山東德州2015屆高三下學期4月二?？荚嚁?shù)學理試題版含答案

1、數(shù)學（理科）試題第I卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、已知集合A=1,3,4,5,集合B=xwZ|x24x5<0,則AlB的子集為A.2B.4C.8D.162、如圖，復平面上的點Zi,Z2,Z3,Z4到原點的距離都相等，若復數(shù)z所對應的點為乙，則復數(shù)zi（i是虛數(shù)單位）的共軻復數(shù)所對應的點為，A.ZiB.Z2-*77*X4XCZ3D.Z4|z,3、給出下列四個命題，命題p："xA3"是"xA5"的充分不必要條件;命題：q:函數(shù)y=log2（Jx2+1x）是奇函數(shù),則下列命

2、題是真命題的是A.pAqB.pv-'qC.pvqD.p/vq4、若某市8所中學參加中學生合唱比賽的得分用莖葉圖表示如圖，其中莖為十位數(shù)，葉為個SI87934203位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是A.915.5B.915C.925.5D.9255、已知關于x的不等式x-1-x+a至8的解集不是空集，則a的取值范圍是A.a<-9B.a77C.9EaE7D.aE9或a至72x-y<06、已知變量x,y滿足：彳x2y+3之0,則z=（揚2x4y的最大值為x-0A.應B.272C.2D.47、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果是2帶視圖圓x2+y2=a&x軸圍成的封閉圖形

3、，則封閉圖形的面積為10、已知函數(shù)n上sin(-x)fx=)loga(-x)-1x0一(aA0且a#1)的圖象上關于y軸對稱的點至少有x:05對，則實數(shù)a的取值范圍是第II卷11、某校在一次測試中約有600人參加考試，數(shù)學考試的成績XN(100,a2)(a>0,試卷滿A.5B8、指數(shù)函數(shù)6C.7D.8,b、x2y二()與二次函數(shù)y=ax2bx(aR,bR)在同一坐標系中的圖象可能的a9、(x2十三)6展開式的常數(shù)項是15,右圖陰影部分是由曲線2xA(0,一B.咯1)5D-(0,C(j)、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卷的橫線上。分150分)，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學

4、考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總y=x2和163數(shù)的則此次測試中數(shù)學考試成績不低于120的學生約有5r-nl主(正視圖左(KP祝圖12、一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為A.BD13、已知向量AB與AC的夾角為60,且AB46二1十46二14(2)求二面角B-PC-D的余弦值。若aP=九AB+ac,且aP_lBC,則實數(shù)九的值為x2V214、已知雙曲線F=1(a>0,b>0)的版焦距為c,過右焦點且斜率為1的直線與雙曲ab2、2線的右支于兩點，右拋物線y2=4cx的準線被雙曲線解得的弦長是be2(e為雙曲線的離心率)，則e的值為15、已知函數(shù)f(x)=aln(x

5、+1)x2在區(qū)間(1,2)內任取兩個實數(shù)p,q,且p#q,不等式f(p+1)-f(q+1)<值成立，則實數(shù)a的取值范圍為p-q三、解答題：本大題共6小題，滿分75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16、(本小題滿分12分)已知m=(.3sin(2二37.-x),cosx),n=(sin(/-R,cos(兀+為),f(x)=mn。(1)求y=f(x)的單調遞增區(qū)間和對稱中心;1(2)在MBC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若有f(B)=，b=7,2-133sinA+sinC=,求MBC的面積。1417、(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐PABCD的底面為菱形，NBCD

6、=120"，A=PC=2,AP=BP=J2(1)求證：AB_LPC;18、（本小題滿分12分）T,其范圍為0,10,領率1碓505522110!ldlE-ooooo交通指數(shù)是擁堵的簡稱，是綜合反映道路暢通或擁堵的概念，記為分別有五個級別：Tw0,2）暢通；Tw24）基本暢通；Tw14,6）輕度擁堵；Tw6,8）中度擁堵；Tw及10嚴重擁堵,在晚高峰時段（T>2）,從某市指揮中心選取了市區(qū)20個路段,依據(jù)其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示。（1）在這20個路段中，隨機選取了兩個路段，求這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵的概率；（2）從這20個路段中隨機抽出3個路段，用X表示抽取的

7、中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望。19、（本小題滿分12分）數(shù)列匕0的前n項和為&,Sn=2n-n,等差數(shù)列、的各項為正實數(shù)，其前n項和為工，且丁3=15,又4+4©+b2,a3+d1成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列Qn,bn的通項公式；（2）若a=%bn,當n至2時，求數(shù)列匕的前n項和人。20、（本小題滿分13分）2X2如圖，已知橢圓：一+y2=1,點AB是它的兩個頂點，過原點且斜率為k的直線l與線4yB段AB相較于點D,且與橢圓相較于E、F兩點。(2)求四邊形AEBF面積的最大值。(1)若ED=6DF,求k的值;21、(本小題滿分14分)已知函數(shù)fx=lnx-ax2(1)

8、求f(x)的單調區(qū)間；(2)設g(x)=f(x)x+1(a±0),l是曲線y=g(x)的一條切線，證明y=g(x)上的任意一點都不能在直線l的上方；(3)當a=1時，方程2mx+f(x)=(12m)x2有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值。數(shù)學(理科)試題參考答案2015.4一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.把正確答案涂在答題卡上.LC2.B3.C4.A5.D6.D7.B8.C9.A10.D二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置.11.12012.乎13.114.亭15.a<15三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說

9、明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)3已知m=(V3sin(2x),cosx)>n=(sin(-yn-x)tcos(7r+x)»/(x)=mn.(I)求y=/Gr)的單調遞增區(qū)間和對稱中心；(n)在448。中，角A、B、C所對應的邊分別為。若有八B)=b=7,sinA+sinC=4/，求aABC的面積.143解：(I)/(x)=/nn=y3sin(27r-x)sin(-r)+cosxcos(n,+x)乙=V3sinxcosx-cos2x2分=ysin2x-cos2x-i-=sin(2x-4分因函數(shù)y=/Cr)遞增，所以2時一彳<21一*42版+5/GZ40Z

10、得=/(#)的單調遞增區(qū)間的是：DU卷，標十件/GZ5分00對稱中心是(宗+各一6分(U)由/(B)=4得/(B)=sin(2B-)-i=v>-sin(2B-)=l.L0LL02B一專=會所以8=崇8分04O由正弦定理得：sinA+sinC=中sinB,b即審x§,所以a+c=13.9分14/Z由余弦定理/=。2-j-f22accosB得：=(a+c>2ac2accosB,即49=1693«c>/.ac=40.11分所以S梳=Jacsinb=Jx40X亨=10G.12分17 .(本小題滿分12分)如圖已知四棱維F-A8CD的底面為菱形，ZBCD=120&#

11、176;MB=PC=2MP=BP=9.數(shù)學(理科)試題答案第1頁(共6頁)(I)求證:AB，PC；(n)求二面角b-pc-d的余弦值.(I)證明：取A3的中點O,連接PO.CO.ACAPB為等腰三角形/.PO1.AB1分又V四邊形ABCD是菱形，NBCD=120°AC3是等邊三角形：.CO±AB2分又CODPO=O平面PCO,又PCU平面PCO：.AR±PC4分(ID解：可求得：PO=1,00=6002+0(?=。：.OP±OC5分以。為坐標原點,以OC所在直線為1軸,OB所在直線為？軸，OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系如圖所示6分貝ijA(0,-

12、1,035(0/90),。(9,0,0),0(0,0,1),。(6,一2,0),就=(用，-1,0),定=(伍就=(0,2,0)冗nQun,9即<DCn=0設平面DCP的法向量=Q,»n)工。,令7=1,得/l=(1.0,JT)2y=0設平面PCB的法向旦，=(a,6,c)(PC-m=0IbC-m=0島一°,令1,yj。-6=0得m=(l,后后COS</n,/!>=-j?r=-yV711分|m|n|7經觀察二面角B-PC-D的大小為鈍角，設為8cos=-y'/712分18 .(本小題滿分22分)交通指數(shù)是擁堵的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)場通或擁堵的概念

13、，記為T.其范圍為0,10人分別有五個級別：760,2)暢通；丁2,4)基本暢通；丁64,6)輕度擁堵；下£6,8)中度擁堵；TG8,10嚴重擁堵.在晚高峰時段(丁)2),從某市指揮中心選取了市區(qū)20個路段.依據(jù)其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(T)在這20個路段中，隨機選取了兩個路段，求這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵的概率；(II)從這20個路段中隨機抽出3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望.解Ml)由立方圖得，嚴重擁堵的路段個數(shù)是(0.10+0.05)X1X20=3個，1分數(shù)學(理科)試題答案第2頁(共6頁)記“在這20個路段中,隨機選取了兩個

14、路段，這兩個路段至少有一個未出現(xiàn)嚴重擁堵”為事件A則。=急=齋，2分所以P(A)=1P=1一急=提故這兩個路段未出現(xiàn)嚴重擁堵的概率為樵.3分(II)中度擁堵的路段個數(shù)是(0.25+0.20)X1X20=9個，4分X的可能取值為0,1,2,3.5分P(X=0)=芻二=*P(X=1)=P(X=2)=1L=33sq019095147P(X=3)=T=T90=95所以，中度擁堵的路段個數(shù)X的分布列為X0123P11763376339579510分EX=OX1|+1X|+2X|+3X余震12分19.(本小題滿分12分)數(shù)列*.)的前項和為S.,8=2"一，等差數(shù)列2的各項為正實數(shù)，其前刀項和為

15、T.,且73=15,又4+6i,七十。2，。3十/一1成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列求.,九的通項公式;(n)若。=06.，當n>2時求數(shù)列c.的前H項和A.解：(I)當=1時,。=21=1；1分當,2時，aeuS.S.t=2"一一2-7(-=|1,2分此式對”=1不成立， 、3分又由73=15可得匹+&+仇=15 62=54分設數(shù)列出“的公差為4，由,+-，七+&，田+優(yōu)一1成等比數(shù)列可得：6-d.6,7+d成等比數(shù)列，所以(64)(7+，)=36=>4=2或4=一35分又因為等差數(shù)列兒的各項為正實數(shù)，所以d=-3不合題意，舍去 d=2,從而可得兒=1+儲-2

16、)4=5+5-2)2=2+16分I3,(=1)4(H)(=/九=|(2/+1)2'-,-(2n+l),(n>2)數(shù)學(理科)試題答案第3頁(共6頁)當2時，A1t=3+521+722+-+(2n-l)22+(2n+l)21一5+7+(2m+D令Pn=521+7-22+-+(2n-l)2-2+(2n+l)，(1)則2P.=522+723+-+(2nl)2-,+(2n+l)2。(2),(1)-(2)可得：一P,=521+23+2-(2+D2",-PR=522'+2(2+D2-10+232.11-2(2n+l)-2W=(1-2)2，+2,11分12分:.P產-1)2-

17、24=3/-1)2-2(-1)(n+3)=(2n-l)-2"-n2-2z/4-420 .(本小題滿分13分)如圖，已知橢圓/=點A,8是它的兩個頂點，過原點且斜率為萬的直線/與線2分B段AB相交于點。,且與橢圓相交于E、F兩點.(I)若劭=69，求4的值；(0)求四邊形AEBF面積的最大值.解：(I)依題設得橢圓的頂點A(2,0),B(0,l),則直線AB方程分別為l+2)2=0設EF的方程為y="&>0)如圖，設Q(Zo，£To),E(©,ZZi),F(12/N2)，其中了|不，聯(lián)立直線/與橢圓的方程-了十y=1y=kx消去,得方程(1+

18、4公)=4,故X2XX，1+4公由包=6/知丁。一乃=6(12一10)，得=)=-yx2=二三1/7J1+4-2由D在A3上知1。+20。-2=0,得。=中彳所以1+2A7，1+4-'10化簡得24/一254+6=0,23解得Q告或OO(U)根據(jù)點到直線的距離公式知，點A,B到EF的距離分別為,2khx=./ThFA：=-*/TTF數(shù)學(理科)試題答案第4頁(共6頁)又|EF|=4平坐，所以四邊形AEBF的面積為4+4戶S=J|EF|(陽+兒)=2。塊io分vTT4F=2/1+4/1+_4乙T1十4萬,1十1+4公=2/1+112反J"+十當且僅當4Q）,即當八卷時，取等號.

19、12分所以S的最大值為2&；13分21 .（本小題滿分14分）已知函數(shù)/（x）=lnr-ar2.（1）求/（幻的單調區(qū)間；（fl）設8（）=/（幻一工+1（120）,/是曲線3=4（力的一條切線，證明：曲線:y=g（/）上的任意一點都不能在直線I的上方；（田）當。=1時，方程2ml>+/（）：=（1有唯一實數(shù)解，求正數(shù)小的值.解：（I）/（1）的定義域為（0,+8）,/'（公=上一2.1=二?”山，1£（0,+8）,1分當a<0時,/（1）>0恒成立，/（/為增函數(shù)，增區(qū)間是（0，+8）2分當a>0時，令/（x）=0得,央=一J（舍去）z£（0,J）時/（幻>0，/（幻為增函數(shù)（總,+8）時，rCr）VOJ（z）為減函數(shù)3分綜上所述：當a<0時，增區(qū)間是（0,+8）當心>。時，增區(qū)間是（0認層），減區(qū)間是G層,+8）4分VLaVca（II）g（x）=lnx-ax2-x+l（a>0）,設M（XO,g（ko）是曲線g（M）上的一點，則:y=g（N）在點M處的切線方程為yg（ZQ）=g'（Ho）（Z-#o3即,=(2ax01)(x-x0)+g(x0>»5分Zo令A(x)