第4章測(cè)試信號(hào)的頻譜

1、第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析本章學(xué)習(xí)要求：本章學(xué)習(xí)要求：1.1.掌握信號(hào)頻譜的概念掌握信號(hào)頻譜的概念2.2.掌握頻譜分析的作用與頻譜求取方法掌握頻譜分析的作用與頻譜求取方法3.3.理解信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算理解信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算4.4.了解快速傅里葉變換（了解快速傅里葉變換（FFTFFT）的應(yīng)用）的應(yīng)用5.5.掌握隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)掌握隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)6.6.了解信號(hào)的倒頻譜分析了解信號(hào)的倒頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 復(fù)雜信號(hào)是由眾多頻率不同的諧波信號(hào)疊加而成復(fù)雜信號(hào)是由眾多頻率不同的諧波信號(hào)疊加而成的，各諧波的強(qiáng)弱比例的改變以及相位

2、的改變，都的，各諧波的強(qiáng)弱比例的改變以及相位的改變，都會(huì)使信號(hào)總體特性產(chǎn)生變化。會(huì)使信號(hào)總體特性產(chǎn)生變化。 諧波的幅值和相位的構(gòu)成被稱(chēng)為信號(hào)的諧波的幅值和相位的構(gòu)成被稱(chēng)為信號(hào)的頻譜頻譜。 分析信號(hào)的頻譜有重要的意義，特別在振動(dòng)工程、分析信號(hào)的頻譜有重要的意義，特別在振動(dòng)工程、噪聲、語(yǔ)音識(shí)別、語(yǔ)音合成、故障診斷等領(lǐng)域。噪聲、語(yǔ)音識(shí)別、語(yǔ)音合成、故障診斷等領(lǐng)域。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析信號(hào)頻譜信號(hào)頻譜X(f)X(f)代表了信號(hào)在代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。直觀，豐富的信息。

3、 時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)間時(shí)間幅值幅值頻率頻率時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 信號(hào)頻域分析信號(hào)頻域分析(frequency domain analysis)(frequency domain analysis)是是采用傅立葉（級(jí)數(shù)）變換將時(shí)域信號(hào)采用傅立葉（級(jí)數(shù)）變換將時(shí)域信號(hào)x(t)x(t)變換為頻變換為頻域信號(hào)域信號(hào)X(f)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來(lái)了解信，從而幫助人們從另一個(gè)角度來(lái)了解信號(hào)的特征。號(hào)的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉

4、變換變換X(t)= Asin(2ft)0 t0 f第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 時(shí)域分析時(shí)域分析(time domain analysis)只能反映信號(hào)的只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào) 第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 在許多場(chǎng)合，用信號(hào)的頻率來(lái)描述事物的特征也更簡(jiǎn)潔和明確。在許多場(chǎng)合，用信號(hào)的頻率來(lái)描述事物的特征也更簡(jiǎn)潔和

5、明確。下表是不同音階的時(shí)域波形和頻譜，頻率值的大小直觀地反映了音階下表是不同音階的時(shí)域波形和頻譜，頻率值的大小直觀地反映了音階的高低。的高低。 131Hz147Hz165Hz175Hz頻域參數(shù)對(duì)頻域參數(shù)對(duì)應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻速、固有頻率等參數(shù)，率等參數(shù)，物理意義更物理意義更明確。明確。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析仿真實(shí)驗(yàn)：典型信號(hào)的頻譜分析仿真實(shí)驗(yàn)：典型信號(hào)的頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信

6、號(hào)的頻譜分析白噪聲信號(hào)對(duì)信號(hào)的波形干擾很大，但對(duì)信號(hào)的頻譜影響很小。白噪聲信號(hào)對(duì)信號(hào)的波形干擾很大，但對(duì)信號(hào)的頻譜影響很小。 第一章第一章 緒論緒論第一章第一章 緒論緒論第一章第一章 緒論緒論第一章第一章 緒論緒論第一章第一章 緒論緒論第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 諧波信號(hào)諧波信號(hào)具有優(yōu)異的數(shù)學(xué)性質(zhì)和深厚的物理背景，具有優(yōu)異的數(shù)學(xué)性質(zhì)和深厚的物理背景，通常作為基本信號(hào)之一。諧波信號(hào)在數(shù)學(xué)上是一個(gè)無(wú)通常作為基本信號(hào)之一。諧波信號(hào)在數(shù)學(xué)上是一個(gè)無(wú)起點(diǎn)的簡(jiǎn)諧震蕩周期信號(hào)，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：起點(diǎn)的簡(jiǎn)諧震蕩周期信號(hào)，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義信號(hào)頻譜的形式與物理

7、意義cossinsin()( )cos()j tj tatbtAtx tAtcec e（三角）組合形式正弦形式余弦形式復(fù) 指 數(shù)形式j(luò)eAcAbAa2sin)cos(2式中ftje2C 上式中的復(fù)指數(shù)上式中的復(fù)指數(shù) 通常稱(chēng)為復(fù)指數(shù)諧波，它同通常稱(chēng)為復(fù)指數(shù)諧波，它同一個(gè)與其共軛的復(fù)指數(shù)諧波一個(gè)與其共軛的復(fù)指數(shù)諧波 構(gòu)成一個(gè)實(shí)際諧波。構(gòu)成一個(gè)實(shí)際諧波。ftjeC2*第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 諧波信號(hào)的波形總可由三個(gè)特征參數(shù)完全描述。諧波信號(hào)的波形總可由三個(gè)特征參數(shù)完全描述。其中頻率其中頻率f f是一個(gè)重要參數(shù)，它描述了信號(hào)變化的快是一個(gè)重要參數(shù)，它描述了信號(hào)變化的快慢。

8、也經(jīng)常用到角頻率慢。也經(jīng)常用到角頻率w w。 諧波信號(hào)的重要性質(zhì)包括兩方面：諧波信號(hào)的重要性質(zhì)包括兩方面： 微分不變性微分不變性 大部分工程實(shí)用信號(hào)都可以分解成一系列不同頻率大部分工程實(shí)用信號(hào)都可以分解成一系列不同頻率諧波的線性組合。諧波的線性組合。 如何分解正是諧波分析的重要任務(wù)之一。4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義信號(hào)頻譜的形式與物理意義 工程實(shí)踐中有大量諧波信號(hào)。例如工程實(shí)踐中有大量諧波信號(hào)。例如第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 諧波信號(hào)往往對(duì)應(yīng)信號(hào)源的一種單純、諧和運(yùn)諧波信號(hào)往往對(duì)應(yīng)信號(hào)源的一種單純、諧和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。動(dòng)狀態(tài)。 諧波成分的分布情況能很好說(shuō)明信號(hào)的復(fù)雜程諧波

9、成分的分布情況能很好說(shuō)明信號(hào)的復(fù)雜程度，是信號(hào)傳輸、處理中需要了解的重要特性。度，是信號(hào)傳輸、處理中需要了解的重要特性。 周期信號(hào)、瞬態(tài)信號(hào)、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)信周期信號(hào)、瞬態(tài)信號(hào)、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)都可以通過(guò)相應(yīng)的途徑進(jìn)行號(hào)都可以通過(guò)相應(yīng)的途徑進(jìn)行諧波分解諧波分解。4.1信號(hào)頻譜的形式與物理意義信號(hào)頻譜的形式與物理意義第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析4.1.1周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 借助于借助于傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier series)，一般周期信號(hào)一般周期信號(hào)可利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻可利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的

10、諧波信號(hào)的線性疊加。前提是需滿足率的諧波信號(hào)的線性疊加。前提是需滿足Dirichlet條件（在周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且絕對(duì)可積）。條件（在周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且絕對(duì)可積）。a)a)傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn,.)3 , , 2 , 1( n100)cos()(nnntnAatx可變形為：可變形為：,.)3 , ,2, 1(n第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/10nnabnnnnTTTnTTTnTTTarctgbaAtdtntxbt

11、dtntxadttxa式中：a0、an、bn為傅里葉系數(shù) 0為信號(hào)的基頻 T為信號(hào)基波成分的周期 n稱(chēng)為諧波階數(shù) An為各諧波分量的幅值 n為各諧波分量的初相角Tf2200第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析b)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)展開(kāi)式：傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)展開(kāi)式： .2, 1, 0;)(2/2/10ndtetxCTTtjnwTn00aC x tC ennjntn( ),(,.) 001 2nnnnnnjbaCjbaC2121第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析按三角傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（按三角傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（4.1-64.1-6）或（）或（4.1-11,124.1

12、-11,12），），已將已將x(t)x(t)分解成了一系列由序號(hào)分解成了一系列由序號(hào)n n標(biāo)記的實(shí)諧波之和。標(biāo)記的實(shí)諧波之和。n=0n=0: :直流分量直流分量特殊諧波（最簡(jiǎn)單的諧波），即特殊諧波（最簡(jiǎn)單的諧波），即n=1:基波基波(fundamental wave)分量分量-頻率為頻率為f1(x(t)的基本的基本頻率）的諧波分量，即頻率）的諧波分量，即n1:n此諧波此諧波(harmonic wave)分量分量-頻率為頻率為fn=nf1(基波基波頻率的頻率的n倍）的諧波分量，即倍）的諧波分量，即 000000sincos)(AAatx)2sin()2cos()2sin()2cos()(1111

13、1111111tfAtfAtfbtfatx)2sin()2cos()2sin()2cos()(1111nnnnnnntnfAtnfAtnfbtnfatx第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 12jnf tnnx tC e00)(Ctx按指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式按指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式4.1-8，便將，便將x(t)分解成了一分解成了一系列由序號(hào)系列由序號(hào)n標(biāo)記的標(biāo)記的復(fù)（指數(shù)）諧波復(fù)（指數(shù)）諧波之和，則之和，則tfjtfjeCtxeCtx11211211)()( n=0:直流分量直流分量-對(duì)于實(shí)信號(hào)對(duì)于實(shí)信號(hào)x(t)，每個(gè)非直流諧波分量，每個(gè)非直流諧波分量x+n(t)都將同一都將同一個(gè)

14、與其共軛的復(fù)諧波個(gè)與其共軛的復(fù)諧波x-n(t)合成一個(gè)實(shí)諧波分量。合成一個(gè)實(shí)諧波分量。 n=1:基波分量基波分量- n1:n此諧波分量此諧波分量-tnfjnntnfjnneCtxeCtx1122)()(第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 將信號(hào)分解成諧波分量時(shí)，若將每個(gè)諧波分量的將信號(hào)分解成諧波分量時(shí)，若將每個(gè)諧波分量的特征參數(shù)特征參數(shù)按序排列成圖，便能形象地表達(dá)信號(hào)分解的按序排列成圖，便能形象地表達(dá)信號(hào)分解的情況。情況。 由于各個(gè)諧波分量可由其頻率明確區(qū)分，故通常由于各個(gè)諧波分量可由其頻率明確區(qū)分，故通常以諧波頻率為序（不同頻率對(duì)應(yīng)不同諧波分量）來(lái)刻以諧波頻率為序（不同頻率

15、對(duì)應(yīng)不同諧波分量）來(lái)刻畫(huà)諧波分量的幅度及相位等特征參數(shù)的分布情況，形畫(huà)諧波分量的幅度及相位等特征參數(shù)的分布情況，形成所謂的頻譜。成所謂的頻譜。 對(duì)應(yīng)周期信號(hào)分解的四種表達(dá)形式，其對(duì)應(yīng)周期信號(hào)分解的四種表達(dá)形式，其頻譜頻譜(spectrum)有五種不同的刻畫(huà)方法：有五種不同的刻畫(huà)方法：第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析對(duì)應(yīng)式對(duì)應(yīng)式4.1-114.1-11分解，用（單邊）幅值譜分解，用（單邊）幅值譜An-fAn-f和（余弦）和（余弦）相位譜相位譜n-fn-f表示表示幅頻譜幅頻譜-以圓頻率以圓頻率0（或頻率（或頻率f f）為橫坐標(biāo)）為橫坐標(biāo), ,幅值幅值A(chǔ)n為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)( (a

16、mplitude spectrumamplitude spectrum) ) 相頻譜相頻譜-以圓頻率以圓頻率0（或頻率（或頻率f f）為橫坐標(biāo)）為橫坐標(biāo), ,相位相位n為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)( (phase spectrumphase spectrum) )An1(f)20123(f)(n)第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析對(duì)應(yīng)式對(duì)應(yīng)式4.1-124.1-12分解，用（單邊）幅值譜分解，用（單邊）幅值譜An-fAn-f和（正弦）和（正弦）相位譜相位譜n-fn-f表示表示對(duì)應(yīng)式對(duì)應(yīng)式4.1-64.1-6分解，用余弦譜分解，用余弦譜an-fan-f和正弦譜和正弦譜bn-fbn-f表示。

17、表示。對(duì)應(yīng)式對(duì)應(yīng)式4.1-84.1-8分解，用雙邊幅值譜、雙邊相位譜，或?qū)嵎纸?，用雙邊幅值譜、雙邊相位譜，或?qū)嵶V、虛譜表示。譜、虛譜表示。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析例例1：復(fù)雜周期信號(hào)：復(fù)雜周期信號(hào)通過(guò)求通過(guò)求傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)，可得可得.5/ )5sin(3/ )3sin()sin(4)(1tAtAtAtxn第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析例例2 如圖所示的周期方波，以復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式求頻如圖所示的周期方波，以復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式求頻譜，并作頻譜圖。譜，并作頻譜圖。 ,.)4, 2, 0(0,.)5, 3, 1(2)sin)(cos()(2/2/00

18、12/2/10nnnAjdttnjtntxdtetxCTTTTTtjnwTn,.)3, 1( ,12)(0nenAjtxntjn第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析例例3 周期單位脈沖序列的頻譜周期單位脈沖序列的頻譜周期單位脈沖序列函數(shù)（又稱(chēng)采樣函數(shù)）表達(dá)式為周期單位脈沖序列函數(shù)（又稱(chēng)采樣函數(shù)）表達(dá)式為其頻譜為：其頻譜為： )()(nsnTttg)(1)(1)(nssnssTnfTnffTfG第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 不同形式的頻譜的功效完全等價(jià)，之間有明確的不同形式的頻譜的功效完全等價(jià)，之間有明確

19、的對(duì)應(yīng)關(guān)系（對(duì)應(yīng)關(guān)系（4.1-10、13、14），可任選其一。），可任選其一。 常用的頻譜有圖常用的頻譜有圖4-5、4-6兩種。前者由于其兩種。前者由于其描述描述的諧波參數(shù)有直觀意義（有實(shí)際的物理意義）的諧波參數(shù)有直觀意義（有實(shí)際的物理意義）而受重而受重用，后著則由于用，后著則由于數(shù)學(xué)運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單而受歡迎。而受歡迎。 三角函數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是單邊譜（三角函數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是單邊譜（從從0 0到到）復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是雙邊譜（復(fù)指數(shù)展開(kāi)形式的頻譜是雙邊譜（ 從從- - 到到）雙邊幅頻譜為偶函數(shù)，雙邊幅頻譜為偶函數(shù)，雙邊相頻譜為奇函數(shù)。雙邊相頻譜為奇函數(shù)。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)

20、的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。離散性、諧波性、收斂性。譜線間隔為：譜線間隔為：nw0=n2/T0 信號(hào)的能量主要集中在信號(hào)的能量主要集中在低頻段低頻段選儀器時(shí)要注意頻帶寬度。選儀器時(shí)要注意頻帶寬度。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 dttxTPTtt0021tnfAtxnn12cos)( 對(duì)任意周期信號(hào)對(duì)任意周期信號(hào)x(t)，定義其平均功率，定義其平均功率 ) 1(2)0(1220200nAnadttxTGnTttnnnn 上式可表達(dá)信號(hào)上式可表達(dá)信號(hào)x(t)的總體強(qiáng)弱。當(dāng)?shù)目傮w強(qiáng)弱。當(dāng)x(t)分解成三角分解成

21、三角諧波分量組合時(shí)，其諧波分諧波分量組合時(shí)，其諧波分 量的平均量的平均功率為功率為4.1.2周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析0nnnSGPtnfjnnAeCtx12)( nCdttxtxTSnnATttnAnnn2*001 當(dāng)當(dāng)x(t)分解成指數(shù)諧波分量組合時(shí)，其諧波分量分解成指數(shù)諧波分量組合時(shí)，其諧波分量 的的 的平均功率可定義為的平均功率可定義為4.1.2周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜(power spectrum) 來(lái)表達(dá)其總體強(qiáng)弱。不難證明有下列來(lái)表達(dá)其總體強(qiáng)弱。不難證明有下列Parserval關(guān)系：關(guān)系： 即即周期信號(hào)無(wú)論分解成三

22、角諧波之和還是指數(shù)諧周期信號(hào)無(wú)論分解成三角諧波之和還是指數(shù)諧波之和，其平均功率都等于所有各個(gè)諧波的平均功率波之和，其平均功率都等于所有各個(gè)諧波的平均功率之和之和。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析nnSGSG200 由此可知，各諧波分量的功率也是重要參數(shù)，可以由此可知，各諧波分量的功率也是重要參數(shù)，可以比較直接地表達(dá)它對(duì)合成總信號(hào)的貢獻(xiàn)。于是將諧波分比較直接地表達(dá)它對(duì)合成總信號(hào)的貢獻(xiàn)。于是將諧波分量的功率按頻率順序排列，構(gòu)成量的功率按頻率順序排列，構(gòu)成功率譜功率譜（單邊和雙邊）。（單邊和雙邊）。4.1.2周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜 雙邊功率譜對(duì)稱(chēng)與縱軸。雙邊功率譜雙邊功

23、率譜對(duì)稱(chēng)與縱軸。雙邊功率譜Sn與單邊與單邊Gn有有下列關(guān)系：下列關(guān)系：第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析傅立葉變換傅立葉變換 逆變換逆變換 正變換正變換也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成: 幅值譜幅值譜 相位譜相位譜 X(f)X(f)稱(chēng)為稱(chēng)為x(t)x(t)的的幅值譜密度函數(shù)幅值譜密度函數(shù) （f f）為）為x(t)x(t)相位譜密度函數(shù)相位譜密度函數(shù)x tX f edfX fx t edtjftjft( )( )( )( )22dtetxXdeXtxtjtj)()()()(21)()()(fjefXfX)(Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf第第4 4章章

24、測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)c.c.對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 若若 x(t) X(f)x(t) X(f)，則，則 X(-t) x(+f) X(-t) x(+f) a.a.奇偶虛實(shí)性奇偶虛實(shí)性 若若 x(t) X(f)，則，則 x(-t) X(-f) b.b.線性疊加性線性疊加性 若若 x1(t) X1(f)x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) x2(t) X2(f) 則：則：c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析e. 時(shí)

25、移性時(shí)移性 若若x(t) X(f)，則，則 x(tt0) ej2ft0 X(f) d. 時(shí)間尺度改變性時(shí)間尺度改變性 若若 x(t) X(f)，則，則 x(kt) 1/kX(f/k)f. 頻移性頻移性 若若x(t) X(f)，則，則x(t) ej2f0t X(f f0) g. 時(shí)域卷積性時(shí)域卷積性 若若x(t) X(f)， y(t) Y(f),則則x(t)*y(t) X(f) Y(f)第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 對(duì)于非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)于非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t),若滿足若滿足Dirichlet條條件，在數(shù)學(xué)上不難證明下列件，在數(shù)學(xué)上不難證明下列傅里葉變換傅里葉變換關(guān)

26、系關(guān)系 與周期信號(hào)不同的是：與周期信號(hào)不同的是：1.每個(gè)諧波分量每個(gè)諧波分量xf(t)的幅度的幅度X(f)df都是無(wú)窮小量都是無(wú)窮小量2.各諧波分量在頻率各諧波分量在頻率f軸上連續(xù)排列，而周期信號(hào)各諧軸上連續(xù)排列，而周期信號(hào)各諧波分量之間間隔頻率波分量之間間隔頻率f1=1/T 由上式可知，它將時(shí)限信號(hào)由上式可知，它將時(shí)限信號(hào)x(t)分解成了一系列分解成了一系列復(fù)指數(shù)諧波分量復(fù)指數(shù)諧波分量 的和。的和。4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度非周期信號(hào)的頻譜密度x tX f edfX fx t edtjftjft( )( )( )( )22 ftjfedffXtx2第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信

27、號(hào)的頻譜分析 雖然各諧波分量的幅度都是無(wú)窮小量，但可通過(guò)雖然各諧波分量的幅度都是無(wú)窮小量，但可通過(guò)X(f)表達(dá)各自的特性：模表達(dá)各自的特性：模X(f)可表達(dá)可表達(dá)xf(t)幅度的相對(duì)大幅度的相對(duì)大小，輻角小，輻角argX(f)正是正是xf(t)的零時(shí)相位。的零時(shí)相位。 可見(jiàn)：任意頻率可見(jiàn)：任意頻率f附近單位頻帶內(nèi)的諧波分量合成附近單位頻帶內(nèi)的諧波分量合成近似為頻率近似為頻率f、幅度為、幅度為 、零時(shí)相位為、零時(shí)相位為argX(f)的的（復(fù)）指數(shù)諧波。（復(fù)）指數(shù)諧波。由此，由此，X(f)被稱(chēng)為信號(hào)被稱(chēng)為信號(hào)x(t)的（雙邊）的（雙邊）頻譜密度函數(shù)。相應(yīng)地也分為幅度譜、相位譜、實(shí)譜、頻譜密度函數(shù)。

28、相應(yīng)地也分為幅度譜、相位譜、實(shí)譜、虛譜。虛譜。 進(jìn)一步考察在任意頻率進(jìn)一步考察在任意頻率f=f0附近單位頻帶附近單位頻帶f屬于屬于f0-1/2,f0+1/2內(nèi)諧波分量的合成結(jié)果有內(nèi)諧波分量的合成結(jié)果有4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度非周期信號(hào)的頻譜密度)( fX tfjfftfjffftjefXdfefXdfefXtx00000020212120212121第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 單邊指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為：?jiǎn)芜呏笖?shù)函數(shù)的表達(dá)式為： 2202220( )12222jftatjftatjftX fx t edteedteeajfajfajfaf 00,00,0atatx

29、teat例例1：指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜：指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜 其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：?jiǎn)芜呏笖?shù)函數(shù)及其頻單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜如右圖所示。譜如右圖所示。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 單位階躍函數(shù)可以看做是單邊指數(shù)衰減函數(shù)單位階躍函數(shù)可以看做是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a0時(shí)的極限形式。時(shí)的極限形式。 0001lim0,0atatx teat例例2：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的頻譜：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)及其頻單位階躍函數(shù)及其頻譜如右圖所示。譜如右圖所示。 2jXff第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 非周期信號(hào)非周期信號(hào)x(t)也可以分解為物理意義更加明確也可以分解為

30、物理意義更加明確的實(shí)三角諧波之和。的實(shí)三角諧波之和。 非周期信號(hào)的單邊譜通常由雙邊譜的結(jié)果導(dǎo)出：非周期信號(hào)的單邊譜通常由雙邊譜的結(jié)果導(dǎo)出：4.1.3非周期信號(hào)的頻譜密度非周期信號(hào)的頻譜密度）0()(arg)()0()(2)(,)0()0(ffXfffXfAXA -0)(2cosdffftfAtx 實(shí)際應(yīng)用中大都采用雙邊譜以求數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)便。實(shí)際應(yīng)用中大都采用雙邊譜以求數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)便。雙邊幅值譜、實(shí)譜對(duì)稱(chēng)與縱軸，相位譜、虛譜為奇函雙邊幅值譜、實(shí)譜對(duì)稱(chēng)與縱軸，相位譜、虛譜為奇函數(shù)。數(shù)。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 對(duì)于能量有限的非周期信號(hào)，可定義能量對(duì)于能量有限的非周期信號(hào)，可

31、定義能量W表示表示其總體強(qiáng)弱。其總體強(qiáng)弱。 考慮傅里葉變換定義式可導(dǎo)出考慮傅里葉變換定義式可導(dǎo)出4.1.4非周期信號(hào)的能量譜非周期信號(hào)的能量譜(密度）密度）dffXW2)( dttxW2 這就是能量信號(hào)的這就是能量信號(hào)的Parserval公式。結(jié)論：公式。結(jié)論：時(shí)限信時(shí)限信號(hào)的總能量等于其所有（無(wú)限?。┲C波分量的能量之號(hào)的總能量等于其所有（無(wú)限小）諧波分量的能量之和。和。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 各諧波分量的能量各諧波分量的能量 也是無(wú)窮小量，但可定也是無(wú)窮小量，但可定義雙邊能量譜密度義雙邊能量譜密度Ex(f)表達(dá)諧波分量能量的相對(duì)大小。表達(dá)諧波分量能量的相對(duì)大小。

32、 Ex(f)顯然是偶函數(shù)。見(jiàn)圖顯然是偶函數(shù)。見(jiàn)圖4-13.4.1.4非周期信號(hào)的能量譜非周期信號(hào)的能量譜(energy spectrum)密度密度dffX2)( 2)(fXfEx 對(duì)實(shí)信號(hào)對(duì)實(shí)信號(hào)x(t)進(jìn)行實(shí)三角諧波分解，有單邊能量譜進(jìn)行實(shí)三角諧波分解，有單邊能量譜（密度）：（密度）： 0)(210)0(22ffAfAfNx第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 不難導(dǎo)出雙邊能量譜（密度）不難導(dǎo)出雙邊能量譜（密度）Ex(f)與單邊能量譜與單邊能量譜（密度）（密度）Nx(f)有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：4.1.4非周期信號(hào)的能量譜非周期信號(hào)的能量譜)0()0(xxEN 且有：且有：d

33、ffNWx-0)( 0)(2ffEfNxx第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào) 的隨機(jī)性表現(xiàn)在：的隨機(jī)性表現(xiàn)在： 4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）)(),(),(21txtxtxXn 對(duì)與測(cè)試而言，隨機(jī)信號(hào)對(duì)與測(cè)試而言，隨機(jī)信號(hào)(random signal)和確定和確定信號(hào)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，都是對(duì)某個(gè)物理量的時(shí)間歷程進(jìn)信號(hào)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，都是對(duì)某個(gè)物理量的時(shí)間歷程進(jìn)行的，并不在乎被測(cè)信號(hào)是否有規(guī)律。隨機(jī)過(guò)程行的，并不在乎被測(cè)信號(hào)是否有規(guī)律。隨機(jī)過(guò)程（random process)()()(21txtxtxn :S1-

34、Sn的結(jié)構(gòu)及參數(shù)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)“完全一樣完全一樣”，但發(fā)出的信號(hào)不一樣但發(fā)出的信號(hào)不一樣-每個(gè)每個(gè)Si在各行其是，隨機(jī)發(fā)在各行其是，隨機(jī)發(fā)出信號(hào)。出信號(hào)。 xi(t)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律不受的變化規(guī)律不受Si結(jié)構(gòu)參數(shù)的控制結(jié)構(gòu)參數(shù)的控制它它在隨機(jī)變化。在隨機(jī)變化。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 對(duì)對(duì)xi(t)的測(cè)試分析是為了了解總體的測(cè)試分析是為了了解總體X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。律。 由于實(shí)際的測(cè)試分析都只能對(duì)有限的信號(hào)且在有由于實(shí)際的測(cè)試分析都只能對(duì)有限的信號(hào)且在有限的時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行，因此，只有對(duì)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)限的時(shí)間范圍內(nèi)進(jìn)行，因此，只有對(duì)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)總體

35、的樣本信號(hào)進(jìn)行測(cè)試、分析才是有意義的。隨機(jī)總體的樣本信號(hào)進(jìn)行測(cè)試、分析才是有意義的。 4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度） 由于由于X(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，可以通過(guò)單個(gè)樣本信號(hào)是各態(tài)歷經(jīng)的，可以通過(guò)單個(gè)樣本信號(hào)xi(t)的測(cè)試分析，了解的測(cè)試分析，了解X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（信息），因的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（信息），因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)性保證由任一樣本都可以統(tǒng)計(jì)出總體的規(guī)為各態(tài)歷經(jīng)性保證由任一樣本都可以統(tǒng)計(jì)出總體的規(guī)律。律。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 由于由于X(t)是平穩(wěn)的，便可通過(guò)對(duì)樣本信號(hào)是平穩(wěn)的，便可通過(guò)對(duì)樣本信號(hào)xi(t)在在有限的時(shí)間范

36、圍內(nèi)的測(cè)試分析，了解整個(gè)有限的時(shí)間范圍內(nèi)的測(cè)試分析，了解整個(gè)xi(t)的統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性。特性。 對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可以由其任一樣本對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可以由其任一樣本xi(t)指代。指代。 4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度） x(t)的平均功率是有限的，定義為：的平均功率是有限的，定義為：22200)(1limTtTtTdttxTP 平均功率表達(dá)總體平均功率表達(dá)總體X(t)及其樣本及其樣本x(t)的總體強(qiáng)弱。的總體強(qiáng)弱。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 如圖如圖4-15，截取樣本信號(hào)，截取樣本信號(hào)x(t)的一段，

37、構(gòu)成時(shí)限信號(hào)。的一段，構(gòu)成時(shí)限信號(hào)。4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度） 可得：可得：其他0)2,2()()(00TtTtttxtxT dtetxfXftjTT2-2T)(1limdttxTPT 時(shí)限信號(hào)時(shí)限信號(hào)xT(t)可分解為可分解為 dfefXtxftjTT2 式中式中第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 4.1-33代入代入4.1-32可得可得4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度） 定義：定義：dfTfXPTT)(lim2 TfXfSTTx2lim 相應(yīng)有：相應(yīng)有： dffSPx

38、Sx(f)df是頻率為是頻率為f的復(fù)指數(shù)諧波分量的平均功率。的復(fù)指數(shù)諧波分量的平均功率。Sx(f)稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào)稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào)x(t)的的雙邊功率譜（密度）函數(shù)雙邊功率譜（密度）函數(shù)，是，是表達(dá)隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一個(gè)重要函數(shù)。表達(dá)隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一個(gè)重要函數(shù)。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 單邊功率譜密度函數(shù)單邊功率譜密度函數(shù)Gx(f)定義為：定義為：4.1.5各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度）各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜（密度） 0200ffSfGSGxxxx， 相應(yīng)有：相應(yīng)有： dffGPx0 Gx(f)df是隨機(jī)信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)x(t)中頻率為中頻率為f的三角諧波分量

39、的的三角諧波分量的平均功率。平均功率。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 從從x(t)的頻譜中找出信號(hào)源的某些特征。如發(fā)動(dòng)機(jī)，的頻譜中找出信號(hào)源的某些特征。如發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)電機(jī)。發(fā)電機(jī)。通過(guò)對(duì)輸入、輸出信號(hào)頻譜的比較分析，辨識(shí)信號(hào)通過(guò)對(duì)輸入、輸出信號(hào)頻譜的比較分析，辨識(shí)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)的傳遞特性（如測(cè)試系統(tǒng)的傳遞特性（如頻響函數(shù)頻響函數(shù)frequence response function等）。等）。評(píng)估待測(cè)量信號(hào)的復(fù)雜程度，以便為其配置合適的評(píng)估待測(cè)量信號(hào)的復(fù)雜程度，以便為其配置合適的測(cè)量系統(tǒng)。（如估計(jì)信號(hào)的有效頻帶）測(cè)量系統(tǒng)。（如估計(jì)信號(hào)的有效頻帶）4.2頻譜分析的作用與頻譜求取

40、方法頻譜分析的作用與頻譜求取方法4.2.1頻譜分析的作用頻譜分析的作用第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析功率譜在設(shè)備診斷功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用中的應(yīng)用 汽車(chē)變速箱上加速汽車(chē)變速箱上加速度信號(hào)的功率譜圖度信號(hào)的功率譜圖 正常正常異常異常故障頻率故障頻率第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 向系統(tǒng)輸入周期為向系統(tǒng)輸入周期為T(mén)的信號(hào)的信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出同周期的系統(tǒng)將輸出同周期的信號(hào)信號(hào)y(t) 輸入：輸入： TftnfAtxxnnxn1,2cos1100)(arg/)(11nnfHAAnfHxnynxnyn輸出：輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)線性時(shí)不

41、變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí) TftnfAtyynnyn1,2cos110 幅頻特性：幅頻特性： 相頻特性：相頻特性：第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 向系統(tǒng)輸入時(shí)限信號(hào)向系統(tǒng)輸入時(shí)限信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出時(shí)限信號(hào)系統(tǒng)將輸出時(shí)限信號(hào)y(t) 輸入：輸入： -2)(dfefXtxftj)(/ )()(fXfYfH輸出：輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí) dfefYtyftj-2)( 可得：可得：第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 向系統(tǒng)輸入各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)向系統(tǒng)輸入各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t),系統(tǒng)將輸出各系統(tǒng)將輸出各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)

42、隨機(jī)信號(hào)態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)y(t)。記。記x(t),y(t)的雙邊功率譜密的雙邊功率譜密度為度為Sx(f),Sy(f),則有則有)(/ )()(fSfSfHxy)()()(fSfSfHxyx輸出：輸出：1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻響函數(shù)辨識(shí)如果仿照如果仿照Sx(f)定義定義y(t)與與x(t)的的互功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)Syx(f),則有則有第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 周期信號(hào)的有效頻帶估計(jì)周期信號(hào)的有效頻帶估計(jì) 若已知周期信號(hào)若已知周期信號(hào)x(t)的單邊功率譜，則可由頻譜圖分的單邊功率譜，則可由頻譜圖分布試選有效頻帶下限為布試選有效頻帶

43、下限為 ，上限為，上限為 ，將功率較大的諧波分量保留在初選的有效頻帶內(nèi)（圖將功率較大的諧波分量保留在初選的有效頻帶內(nèi)（圖4-17）。此時(shí)，）。此時(shí)， 內(nèi)諧波分量的合成信號(hào)為內(nèi)諧波分量的合成信號(hào)為 hlfff, )2cos(1*nNNnntnfAtxhl2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)信號(hào)的有效頻帶估計(jì) 計(jì)算計(jì)算x*(t)的平均功率：的平均功率：1fNfllhlNNnnGP*1fNfhh第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析hlfff,2.信號(hào)的有效頻帶估計(jì)信號(hào)的有效頻帶估計(jì) 計(jì)算計(jì)算x(t)的平均功率：的平均功率：dttxTPT02)(1 驗(yàn)算驗(yàn)算P*/P: 如果如果P*/P略大于略大于（

44、常?。ǔＨ?.90.990.90.99），則可認(rèn)為），則可認(rèn)為x(t)x(t)的有效頻帶為的有效頻帶為 ，即在工程上可由，即在工程上可由x x* *(t)(t)代替代替x(t).x(t). 如果如果P P* */P/P2fhfs2fh時(shí)，有時(shí)，有 2,2ssffffXfX第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 將式將式4.3-74.3-7和式和式4.3-104.3-10代入上式，有代入上式，有 22NNknxDFSkXCk 比較此式兩邊，并注意到比較此式兩邊，并注意到fs=Nf1,fs=Nf1,便可得便可得2,211sskkfffkffkXkffC 因?yàn)橐驗(yàn)閒x2fhfx2fh時(shí)

45、，時(shí)，N/2Nh,N/2Nh,所以上式已給出了所以上式已給出了x(t)x(t)的的所有非零頻譜。所有非零頻譜。 可見(jiàn)，對(duì)于周期信號(hào)可見(jiàn)，對(duì)于周期信號(hào)x(t),如果采樣間隔如果采樣間隔Ts=T/N,并且并且滿足香農(nóng)采樣條件，則可以由滿足香農(nóng)采樣條件，則可以由DFSxn得到得到x(t)頻譜的頻譜的精確結(jié)果。精確結(jié)果。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析2.2.頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算2,21ssffkf 只有在滿足采樣定理的條件下，在只有在滿足采樣定理的條件下，在 的范的范圍內(nèi)圍內(nèi)C Ck k=C=Ck k=Xk=DFSxn=Xk=DFSxn。 2,2ssf

46、ff 實(shí)際上嚴(yán)格滿足采樣條件是很困難的，如果實(shí)際上嚴(yán)格滿足采樣條件是很困難的，如果fsfs足夠足夠高，高， 時(shí)時(shí)CkCk非常小，頻譜混疊不嚴(yán)重，仍然可非常小，頻譜混疊不嚴(yán)重，仍然可以由以由XkXk比較精確地逼近比較精確地逼近CkCk。 如果頻譜混疊嚴(yán)重，則可以利用如果頻譜混疊嚴(yán)重，則可以利用xn,xn,通過(guò)線性插通過(guò)線性插值或拋物線插值構(gòu)造一個(gè)逼近值或拋物線插值構(gòu)造一個(gè)逼近x(t)x(t)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x x* *(t),(t),則則x x* *(t)(t)的復(fù)頻譜的復(fù)頻譜C C* *k k通常能較好地逼近通常能較好地逼近Ck,Ck,不受不受頻譜混疊的制約。頻譜混疊的制約。第第4

47、 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析4.3.3非周期信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算非周期信號(hào)頻譜的數(shù)字計(jì)算 1. 1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFTDFT） ssfnTjNnsfnTjnsenxTenxTnxFfXfX2102)( 對(duì)時(shí)限信號(hào)對(duì)時(shí)限信號(hào)x(t)x(t)（t t屬于屬于0 0，Ta)Ta)以以TsTs為間隔離散采為間隔離散采樣，得到延續(xù)區(qū)間為樣，得到延續(xù)區(qū)間為n n屬于屬于0,N-10,N-1的有限長(zhǎng)度離散信號(hào)的有限長(zhǎng)度離散信號(hào)xn.xn.由式（由式（4.3-44.3-4）可得）可得knNjNnsenxTkfX210)( 用計(jì)算機(jī)計(jì)算頻譜

48、時(shí)，只能計(jì)算它在有限個(gè)頻率點(diǎn)用計(jì)算機(jī)計(jì)算頻譜時(shí)，只能計(jì)算它在有限個(gè)頻率點(diǎn)上的離散采樣值。于是，考慮以上的離散采樣值。于是，考慮以f f=fs/N=1/NTs=1/Ta=fs/N=1/NTs=1/Ta為頻率間隔，對(duì)頻譜進(jìn)行離散采樣，得為頻率間隔，對(duì)頻譜進(jìn)行離散采樣，得第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 1. 1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFTDFT） kXIDFTNnekXNnxdefknNjNn10,1210knNjNnenx210 上式中的運(yùn)算上式中的運(yùn)算 通常稱(chēng)為對(duì)通常稱(chēng)為對(duì)n n屬于屬于0,N-10,N-1有限時(shí)常信號(hào)有限時(shí)常

49、信號(hào)xnxn的離散傅里葉變換，用的離散傅里葉變換，用DFTDFT表示，結(jié)表示，結(jié)果記為果記為Xk,Xk,即即 不難驗(yàn)證，不難驗(yàn)證，XkXk是是k k的周期函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，周期為N N，并可導(dǎo)出，并可導(dǎo)出 kXenxnxDFTknNjNn210 其中定義的其中定義的IDFTIDFT稱(chēng)為為稱(chēng)為為XkXk的離散傅里葉逆變換的離散傅里葉逆變換第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 1. 1.理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（理想狀態(tài)下的結(jié)果與離散傅里葉變換（DFTDFT）hhffffX,0)( 22,ssffffXfX 于是有于是有 假定假定x(t)x(t)是最高諧波頻率為是最高

50、諧波頻率為fhfh的帶限信號(hào)，即的帶限信號(hào)，即 kXTkfXs 如果如果fs2fh,fs2fh,則由則由 22102kXTkfXfffenxTfXsNnssfnTjss 有有第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 2. 2.頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算（同上節(jié)）頻譜混疊狀況下的近似計(jì)算（同上節(jié)） 頻譜的取樣間隔為時(shí)域取樣長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)頻譜的取樣間隔為時(shí)域取樣長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù) ，TaTa不能隨意取大，因此不能隨意取大，因此f f不能隨意取小。不能隨意取小。aTf1 3. 3.柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)問(wèn)題問(wèn)題 于是對(duì)某些頻譜變化比較劇烈的信號(hào)，于是對(duì)某些頻譜變化比較劇烈的信號(hào)， f f會(huì)顯得過(guò)會(huì)顯得過(guò)寬。

51、（如圖所示）沒(méi)能有效描述原信號(hào)頻譜的波動(dòng)規(guī)律。寬。（如圖所示）沒(méi)能有效描述原信號(hào)頻譜的波動(dòng)規(guī)律。這種由于頻率取樣間隔過(guò)大而不能有效表達(dá)頻譜特征的這種由于頻率取樣間隔過(guò)大而不能有效表達(dá)頻譜特征的情況，稱(chēng)為情況，稱(chēng)為柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 例如，余弦信號(hào)的頻譜為線譜。當(dāng)信號(hào)頻率例如，余弦信號(hào)的頻譜為線譜。當(dāng)信號(hào)頻率與頻譜離散取樣點(diǎn)不等時(shí)，柵欄效應(yīng)的誤差為與頻譜離散取樣點(diǎn)不等時(shí)，柵欄效應(yīng)的誤差為無(wú)窮大。無(wú)窮大。分析時(shí)應(yīng)注意怎樣獲得準(zhǔn)確的頻譜。分析時(shí)應(yīng)注意怎樣獲得準(zhǔn)確的頻譜。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 對(duì)于延續(xù)時(shí)間對(duì)于延續(xù)時(shí)間有

52、限的信號(hào)，首先要使取樣時(shí)段要有限的信號(hào)，首先要使取樣時(shí)段要包含信號(hào)的延續(xù)區(qū)域包含信號(hào)的延續(xù)區(qū)域Ta Ta , ,否則會(huì)引起頻譜泄露。否則會(huì)引起頻譜泄露。 3. 3.柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)問(wèn)題問(wèn)題 將信號(hào)延續(xù)區(qū)間以后的零值取樣進(jìn)去而增大將信號(hào)延續(xù)區(qū)間以后的零值取樣進(jìn)去而增大TaTa，而，而使頻譜細(xì)化。（使頻譜細(xì)化。（補(bǔ)零細(xì)化補(bǔ)零細(xì)化） 減小柵欄效應(yīng)的辦法就是增加減小柵欄效應(yīng)的辦法就是增加TaTa長(zhǎng)度，但加大計(jì)算長(zhǎng)度，但加大計(jì)算負(fù)擔(dān)。負(fù)擔(dān)。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析為便于數(shù)學(xué)處理，對(duì)截?cái)嘈盘?hào)做周期延拓，得到虛擬的無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)。為便于數(shù)學(xué)處理，對(duì)截?cái)嘈盘?hào)做周期延拓，得到虛擬的無(wú)限長(zhǎng)

53、信號(hào)。 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測(cè)試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無(wú)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測(cè)試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)信號(hào)截?cái)嘈盘?hào)截?cái)唷?4.3.4頻譜泄露與合理取樣頻譜泄露與合理取樣第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析周期延拓信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的：周期延拓信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的：能量泄漏能量泄漏第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 周期延拓后的信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的，下面周期延拓后的信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看這種處理帶來(lái)的誤差情我們就

54、從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看這種處理帶來(lái)的誤差情況。況。 設(shè)有余弦信號(hào)設(shè)有余弦信號(hào)x(t), x(t), 用矩形窗函數(shù)用矩形窗函數(shù)w(t)w(t)與其相乘，與其相乘，得到截?cái)嘈盘?hào)得到截?cái)嘈盘?hào): y: y(t) =x(t)w(t) (t) =x(t)w(t) 將截?cái)嘈盘?hào)譜將截?cái)嘈盘?hào)譜 X XT T()()與原始信號(hào)譜與原始信號(hào)譜X()X()相相比較可知，它已不是原比較可知，它已不是原來(lái)的兩條譜線，而是兩來(lái)的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜段振蕩的連續(xù)譜. . 原來(lái)原來(lái)集中在集中在f0f0處的能量被分處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱(chēng)之為去了，這種現(xiàn)象稱(chēng)之為頻譜能量泄漏。頻譜能

55、量泄漏。第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 1. 1.加窗取樣加窗取樣其余02/2/1,1wcwccwtttttttt對(duì)信號(hào)對(duì)信號(hào)x(t)x(t)進(jìn)行有限長(zhǎng)截取相當(dāng)于將其與一個(gè)在截取區(qū)進(jìn)行有限長(zhǎng)截取相當(dāng)于將其與一個(gè)在截取區(qū)間以外恒為間以外恒為0 0的窗函數(shù)的窗函數(shù)w(t,tw,tc)w(t,tw,tc)相乘，形成另一個(gè)信相乘，形成另一個(gè)信號(hào)。即號(hào)。即 cwwttttxtx,)(相應(yīng)計(jì)算結(jié)果實(shí)際是此相應(yīng)計(jì)算結(jié)果實(shí)際是此xw(t)xw(t)的頻譜。的頻譜。圖圖4-39(a)4-39(a)直接截取的窗函數(shù)波形呈矩形，稱(chēng)為矩形窗直接截取的窗函數(shù)波形呈矩形，稱(chēng)為矩形窗圖圖4-39(a)

56、4-39(a)第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù)(window function) (window function) 1 1）矩形窗）矩形窗 矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過(guò)了矩形窗。矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過(guò)了矩形窗。 這種窗的優(yōu)點(diǎn)是這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中主瓣比較集中，缺點(diǎn)是，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。 第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析2 2）三角窗）三角窗 三角窗與矩形窗比較

57、，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無(wú)負(fù)旁瓣但旁瓣小，而且無(wú)負(fù)旁瓣 第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析3 3）漢寧窗）漢寧窗從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。力下降。（插入：能量泄漏仿真實(shí)驗(yàn)） 第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析常用窗函數(shù)常用窗函數(shù) 對(duì)于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄

58、而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比。 第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 2. 2.截尾取樣截尾取樣其余01),(1bbttttc其余0/cos46. 054. 01,4wbwbbwbtttttttttttc 對(duì)于初始變化幅度較大的有始信號(hào)，一般應(yīng)采用半對(duì)于初始變化幅度較大的有始信號(hào)，一般應(yīng)采用半邊窗截尾，即原樣保持起始的信號(hào)波形，以盡量減小泄邊窗截尾，即原樣保持起始的信號(hào)波形，以盡量減小泄露效應(yīng)。露效應(yīng)。矩形截尾函數(shù)矩形截尾函

59、數(shù)三角形截尾函數(shù)三角形截尾函數(shù)升余弦形截尾函數(shù)升余弦形截尾函數(shù)其余0/cos5 . 05 . 01,3wbbwbbwbttttttttttttc其余0/ )(11,2wbbwbbwbttttttttttttc改進(jìn)升余弦改進(jìn)升余弦形截尾函數(shù)形截尾函數(shù)第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析 3. 3.補(bǔ)尾取樣補(bǔ)尾取樣bttcwtxtx,)()(11 fCfXfX1 對(duì)于延續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的有始信號(hào)對(duì)于延續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的有始信號(hào)x(t),x(t),一種有效抑制頻一種有效抑制頻譜泄露的取樣辦法是，以合適的取樣長(zhǎng)度矩形截尾，得譜泄露的取樣辦法是，以合適的取樣長(zhǎng)度矩形截尾，得 然后根據(jù)截尾前信號(hào)的變化

60、趨勢(shì)，選擇合適的函數(shù)然后根據(jù)截尾前信號(hào)的變化趨勢(shì)，選擇合適的函數(shù)形式，通過(guò)對(duì)截尾前一段信號(hào)的形式，通過(guò)對(duì)截尾前一段信號(hào)的回歸分析回歸分析，估計(jì)出截，估計(jì)出截尾點(diǎn)后信號(hào)變化的一個(gè)可解析求取頻譜的近似表達(dá)式尾點(diǎn)后信號(hào)變化的一個(gè)可解析求取頻譜的近似表達(dá)式c(t),c(t),得到得到 式中，式中，X1(f)X1(f)由數(shù)字計(jì)算得到，而由數(shù)字計(jì)算得到，而C(f)C(f)由解析求取。由解析求取。 tctxtx1 從而可以得到信號(hào)的頻譜為從而可以得到信號(hào)的頻譜為第第4 4章章 測(cè)試信號(hào)的頻譜分析測(cè)試信號(hào)的頻譜分析12)()(ftjefYfX1.1.信號(hào)時(shí)移預(yù)處理信號(hào)時(shí)移預(yù)處理對(duì)圖對(duì)圖4-464-46所示起點(diǎn)