外圓內(nèi)方和外方內(nèi)圓

1、教學(xué)內(nèi)容外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方楊冰飛教學(xué)年級六年級課時安排外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方是人教版六年級上冊第五單元圓新增內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了各平面圖形的面積、圓的認識、圓的周長、圓的面積及圓環(huán)的面積的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材的文字和圖片分析，由欣賞古代建筑物的圖片引入，抽象出圖形提出問題：你能求出正方形和圓之間部分的面積嗎？針對圓內(nèi)方的圖形，書上出現(xiàn)分割法，借助圖形直觀幫助學(xué)生突破“圓內(nèi)方”難點。最后，在學(xué)生反思驗證過程中通過推理得到一般性規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)意識。前置學(xué)習(xí)單:L停學(xué)回圈些里面雌的面枳7民中學(xué)過的出面枳與Isl的面枳有仆幺關(guān)熟?海明理由“工O入正方格面枳是小正方形面枳的幾倍娓?你是怎之想的?可畫因表

2、達想法.瞪的功候為Q”米.網(wǎng)胞百存不（）力*.國1晌冏長阡（）介*,回的tfutn是<）中萬分*r占的省良士人正席的冏長（）s（）（比的f見回以保留TI）4,在卜面值皿內(nèi)mu個附大的心陰保姆H世1舊地<.讓別人有咱口做比志么岫山O課前有對學(xué)生進行訪談以及前測，95%的學(xué)生可以看出并且畫圖表達大正方形面積是小正方形面積的2倍。100%的學(xué)生能理解圓的直徑就是正方形的邊長并區(qū)分圓的周長和面積的計算方法。對于畫圓內(nèi)最大的正方形，約50%的學(xué)生利用對折繪制；有30%的學(xué)生利用外切正方形繪制?？梢钥闯?，對于外方內(nèi)圓的面積，學(xué)生已經(jīng)掌握，但是學(xué)生對觀察組合圖形間的關(guān)系經(jīng)驗比較欠缺，認識有限。教

3、學(xué)整體教學(xué)目標(biāo)上限目標(biāo)下限目標(biāo)適合學(xué)生1.結(jié)合具體情通過畫圖、分析、能掌握計算此類圖目標(biāo)境，學(xué)生通過畫圖、推理等活動，在探形面積的方法，并預(yù)設(shè)分析、推理等活動過程探究圓和止力究過程中掌握知識，建立數(shù)學(xué)模型，能準(zhǔn)確計算。形的組合圖形的面積差和面積比的關(guān)系，掌握計算此類圖形面積的方法，并能準(zhǔn)確計算。靈活解決此類圖形計算問題。2、通過數(shù)學(xué)建模的過程，得到一般性結(jié)論，滲透分割法，借助圖形旋轉(zhuǎn)的動態(tài)方式幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。積累活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀，串聯(lián)溝通已有的知識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，能方法遷移，解決類似數(shù)學(xué)問題，可以用動態(tài)的眼光看數(shù)學(xué)圖形

4、。在小組討論，全班交流的過程中，推理出一般性結(jié)論，應(yīng)用結(jié)論，解決簡單的外圓內(nèi)方和外方內(nèi)圓的問題。3、結(jié)合例題滲透傳統(tǒng)文化的教育，通過體驗圖形和生活的聯(lián)系感受數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，提出有價值的數(shù)學(xué)問題體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。教學(xué)重、難點教學(xué)重點：1 .認識外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方的組合圖形的特征2 .掌握此類圖形的面積方法教學(xué)難點：外圓內(nèi)方的組合圖形的特征分析教學(xué)準(zhǔn)備隨堂練習(xí)單，學(xué)習(xí)課件等教學(xué)空間形式°QO*D5JQ,J0C_joq10c1|0beyyULI1:0教學(xué)過程教學(xué)劃、節(jié)教師引領(lǐng)學(xué)生活動特別設(shè)計意圖及目標(biāo)落實情

5、一'、問題導(dǎo)入，明晰課題1.全班學(xué)生分享（一）談話引入，引發(fā)思考交流前測結(jié)果2.學(xué)生交流圓與1.學(xué)生前1.圓與正方1.學(xué)生前測作品呈現(xiàn)正方形的關(guān)系。生1：圓出于矩,測單以及訪談的問題，找到學(xué)生的學(xué)習(xí)L你學(xué)過鵬半面醉的面積明理由。形沒有這樣的特形有親密關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以研究兩者什么自哪即端歿說系同學(xué)們，通過訪談和測試,了解到你們都認為把圓平均分成若干份，可以拼成近似的三角形、梯形、長方形、平行四邊形，都可以推導(dǎo)出圓的面積公式。不能拼成正方形。2 .思考：正方形與圓有什么關(guān)系？3 .小結(jié)：看來正方形和圓也有很親密的關(guān)系。（二）圖片欣賞，揭示課題1.呈現(xiàn)圖片：2,中國建筑中經(jīng)常見到這樣

6、的設(shè)計，這兩個圖有什么相同之處和不同之處？小結(jié)：我們把這樣的設(shè)計分別稱為“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”。點。3.在欣賞中國建筑圖片中，感受正方形與圓組合的圖形的特點：外圓內(nèi)方和外方內(nèi)圓的圖形。4.學(xué)生自主提問生1:兩者面積比的關(guān)系生2:兩者面積差的關(guān)系。板書：外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方的想法：關(guān)于圓與正方形的關(guān)系3.學(xué)生提出與價值的數(shù)學(xué)問題呢？面積不相等，還可以研究面積相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。2.具體的情境創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生抽象出圖形，有前面的積累，可以幫助學(xué)生提出有價值的數(shù)學(xué)問題二、合作交流，探究新知3 .你想研究圓和正方形面積的什么關(guān)系呢？4 .揭示課題：今天

7、我們就一起研究外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方的面積。（一）探究外方內(nèi)圓1.明確問題，正方形和圓之間部分的面積是多少？2.這個問題，你最少rfn知道幾個數(shù)據(jù)？補充條件：圓的半徑是1米3.當(dāng)圓的半徑是r,外方內(nèi)圓的面積差是多少？討論交流。匯報如下打HlvX凱嶂就隹嗦工-菽肝4.反思驗證：r可以表示數(shù)字幾呢？驗證一下，當(dāng)r是1時，面積差成立。（二）探究外圓內(nèi)方1 .呈現(xiàn)學(xué)生外圓內(nèi)方作品2 .說一說，你是怎么畫的？3 .明確問題，正方形和圓之間部分的面積是多少？4 .解決這個問題，你最少需要知道幾個數(shù)據(jù)？5 .挑戰(zhàn)一下，只給一個條件：圓的半徑是1米6 .仔細觀察畫的圖，有什（一）1 .學(xué)生獨立嘗;試，匯報解釋每一

8、步算式的意義。2 .小組討論，交流字母r,外方內(nèi)圓的面積差是多少？3 .過渡到字母時，抽象成推理過程，得到一般性的規(guī)律，學(xué)生在這個過程中積累一般性的問題解決經(jīng)驗。4 .反思驗證，冉由一般性回到特殊性，培療學(xué)生反思嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)習(xí)慣。（二）1.學(xué)生畫法：方法1:利用對折，回兩條互相垂直的直徑，連接交點繪制方法2:利用外切正方形，連接父點繪制。1 .基于學(xué)情前測分析，該問題簡單，學(xué)生已經(jīng)掌握。2 .給小組充分交流的時間，部分思維弱的學(xué)生推理一般化的規(guī)律時，可能不知道怎么表達，多給學(xué)生一些時問自我梳理，同時要不斷鼓勵表達自己的想法。3 .突破重難點時，利用好畫圖過程中的直觀圖，學(xué)1.經(jīng)過觀察、分析、推理

9、獲得一般性的規(guī)律，積累一般性的問題解決經(jīng)驗，反思驗證再由一般性回到特殊性。2.通過學(xué)生的畫圖過程，知道外圓內(nèi)方的畫法，為下面探究小正方形的面積提供直觀圖形，通過學(xué)生的對折方法，可以明顯看出作圖痕跡，根據(jù)痕跡，學(xué)生可以自然地聯(lián)想到分割法和其它方法，進行推理探究，為突破難點提供經(jīng)驗積累和方法。(1)分割成兩個三角形結(jié)合學(xué)生回答課件展示圖(1)圖(2)圖2.學(xué)生觀察畫的圖，根據(jù)痕跡，學(xué)生可以自然地聯(lián)想到分割法和其它方法。(三)1 .討論交流，分享想法生1:小正方形看成兩個三角形追問：三角形的底和高分別是多少？相當(dāng)于什么？(底和高相當(dāng)于圓的直徑和半徑。)結(jié)合學(xué)生回答課件展示。生2:分割成四個小三角形。

10、追問：每個三角形的底和高各是多少呢？相當(dāng)于什么？(底和高相當(dāng)于圓的半徑。)借助課件，呈現(xiàn)動態(tài)旋轉(zhuǎn)圖，幫助學(xué)生理解切割的三角形的底和高。2 .在多個例子中計算，學(xué)生在匯報中解釋每一步算式的道理，幫生有腳手架。4 .旋轉(zhuǎn)動態(tài)法，也是溝通學(xué)生的知識和經(jīng)驗，動態(tài)看圖。5 .要充分給學(xué)生交流方法和算式的意義的時間，讓學(xué)生在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上去推理，在反思驗證中得到一般化結(jié)論。3.分割的方法可以很好地解決，但是旋轉(zhuǎn)的方法，圓外接大正方形，打開學(xué)生的思維，溝通聯(lián)系之前學(xué)過的知識和經(jīng)驗：如前測的大正方形面積是小正方形面積的2倍，學(xué)生自然可以突破難點，化未知為已知。么發(fā)現(xiàn)？獨立思考后，同桌互相交流。(三)合作交流，深

11、入探究1 .分割法探究外圓內(nèi)方根據(jù)畫法一，想到分割法(2)分割成四個小三角形2.外切大正方形，旋轉(zhuǎn)法根據(jù)畫法二，想到旋轉(zhuǎn)法(3)借助課件，觀察圖1和圖2,有什么相同點和不同點嗎？(1)圖1是怎么變成圖2呢？動畫演示明確：圖1中的圓和小正方形通過旋轉(zhuǎn)得到圖2,圖形形狀大小不變，面積不變。(2)觀察圖2,思考小正方形面積還可以怎么計算？(3)根據(jù)學(xué)生的回答，呈現(xiàn)圖(3)交流匯報如下：三方聿小正方七面。tEf蜒中立3.中方米和怛4HE和,卜匹小(4)改變數(shù)據(jù)，圓的半徑是2、3、4米，計算出外圓內(nèi)方面積差。請任意選擇一個數(shù)據(jù)計算，匯報交流，具體說一說用的是什么方法。(5)當(dāng)圓的半徑是r,外圓內(nèi)方的面積

12、差是多少？討論交流。3.匯報整理，交流驗證(1)分割2個三角形方法2r乂1父222=2/其中，助學(xué)生積累經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。3.學(xué)生通過推理，得到一般性規(guī)律。是三角形的底，I;的角形的高,(2)旋轉(zhuǎn)法*之立方米大田膻:皿田二HI-iI-J.Hr，甲方*由*4011地+IL附立電(3)反思驗證：當(dāng)r=2、3、4,時，成立。(四)認識聯(lián)系，完善脈絡(luò)小結(jié)梳理：它們的面積比分別是多少？I!IMMtl"i*Jn-ftS>.I兒否門肝依而dU4P工學(xué)生梳理知識的敘述，根據(jù)什學(xué)生梳理圓，小么方法知正方形，大正力道的，完善形的面積比的關(guān)脈絡(luò)體系。系腳久.入止方格：國：小正方粉-J!n15J三、應(yīng)用

13、新知，解決生活問題。三、鞏固練習(xí)，強化認識(一)基本過關(guān)t曬方蛾極刑哨痛被!*&*，*隨與內(nèi)卡的初概”T(二)鞏固提高巴川山小小刖#1蚪E十FiJT阿船1好步(三)拓展延伸1 .基礎(chǔ)練習(xí)學(xué)生直接應(yīng)用外圓內(nèi)方面積差的公式，也可以自己用方法推理出。2 .鞏固提高學(xué)生1:通過外面畫出整個大正方形后，可以知道大正方形的面積，通過面積比來算出圓的面積學(xué)生2:小正方形的面積就是1.解決方法多樣，讓學(xué)生能靈活應(yīng)用所學(xué)知識來解決。2.學(xué)生由內(nèi)接正方形與外切大正形面積探究,將方法遷移到正方形的內(nèi)分層練習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。發(fā)散思維，通過圖形不斷地延伸，學(xué)生由欣賞數(shù)學(xué)圖形美上升到數(shù)學(xué)思維美，發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)

14、律，拓展學(xué)生的思維1 .正方形的面積是2平方米，小圓和大圓的面積比是多少？2 .動畫演示：如果不停地回卜去，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？r2推理出圓的回積。3.拓展延伸聯(lián)系比的知識。結(jié)論：止方形的面積從內(nèi)到外依次擴大2倍，圓的面積從內(nèi)到外也是依次擴大2倍。接圓和外接圓的面積探究，并通過圖形不斷地延伸,發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，拓展學(xué)生的思維。四、全課總結(jié)，暢談收獲請看黑板回顧一下，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你肩什么收獲？誰來說一說。學(xué)生自由總結(jié)。談感想，總結(jié)、提升，激發(fā)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的欲望。學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，對知識和方法的梳理，形成系統(tǒng)的知識體系。板書設(shè)計外方內(nèi)圓和外圓內(nèi)方大正方形的面積是4I當(dāng)國的學(xué)經(jīng)是工時.圓的面積是3

15、.1"&小F方形的面積是2r2大止方形：自：小止方招-4:2設(shè)計說明一、基于學(xué)情，以生為本，培養(yǎng)問題能力本堂課的每個環(huán)節(jié)學(xué)生是主體，堅持“以生為本”的教學(xué)理念，根據(jù)前測問題的精心設(shè)計，分析學(xué)情，準(zhǔn)確把握教學(xué)重難點。由數(shù)學(xué)文化，圓出于矩及中國建筑圖片欣賞，抽象出圖形，引發(fā)學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出有價值的數(shù)學(xué)問題的能力，借助幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。二、重視方法，積累經(jīng)驗，尋求解決路徑1 .追本溯源，動手操作搭支架學(xué)生第一次來研究不同圖形間的面積關(guān)系，分析圓和內(nèi)接正方形之間的聯(lián)系是有一定的困難的。追本溯源，圖形是如何產(chǎn)生的？通過動手畫外圓內(nèi)方的過程，學(xué)生借助直觀圖形的作圖痕跡，自然聯(lián)想到分割法。2 .溝通聯(lián)系，動態(tài)眼光看圖形借助旋轉(zhuǎn)的圖形，研究圓內(nèi)方，是在聯(lián)系外切正方形和內(nèi)切正方形的面積關(guān)系，可以很好的轉(zhuǎn)化成前測已經(jīng)解決的問題，串聯(lián)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗來突破難點，并且打開學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味。三、精選習(xí)題，思維提升，體會數(shù)學(xué)的美分層練習(xí)是小班化的特色，在學(xué)生想清和說清的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生進一步內(nèi)化知識，形成扎實的轉(zhuǎn)化，發(fā)展能力，同時體現(xiàn)新課標(biāo)倡導(dǎo)的“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的新理念，我設(shè)計了基礎(chǔ)性練習(xí)、形成性練習(xí)、綜合性的練習(xí)和拓展訓(xùn)練四個層次的