第4穩(wěn)定性理論

1、 第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論3.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念3.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.3 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法3.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法3.5 線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法v研究的目的和意義研究的目的和意義: 穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。v要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡狀態(tài)被打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來(lái)的平打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者趨于

2、另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡狀態(tài)繼續(xù)工作。v穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。方程解的收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。v經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)v非線性系統(tǒng)：相平面法非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系適用于一，二階非線性系統(tǒng)統(tǒng))v1892年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理年，俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采用了狀態(tài)向量來(lái)描述，適用于單變量，線性，采用了狀態(tài)向量來(lái)描

3、述，適用于單變量，線性，非線性，定常，時(shí)變，多變量等系統(tǒng)。非線性，定常，時(shí)變，多變量等系統(tǒng)。v應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：n李氏第一法（間接法）：求解特征方程的特征值李氏第一法（間接法）：求解特征方程的特征值n李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李氏函數(shù)李氏函數(shù)12( )( )0cxi txuLCu t例：設(shè)（兩個(gè)儲(chǔ)能元件， ， ）當(dāng)電路加電后，令0)0()0()()()()()(011212121xxtidttduCtuutRidttdiLRLCxxCLLRxxcc電路2121

4、112112211Rx)xLxLR(Lx)xC(CxxLxxCxdtdwW00000cRWiuRWW討論：如果，、 互相振蕩，總能不變。若，能量逐漸0基本思想：從能量的觀點(diǎn)，如果一個(gè)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，其能量。函數(shù)述上述過(guò)程的所謂能量問(wèn)題是：找一個(gè)完全描)(xV2211222211( )2211( )22cWLi tLxWCu tCx電感存能電容能量2212121()2WWWLxCx總能量0 逐漸，系統(tǒng)是穩(wěn)定的如果能量隨著時(shí)間推移逐漸，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的3.1 穩(wěn)定性基本概念穩(wěn)定性基本概念 1.初態(tài)：初態(tài)： =f(x,t)的解為的解為 初態(tài)初態(tài) 2.平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

5、 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) A非奇異：非奇異： A奇異：奇異： 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè)x 00( ;, )x t x t0000),(xtxtx0),(txfxeeexAxx nRx00eexAx 0eAxex非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 可能有多個(gè) eg. 令 0),(txfxeex3221211xxxxxx01x 02x 100ex102ex103ex1.李氏意義下的穩(wěn)定李氏意義下的穩(wěn)定如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) 都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù) 滿足滿足3.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定00),(0t),(00txxe由任意初始態(tài)由任意初始態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡0 x

6、00( ;, )x t x t在在 都滿足：都滿足：t000( ;, ) , ex t x txtt則稱(chēng)則稱(chēng) 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。ex2.漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定 1）是李氏意義下的穩(wěn)定）是李氏意義下的穩(wěn)定 2） 一致漸進(jìn)穩(wěn)定一致漸進(jìn)穩(wěn)定00lim( ;, )0etx t x tx無(wú)關(guān)與0t3. 不穩(wěn)定性：不穩(wěn)定性： 不管不管 ， 有多小，只要有多小，只要 由由 出發(fā)的出發(fā)的軌跡超出軌跡超出 以外，則稱(chēng)此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定以外，則稱(chēng)此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。的。)(s0 x)(s利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。3.3 李雅普諾夫第一

7、法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法） Axx 0)0(xx0tRe()0ini, 2 , 1 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：李氏穩(wěn)定的充要條件：李氏穩(wěn)定的充要條件： 即系統(tǒng)矩陣即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部。的全部特征值位于復(fù)平面左半部。 基本思想基本思想 李氏第二法是李氏第二法是從能量的觀點(diǎn)出發(fā)從能量的觀點(diǎn)出發(fā)得來(lái)的，它的得來(lái)的，它的基本思想是建立在古典的力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)中一個(gè)直觀基本思想是建立在古典的力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)中一個(gè)直觀的物理事實(shí)上。任何物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都要消耗能量，的物理事實(shí)上。任何物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都要消耗能量，并且并且能量總是大于零能量總是大于零

8、的。對(duì)于一個(gè)不受外部作用的的。對(duì)于一個(gè)不受外部作用的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的能量，隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和時(shí)間的增系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的能量，隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和時(shí)間的增長(zhǎng)而連續(xù)地減小，一直到平衡狀態(tài)為止，則系統(tǒng)的長(zhǎng)而連續(xù)地減小，一直到平衡狀態(tài)為止，則系統(tǒng)的能量將減少到最小，那么這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。能量將減少到最小，那么這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。3.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法(直接法直接法)0, 0)(0, 0)(xxxxvv稱(chēng)稱(chēng)v(x)為正定的。例如，為正定的。例如，v(x)= x12 + 2 x22 0 。 稱(chēng)稱(chēng)v(x)為正半定的。例如，為正半定的。例如，v(x)=(x1+ x2)2 0 。 0, 0)(0,

9、0)(xxxxvv概念：概念：標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)v(x)的定號(hào)性：的定號(hào)性：設(shè)設(shè)x是歐氏狀態(tài)空間中的非零是歐氏狀態(tài)空間中的非零量，量，v(x)是向量是向量x的標(biāo)量函數(shù)。的標(biāo)量函數(shù)。 （1）若）若（2）若）若 （5）若）若v(x)既可正也可負(fù)，則既可正也可負(fù)，則v(x)稱(chēng)為不定的。稱(chēng)為不定的。 例如，例如，v(x) = x1 x2 + x22。 （3）如果）如果 v(x)是正定的，則是正定的，則v(x)稱(chēng)為負(fù)定的，即稱(chēng)為負(fù)定的，即0, 0)(0, 0)(xxvxxv例如，例如，v(x) = (x12 +2 x22) 0； 當(dāng)當(dāng)v(x)是負(fù)定的，稱(chēng)是負(fù)定的，稱(chēng)P是負(fù)定的，記為是負(fù)定的，記為P 0；

10、當(dāng)當(dāng)v(x)是正半定的，稱(chēng)是正半定的，稱(chēng)P是正半定的，記為是正半定的，記為P 0； 當(dāng)當(dāng)v(x)是負(fù)半定的，稱(chēng)是負(fù)半定的，稱(chēng)P是負(fù)半定的，記為是負(fù)半定的，記為P 0。 穩(wěn)定性定理：穩(wěn)定性定理： 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 其平衡狀態(tài)滿足其平衡狀態(tài)滿足 ，假定狀態(tài)空，假定狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)( )，并設(shè)在原點(diǎn)領(lǐng)域存，并設(shè)在原點(diǎn)領(lǐng)域存在在 對(duì)對(duì) x 的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)一切非零的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)一切非零點(diǎn)滿足如下條件：點(diǎn)滿足如下條件： （分定理說(shuō)明）（分定理說(shuō)明）),(txfx 0), 0(tf0ex),(txV說(shuō)明：說(shuō)明： 負(fù)定負(fù)定 能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。能量

11、隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。定理定理1：若：若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)定；負(fù)定； 則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 ),(txV( , )V x t( , )V x tn定理定理2： 若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)不恒為零，在非零狀態(tài)不恒為零，則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。),(txV( , )V x t0 ( ;, ), V x t x t t說(shuō)明：不存在說(shuō)明：不存在 ， 經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。經(jīng)歷能量等于恒定，但不維持在該狀態(tài)。( , )0V x t 00( ;, )0 x t x t v定理定理3：若：若(1) 正定

12、；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)存在非零狀態(tài)存 在恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。在恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 ),(txV( , )V x t0 ( ;, ), V x t x t t說(shuō)明：說(shuō)明： 系統(tǒng)維持等能量系統(tǒng)維持等能量水平運(yùn)動(dòng)，維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。水平運(yùn)動(dòng)，維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。( , )0V x t 0 xv定理定理4：若：若(1) 正定；正定； (2) 正定正定 則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。),(txV( , )V x t幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1) 選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法，選取不唯一，但沒(méi)有通用辦法， 選取不

13、當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致 不定的結(jié)果。不定的結(jié)果。2) 這僅僅是充分條件。這僅僅是充分條件。 -單調(diào)衰減單調(diào)衰減(實(shí)際上是衰減振蕩實(shí)際上是衰減振蕩),(txV),(.txV),(txV),(.txV李氏第二法的步驟：李氏第二法的步驟：1)構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè) 二次型；二次型；2)求求 ，并代入狀態(tài)方程；，并代入狀態(tài)方程；3)判斷判斷 的定號(hào)性；的定號(hào)性；4)判斷非零情況下，判斷非零情況下， 是否為零。是否為零。),(txV),(.txV),(.txV.0 ( ;, ), V x t x t t漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定李氏穩(wěn)定李氏穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定例例1：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程

14、為： 試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。2212112()xxx xx2221212()xxx xx 令令10 x 20 x 01x02x原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)解：解：2221)(xxxV設(shè)設(shè)1122( )22V xx xx x則則22212( )2()V xxx 0 ( )0 xV x0 ( )0 xV x( )V x負(fù)定負(fù)定原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的定理定理1定理定理1：若：若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)定；負(fù)定； 則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 ),(txV( , )V x t例例2：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：試

15、判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 12xx212xxx 令令20 x 01x02x10 x 原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。2221)(xxxV22( )2V xx 設(shè)設(shè)解：解：120 , 0 ( )0 xxV x ( )0V x ( )V x其它其它負(fù)半定負(fù)半定令令( )0V x 01x02x只有全零解只有全零解0 x非零狀態(tài)時(shí)非零狀態(tài)時(shí)0)(.xV原點(diǎn)原點(diǎn) 是漸進(jìn)穩(wěn)定是漸進(jìn)穩(wěn)定0ex定理定理2n定理定理2： 若若(1) 正定；正定； (2) 負(fù)半定；負(fù)半定； (3) 在非零狀態(tài)不恒為零，在非零狀態(tài)不恒為零，則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。則原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。),(txV( , )V x t0 ( ;

16、, ), V x t x t t例例3：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 )0( 21.kkxx 12.xx 02.1. xx 021 xx則原點(diǎn)是平衡狀態(tài)則原點(diǎn)是平衡狀態(tài)2221)(kxxxV.1212( )220V xkx xkx x定理定理3( )V x 正（負(fù)）半定解：解：故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 由于由于可見(jiàn)可見(jiàn) 與與 無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)無(wú)關(guān)，故非零狀態(tài)(如如 )有有 ，而對(duì)其余任意狀態(tài)有，而對(duì)其余任意狀態(tài)有 例例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解: 即即

17、設(shè)設(shè) 則則212.21. xxxxx0 21 xx0 21 xx0ex2221)(xxxV22.2)(xxV)(.xV1x01x02x0)(.xV0)(.xV系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù) 為李氏函數(shù)為李氏函數(shù)3.5 線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法1.設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 為唯一平衡狀態(tài)。為唯一平衡狀態(tài)。 xAxA-非奇異矩陣非奇異矩陣0ex)(xV( )TV xx Px將將 代入：代入：xAx.( )()TTTTV xx Pxx PxxA PPA x則：則：令令 TA PPAQ QxxxVT)(.由漸進(jìn)穩(wěn)定性

18、定理，只要由漸進(jìn)穩(wěn)定性定理，只要Q正定正定(即即 負(fù)定負(fù)定)，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。)(.xV定理定理：系統(tǒng)：系統(tǒng) 漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件為漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件為: 給定一給定一正定對(duì)稱(chēng)矩陣正定對(duì)稱(chēng)矩陣 Q，存在唯一的正定實(shí)，存在唯一的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣P使使 成立，則成立，則 為系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。為系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。 xAxTA PPAQ ( )Tx PxV x方法：方法： 給定正定給定正定Q P Q單位陣單位陣 p的定號(hào)性的定號(hào)性( )Tx PxV x11111121121221 P P . 0,0,., . . .0.nnnnaaaaaaaaa霍爾維茨定理：對(duì)稱(chēng)矩陣為正定的充分必要條件是： 的各階順序主子式都為正，即例：例：0111xx0ex( )TV xx PxTA PPAQ 1112111212221222010110 111101pppppppp 解：