天津?qū)W大教育信息咨詢有限公司八年級上學期數(shù)學寒假課程學案平行四邊形初步

1、第五講平行四邊形初步第一部分知識梳理一、平行四邊形的性質(zhì)1 .兩組對邊分別的四邊形叫做平行四邊形.它用符號“匚裴示，平行四邊形ABCD記作。2 .平行四邊形的兩組對邊分別且;平行四邊形的兩組對角分別兩鄰角；平行四邊形的對角線；平行四邊形的面積=底邊長X.3 .在DABCD中，若/A-ZB=40°,則/A=,ZB=.4 .若平行四邊形周長為54cm,兩鄰邊之差為5cm,則這兩邊的長度分別為.5 .若DABCD的對角線AC平分/DAB,則對角線AC與BD的位置關(guān)系是.6 .如圖，DABCD中，CE±AB,垂足為E,如果/A=115°,則/BCE=.7 .如圖，在DAB

2、CD中，DB=DC、/A=65°,CEBD于E,則/BCE=二、平行四邊形的判定1 .平行四邊形的判定方法有：從邊的條件有：兩組對邊的四邊形是平行四邊形；兩組對邊的四邊形是平行四邊形；一組對邊的四邊形是平行四邊形.從對角線的條件有：兩條對角線的四邊形是平行四邊形.從角的條件有：兩組對角的四邊形是平行四邊形.注意：一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.（填定”或不一定”）第二部分例題與解題思路方法歸納知識點一平行四邊形的性質(zhì)例題1如圖，在平彳T四邊形ABCD中，E為BC中點，AE的延長線與DC的延長線相交于點F.(1)證明：/DFA=/FAB;(2)證明：ABEFCE.ABR

3、選題意圖1此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的證明，使學生能夠靈活運用平行四邊形知識解決有關(guān)問題.R解題思路1(1)利用平行四邊形的兩組對邊分別平行即可得到兩角相等；(2)利用上題證得的結(jié)論及平行四邊形對邊相等即可證明兩三角形全等.R參考答案1證明：(1)二.在平行四邊形ABCD中，.DF/AB,/DFA=/FAB;2 2)E為BC中點，.EC=EB,在那BE與4FCE中，ABEAFCE.【課堂訓練題】1 .如圖，在？ABCD中，E為BC的中點，連接DE.延長DE交AB的延長線于點F.求證:AB=BF.ABR參考答案1解：由ABCD是平行四邊形得AB/CD,CDE=ZF,ZC=Z

4、EBF.又E為BC的中點，.DECAFEB,.DC=FB.又AB=CD,.AB=BF.2 .如圖，在平行四邊形ABCD中，/BAD=32°.分別以BC、CD為邊向外作ABCE和4DCF,使BE=BC,DF=DC,/EBC=/CDF,延長AB交邊EC于點G,點G在E、C兩點之間，連接AE、AF.(1)求證：AABEFDA;(2)當AEXAF時，求/EBG的度數(shù).R參考答案1證明：(1)在平行四邊形ABCD中，AB=DC,又DF=DC,.AB=DF.同理EB=AD.在平行四邊形ABCD中，/ABC=/ADC,又./EBC=/CDF,./ABE=ZADF.ABEAFDA.(2) .ABEF

5、DA,/AEB=/DAF. ./EBG=ZEAB+ZAEB,/EBG=/DAF+/EAB, .AE±AF,/EAF=90 /BAD=32, /DAF+/EAB=90-32=58°./EBG=58.知識點二平行四邊形的面積相關(guān)【例題2閱讀下面操作過程，回答后面問題：在一次數(shù)學實踐探究活動中，小強過A、C兩點畫直線AC把平行四邊形ABCD分割成兩個部分(如圖(a),小剛過AB、AC的中點畫直線EF,把平行四邊形ABCD也分割成兩個部分(如圖(b);(1)這兩種分割方法中面積之間的關(guān)系為：SiS2,S3S4;(2)根據(jù)這兩位同學的分割方法，你認為把平行四邊形分割成滿足以上面積關(guān)系

6、的直線有條，請在圖(c)的平行四邊形中畫出一種；(3)由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？1) R選題意圖1平行四邊形的兩條對角線交于一點，這個點是平行四邊形的中心，也是兩條對角線的中點，經(jīng)過中心的任意一條直線可將平行四邊形分成完全重合的兩個圖形.R解題思路1(1)都是相等關(guān)系，因為AC,EF都經(jīng)過平行四邊形的對稱中心，故分得的兩部分的面積相等；(2)有無數(shù)條，因為經(jīng)過對稱中心的直線有無數(shù)條；(3)經(jīng)過平行四邊形對稱中心的直線把平行四邊形的面積分成相等的兩份.R參考答案1解：(1)&=S2,&=S4；(2)無數(shù)，如圖，所以直線過O即可；(3)經(jīng)過平行四邊形對稱中心的任意直線，

7、都可以把平行四邊形分成滿足條件的圖形.【課堂訓練題】1 .已知平行四邊形ABCD的周長為36cm,過D作AB,BC邊上的高DE、DF,且cm,求平行四邊形ABCD的面積.AR參考答案1解：設(shè)AB=x,則BC=18x,由AB?DE=BC?DF代入數(shù)值得：，解之x=10,所以平行四邊形ABCD的面積為.2 .如圖，在平行四邊形ABCD中，EF/BC,GH/AB,EF、GH的交點P在BD上。圖中有對四邊形面積相等；他們是,.0HCR參考答案1二在平行四邊形ABCD中，BD是對角線SAABD=SZDBC，SSEP=Szbhp，S/qpd=Szdpf，讓最大的三角形面積減去其他兩個小三角形面積可得：S?

8、aepg=S?phcf,者B力口上S?ebhp可得S?ABHG=S?EBCF,都加上S?gpfd可得：S?aefd=S?cdgh.S四邊形abpg=SaabdSzGPD=SABCDSapfd=S四邊形CBPF；S四邊形ADPE=SZABDSAEPB=SZCBDSZHPB=S四邊形CDPH，圖中有3對四邊形面積相等，即：S?AEPG=S?PHCF、S?ABHG=S?EBCF、S?AEFD=S?CDGH.3.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過O點作直線EF分別交BC、AD于E、F.(1)求證：BE=DF;(2)若AC,EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出E點的位

9、置，并說明理由.BEGR參考答案1證明：(1)在平行四邊形ABCD中，1.AD/BC,1=72,/3=74,又AO=CO,AOFACOE.AF=CE.又AD=BC,.AD-AF=BC-BE,即BE=DF.(2)答：當E點與B點重合時，EF將平行四邊形ABCD分成的四個部分的面積相等.理由：由那BO與9OD等底同高可知面積相等，同理，祥BO與BOC的面積相等，從而易知所分成的四個三角形面積相等.知識點三兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義法）【例題3】已知：如圖，/1=Z2,BE/MF,EF/AB,求證：AF=BM.R選題意圖1本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判

10、定定理.能夠把兩條不相關(guān)的直線通過等效轉(zhuǎn)化建立聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.R解題思路1由BE/MF,EF/AB,可判斷四邊形BMEF為平行四邊形，再根據(jù)同位角求出/2=/AEF,即可得出結(jié)論.R參考答案證明：BE/MF,EF/AB,四邊形BMEF為平行四邊形，BM=EF,.EF/AB,EFC=/1+/2.又/EFC=Z2+ZAEF,./AEF=Z1=/2,.AF=EF,即AF=BM.【課堂訓練題】1.（20110匕京）如圖，在那BC中，/ACB=90°,D是BC的中點，DEBC,CE/AD,若AC=2,CE=4,求四邊形ACEB的周長.R參考答案解：/ACB=90,DEXBC,.AC/DE.又

11、CE/AD,四邊形ACED是平行四邊形.DE=AC=2.在RtAADE中，由勾股定理得CD=2.D是BC的中點，BC=2CD=4.在4ABC中，/ACB=90,由勾股定理得AB=2.,.D是BC的中點，DELBC,EB=EC=4.，四邊形ACEB的周長=AC+CE+EB+BA=10+2.2.等腰AABC中，AB=AC,D為BC上的一動點，DE/AC,DF/AB,貝UDE+DF是否隨D點變化而變化？若不變化，請證明.R參考答案解：DE+DF不隨D點變化而變化.理由是：.DE/AC,DF/AB，四邊形AEDF是平形四邊形，/FDC=/BDE=AF.AB=AC./B=ZC/FDC=/C.FD=FCD

12、E+DF=AF+FC=AC知識點四兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形例題4如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE±BD,CFXBD,垂足分別為E、F,BG±AC,DHXAC,垂足分別為G、H.判斷四邊形GEHF的形狀，并說明理由.R選題意圖本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定.平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.R解題思路力求出四邊形GEHF的兩組對邊相等，即可判定其為平行四邊形.R參考答案解：四邊形GEHF為平行四邊形.在平行四邊形ABCD中， .AE±BD,CFXBD,即為兩個三角形的高， .A

13、E/CF且AE=CF,進而可得ACFHAAEG, .GE=FH,同理，GF=EH,，可得四邊形GEHF為平行四邊形.【課堂訓練題】1.如圖，以AABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形，即那BD、ABCE>那CF,請說明四邊形ADEF是什么四邊形；R參考答案解：四邊形ADEF是平行四邊形.理由：,ABD,AEBC都是等邊三角形.AD=BD=AB,BC=BE=EC/DBA=/EBC=60/DBE+/EBA=/ABC+/EBA./DBE=/ABC.在4DBE和祥BC中BD=BA/DBE=/ABCBE=BC,.DBEAABC.DE=AC.又ACF是等邊三角形，.AC=AF.DE=AF.

14、同理可證：AD=EF,四邊形ADEF平行四邊形.知識點五對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【例題5已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF經(jīng)過點O并且分別和AB,CD相交于點E,F,點G,H分別為OA,OC的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.R選題意圖1此題主要考查平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.R解題思路1要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證OG=OH,OE=OF,可分別由四邊形ABCD是平行四邊形和AOEBAOFD得出.R參考答案1證明：如答圖所示， 點O為平行四邊形ABCD對角線AC,BD的交點， .OA=OC,OB=OD.G,H分

15、別為OA,OC的中點， .OG=OA,OH=OC, .OG=OH.也ti又AB/CD,Z1=/2.在AOEB和AOED中,Z1=Z2,OB=OD,/3=Z4,OEBAOFD,，OE=OF.，四邊形EHFG為平行四邊形.【課堂訓練題】1.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,直線EF經(jīng)過點O,分別與AB,CD的延長線交于點E,F.求證：四邊形AECF是平行四邊形.R參考答案證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OD=OB,OA=OC.AB/CD/DFO=/BEO,/FDO=/EBO.FDOAEBO.OF=OE四邊形AECF是平行四邊形2.如圖，在平行四邊形ABCD中，BELAC,DFXAC,E

16、,F分別為垂足，試說明四邊形BEDF是平行四邊形.R參考答案證明：ABCD是平行四邊形，.AD=BC,/DAF=BCE,OB=OD,OA=OC.BELAC,DFXAC,/AFD=/CEB=90.ADFACBE(AAS).AF=CE.OE=OF.四邊形BEDF是平行四邊形.知識點六一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例題6如圖，已知那BC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，/EFB=60,DC=EF.(1)求證：四邊形EFCD是平行四邊形;(2)若BF=EF,求證AE=AD.R選題意圖此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的

17、性質(zhì)證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.R解題思路(1)由小BC是等邊三角形得到/B=60°,而/EFB=60,由此可以證明EF/DC,而DC=EF,然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；(2)如圖，連接BE,由BF=EF,/EFB=60可以推出AEFB是等邊三角形，然后得到EB=EF,/EBF=60,而DC=EF,由此得到EB=DC,又祥BC是等邊三角形，所以得到/ACB=60°,AB=AC,然后即可證明AAEBADC,利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD.R參考答案證明：(1).ABC是等邊三角形，/ABC=60, /EFB=60, ./ABC=/EFB

18、, .EF/DC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)， DC=EF, 四邊形EFCD是平行四邊形;(2)證明：連接BE BF=EF,/EFB=60, .EFB是等邊三角形，EB=EF,/EBF=60 DC=EF,.EB=DC,.ABC是等邊三角形，/ACB=60,AB=AC,/EBF=/ACB,AEBAADC,.AE=AD.【課堂訓練題】1.如圖，已知在？ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF,點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH,連接GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形.R參考答案1證明：四邊形ABCD是平行四邊形,.AB=CD,AB/CD. ./GBE=Z

19、HDF.又.AG=CH, .BG=DH.又BE=DF,GBEAHDF.GE=HF,/GEB=/HFD. ./GEF=ZHFE. .GE/HF.四邊形GEHF是平行四邊形.2.如圖，在RtAABC中，/BAC=90°,E,F分別是BC,AC的中點，延長BA到點D,使AD=AB,連接DE,DF.(1)求證：AF與DE互相平分；(2)若BC=4,求DF的長.R參考答案1證明：（1）連接EF,AE. 在RtAABC中，點E是BC的中點，EF=AB.X/AD=AB,EF=AD.又EF/AD, 四邊形AEFD是平行四邊形. AF與DE互相平分.中,(2)在RtAABC .E為BC的中點，BC=4

20、,.AE=BC=2.又四邊形AEFD是平行四邊形,DF=AE=2.第三部分課后自我檢測試卷A類試題：1 .在下面的格點圖中，以格點為頂點，你能畫出多少個平行四邊形？2 .如圖所示，那BC中，/ACB=90°,AC的垂直平分線DE交AC于D,交AB于E,點F在BC的延長線上，且/CDF=/A,求證：四邊形DECF是平行四邊形.3 .如圖，分別延長？ABCD的邊BA、DC至U點E、H,使得AE=AB,CH=CD,連接EH,分別交AD、BC于點F、G.求證：AEFCHG.4 .如圖，分別以RtAABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊評CD,等邊評BE.已知ZBAC=30,EFXAB,垂足為

21、F,連接DF.(1)試說明AC=EF;(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形.5 .?ABCD的對角線相交于點，直線EF過點O分別交BC、AD于點E、F,G、H分別為OB、OD的中點，四邊形GEHF是平行四邊形嗎？為什么？B類試題：6 .如圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)任一點P作各邊的平行線分別交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H.求證：S平行四邊形ABCDS平行四邊形AEPH=2S/afg7 .如圖所示，在四邊形ABCD中，AD/CB,且AD>BC,BC=6cm,動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C向B運動，則秒后四邊形ABQP為平

22、行四邊形.8 .如圖，是某尋寶示意圖，F(xiàn)為寶藏所在.AF/BC,EC±BC,BA/DE,BD/AE.甲、乙兩人同時從B出發(fā).甲路線是B-A-E-F;乙路線是B-D-C-F.假設(shè)兩人尋找速度與途中耽誤時間相同，那么誰先找到寶藏.請說明理由.C類試題:9 .如圖，在AABC中，a、b、c分別為/A、/B、ZC的對邊，且2bva+c,求證：2/Bv/A+/C.10 .如圖，那BC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊AADE,過點C作CF/DE交AB于點F.（1）若點D是BC邊的中點（如圖），求證：EF=CD;（2）在（1）的條件下直接寫出AAEF和祥BC的面積比；（3）若點

23、D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由.課后自我檢測試卷參考答案A類試題:1 .解：3個，如圖2 .證明：DE，AC,/ACB=90°,.DE/FC.又./CDF=/A,AD=DC,ZADE=ZACF=90,ADEADCF.DE=FC.四邊形DECF是平行四邊形.3.證明：在？ABCD中，AB/CD,AB=CD,.E=/H,/EAF=ZD,.AD/BC,/EAF=/HCG,.AE=AB,CH=CD,.AE=CH,AEFACHG(ASA).4.證明：(1)RtAABC中，/BAC=30°,.AB=2B

24、C,又“BE是等邊三角形，EFXAB,/AEF=30.AE=2AF,且AB=2AF,.AF=CB,而/ACB=/AFE=90AFEABCA,.AC=EF;(2)由(1)知道AC=EF,而“CD是等邊三角形，.ZDAC=60EF=AC=AD,且ADLAB,而EFXAB,EF/AD,四邊形ADFE是平行四邊形.5.解：四邊形GEHF是平行四邊形；理由如下:四邊形ABCD為平行四邊形，BO=DO,AD=BC且AD/BC./ADO=/CBO.又./FOD=/EOB,.FODAEOB(ASA).EO=FO.又G、H分別為OB、OD的中點，.GO=HO.四邊形GEHF為平行四邊形.B類試題:6 .證明：Saafg=S平行四邊形一（Saagd+Szgfc+Szabf）,=S平行四邊形一（S平行四邊形aeph+S平行四邊形hpgd+S平行四邊形fpgc+S平行四邊形bepf+S平行四邊形aeph）,二,二,=（S平行四邊形ABCDS平行四邊形AEPH），S平行四邊形ABCDS平行四邊形AEPH=2SaafG7 .解：設(shè)點P由A向D運動t秒，則AP=tcm,CQ=2tcm. BC=6BQ=6-2t若四邊形ABQP為平行四邊形，則須AP平行且等于BQ. -6-2t=t .t=2.2s后四邊形ABQP成為平行四邊形.故答案為2.8.解：延長ED交BC于M,1.BA/DE,BD/AE,A四