先將原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后運(yùn)用增根的兩個(gè)性質(zhì)將增根代入整式方程可求a的值解：原方程兩邊同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0 （X）因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，增根?x=3,把x=3代入（）得，9-12+a=0 a=32/x 4x a所以a=3時(shí)，

13、x_3 =0有增根。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用增根的性質(zhì)將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求值問(wèn)題，簡(jiǎn)捷地確定出分式方程中的參數(shù)（字母）值1 m 2m 2例2 m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程£7 + 72 = x2_3x+2有增根。分析：原分式方程有增根，應(yīng)是使分母為0的x值。將這樣的x值代入去分母的整式方程可求出 m的值。解：原方程兩邊同乘以（x-1） （x-2）去分母整理，得（1+m） x=3m+4 （X）3因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，?jù)性質(zhì)（2）知：增根為x=1或x=2。把x=1代入（X）,解得m=-萬(wàn)；把x=2代入（X）得 m=-23所以m=-萬(wàn)或-2時(shí)，原分式方程有增根k22點(diǎn)評(píng)：分式方程有增根，不一定分式方程無(wú)解（無(wú)實(shí)

14、），如方程Th +1=（x+i）（x-2）有增根，可求得k=-可，但分8式方程這時(shí)有一實(shí)根x= 3。二、分式方程是無(wú)實(shí)數(shù)解，求參數(shù)值x-2 m例3若關(guān)于x的方程x5 = x5 +2無(wú)實(shí)數(shù)根，求m的值。分析：因原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，將原方程去分母得到整式方程解出的x值為原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：去分母，得 x-2=m+2x-10, x=-m+8因?yàn)樵匠虩o(wú)解，所以x=-m+8為原方程的增根。又由于原方程的增根為x=5,所以-m+8=5所以m=3點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)型題可通過(guò)列增根等于增根的方程求出參數(shù)值。分式方程的非常規(guī)解法抓特點(diǎn)選方法有些分式方程利用一般方法解非常麻煩，若能根據(jù)題

15、目的特點(diǎn)，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻煩，巧妙地求得方程的解，獲得意外的驚喜，現(xiàn)結(jié)合幾道習(xí)題予以說(shuō)明.一、分組化簡(jiǎn)法例1.解方程：=0 x 2 x 3 x 4 x 5分析：本題的最小公分母為（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）,若采用一般解法，就會(huì)出現(xiàn)高次項(xiàng)數(shù)，計(jì)算相當(dāng)繁瑣，而且也極易出錯(cuò)，我們注意到 -=1, - - =1,在此基礎(chǔ)上再通過(guò)比較上x(chóng) 2 x 3 （x 2）（x 3） x 4 x 5 （x 4）（x 5）面兩式即可將本題求解.解：原方程化為：(，)_(，)=0, 上式可變?yōu)椋?11 =0 .即x 2 x 3 x 4 x 5(x 2)(x 3) (x 4)(x 5)

16、11(x 2)(x 3) 一(x 4)(x 5)（x+2）（x+3） =（x+4）（x+5）,解這個(gè)整式方程得：x = -3.5 ,當(dāng)x = 一3.5時(shí)，該分式方程中各分式的分母的值均不為0 ,所以x = _3.5為原方程的解.二、拆項(xiàng)變形法例2.解方程 丑，=+fx -3x 2 x2 x -x x - 2x分析：本題求解時(shí)應(yīng)首先將題目中的第1, 3, 4個(gè)分式的分母因式分解，再將這幾個(gè)分式分解成兩個(gè)分式差的形式，目的是通過(guò)整理將其化繁為簡(jiǎn)，使方程變得簡(jiǎn)捷易解.解：原方程變形為：（3一4_）_，=（，-1） .（3一2）x -2 x -1 x -2 x -1 x x -2 x化簡(jiǎn)后整理得：3=

17、,3（x-1） = 4x,解得：x = 3,當(dāng)x = 3時(shí)，分式方程中的各分式的分母均不為 0,故x x -1x = 4是原方程的解.11 .二、利用特殊分式方程 x+ =a+求解. xa11 . . .1 一 . .分式萬(wàn)程x - =a 的解為小=a, x2 =-,若一個(gè)方程等號(hào)兩邊的項(xiàng)分別互為倒數(shù)時(shí)，則此時(shí)便可套用上面 xaa的方程的解法求解.例3.解方程：也龍=21x -1 3x 2分析：因本題中 衛(wèi)士與/，2與-分別互為倒數(shù)，符合方程x+3=a+3的特點(diǎn)，故可將該方程轉(zhuǎn)化為這種x -1 3x 2x a方程的形式求解.解：原方程變形為 £+x=2+1 ,設(shè)則=1,此時(shí)原方程變形

18、為：y+二=2+1,y=2或y = 1 .即 x-1 3x 23x yy 22三=2或其=1 ,解得: x -1x-1 2c1x1 = -2, % =一二.1,一 一x, = -2, x2=-1 .經(jīng)檢驗(yàn)得:51 X=-2, x2 = -都是原方程的解.一原方程的解為5與分式方程根有關(guān)的問(wèn)題分類(lèi)舉例與分式方程的根有關(guān)的問(wèn)題，在近年的中考試題中時(shí)有出現(xiàn)，現(xiàn)結(jié)合近年的中考題分類(lèi)舉例，介紹給讀者, 供學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容時(shí)參考。1 .已知分式方程有增根，求字母系數(shù)的值解答此類(lèi)問(wèn)題必須明確增根的意義：（1）增根是使所給分式方程分母為零的未知數(shù)的值。（2）增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。利用

19、（1）可以確定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根時(shí)的字母系數(shù)的值。例1. （2000年潛江市）2使關(guān)于x的方程a2 -=麴一產(chǎn)生增根的a的值是（）x 一22 xA. 2B. -2C. ±2D.與 a 無(wú)關(guān)解：去分母并整理，得：a2 -2 x - 4 =0：二 1因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤=2,把x=2代入1,得a2=4所以a = _2故應(yīng)選Co例2. （ 1997年山東?。┤艚夥质椒匠潭?二1 =91產(chǎn)生增根，則m的值是（）x 1 x x xA. 1 或2B. 1 或 2C. 1 或2D. 1 或2解：去分母并整理，得：2x -2x-2-m = 0=： 1 .又原方程的增

20、根是x=0或x = 1,把x=0或x= 1分別代入1式，得：m=2 或 m=1故應(yīng)選Co例3. （ 2001年重慶市）若關(guān)于x的方程 也上1 -1 =0有增根，則a的值為x -1解：原方程可化為：a -1 x 2 = 0：1又原方程的增根是x=1,把x=1代入1,得：a = -1故應(yīng)填“ -1”。例4. （2001年鄂州市）關(guān)于x的方程 上 =2 + 上會(huì)產(chǎn)生增根，求k的值。 x - 3 x - 3解：原方程可化為：x =2 x-3 k 1又原方程的增根為x=3,把x=3代入1,得：k=3例5.當(dāng)k為何值時(shí)，解關(guān)于x的方程： 十上5-=也二=只有增根x=10 xx-1 x x 1x2 -1解：

21、原方程可化為：x 1k -5 x -1 = k -1 x2二 1把x=1代入1,得k=3所以當(dāng)k=3時(shí)，解已知方程只有增根x=10評(píng)注：由以上幾例可知，解答此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：（1）將所給方程化為整式方程；（2）由所給方程確定增根（使分母為零的未知數(shù)的值或題目給出）；（3）將增根代入變形后的整式方程，求出字母系數(shù)的值。2.已知分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍例6. （2002年荊門(mén)市）當(dāng)k的值為（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程 上=好久 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。 x -1 x - x解：原方程可化為：x2，2x-k = 0 1要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有下面兩種情況：（1）當(dāng)方程1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

22、根，且不為原方程的增根，所以由 A = 4 + 4k = 0得k=-10當(dāng)k=-1時(shí)，方程1的根為x1 =x2 = -1 ,符合題意。（2）方程1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，所以由 And + dkA。，得k-1o又原 方程的增根為x=0或x=1,把x=0或x=1分別代入1得k=0 ,或k=3,均符合題意。綜上所述：可填”1、0、3”中的任何一個(gè)即可。例7. (2002年孝感市)當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程22二=1+，無(wú)實(shí)根？x x - x x - 1解：原方程可化為：2x -x 2 -m = 0： 1要原方程無(wú)實(shí)根，有下面兩種情況：2一 7x=1(1)萬(wàn)程 1 無(wú)實(shí)數(shù)根，

23、由=(1) -4(2-m)0,得 m4；(2)方程1的實(shí)數(shù)解均為原方程的增根時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根，而原方程的增根為x=0或x=1,把x=0分別代入1得m=2o綜上所述：當(dāng)m7或當(dāng)m=2時(shí)，所給方程無(wú)實(shí)數(shù)解。4例8. (2003年南昌市)已知關(guān)于x的方程1 - = m有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。 x x -1解：原方程化為：mx2 - x 1=0： 1 .要原方程有實(shí)數(shù)根，只要方程1有實(shí)數(shù)根且至少有一個(gè)根不是原方程的增根即可。(1)當(dāng)m=0時(shí)，有x=1,顯然x=1是原方程的增根，所以 m=0應(yīng)舍去。(2)當(dāng) m#0 時(shí)，由 A = 1 4m 至 0 ,得 m E 1。4又原方程的增根為x=0或x=1,

24、當(dāng)x=0時(shí)，方程1不成立；當(dāng)x = 1, m=0。綜上所述：當(dāng)ml且m#0時(shí)，所給方程有實(shí)數(shù)根。4評(píng)注：由以上三例可知，由分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍的基本思路是：(1)將所給方程化為整式方程；(2)根據(jù)根的情況，由整式方程利用根的判別式求出字母系數(shù)的值或取值范圍，注意排除使原方程有增根的 字母系數(shù)的值。3.已知分式方程無(wú)增根，求字母系數(shù)的取值范圍例9.當(dāng)a取何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：二21+ax無(wú)增根?x-2 x 1 x- 2 x 1解：原方程可化為：22x ax - 3 = 0 二 1又原方程的增根為a = -5 或a = -12x=2或x = -1 ,把x=2或x = -1分

25、別代入1得:又由 =a2+24 0知，a可以取任何實(shí)數(shù)一 ，5 一所以，當(dāng)a#5且a#1時(shí)，解所給方程無(wú)增根。 2評(píng)注：解答此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：(1)將已知方程化為整式方程；(2)由所得整式方程求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實(shí)數(shù)根的字母系數(shù)的取值范圍;(3)從有實(shí)數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無(wú)增根的取值范圍。4.已知分式方程根的符號(hào)，求字母系數(shù)的取值范圍x a例9.已知關(guān)于x的萬(wàn)程x-a = -1的根大于0,求a的取值范圍。解：原方程可化為：2x =2 -a所以x =1-a2由題意，得：aa1 > 0 且 1 -萬(wàn) ¥ 2所以a<2且a豐2例10.已知關(guān)于x的方程X+k =2的根小于0,求k的取值范圍。 x -2解：原方程可化為：x k = 2x 一4所以x = k +4由題意，得：k 4 :二0所以k ：二-4評(píng)注：解答此類(lèi)題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立關(guān)于字母系數(shù)的不等式，求出字母系數(shù)的取值范圍，注意排除使原方程有增根的