數(shù)值計(jì)算曲線擬合最小二乘法

1、太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系數(shù)值計(jì)算課程設(shè)計(jì)報(bào)告題目 曲線擬合的最小二乘方法 姓名 學(xué)號(hào) 專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 一、問題敘述1、基本知識(shí)回顧當(dāng)已知數(shù)據(jù)量很大且含有誤差時(shí)，作高次多項(xiàng)式的代數(shù)插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數(shù)據(jù)的擬合也是比較常用的。假設(shè)給定一組數(shù)據(jù),設(shè)有 ,其中 是給定的一組函數(shù)，為待定的系數(shù)，顯然我們不能要求所有的點(diǎn)都在函數(shù)定義的曲線上，因此其殘差 ， 通常不為零。成為殘差向量。式中函數(shù)“接近”已知的信息，應(yīng)從某種意義上使殘差向量盡可能小。殘差向量的2-范數(shù)為 它是關(guān)于特定系數(shù)的函數(shù)。極小殘差向量，則要求 ， 經(jīng)過簡單計(jì)算知上式等價(jià)于 它是關(guān)于的線性方程組。將它改寫

2、成矩陣形式 ，則其中的 最簡單的是取函數(shù)為次的多項(xiàng)式，即 ，其中。這時(shí)矩陣，這里 ， ， 當(dāng)比較大時(shí)，是嚴(yán)重病態(tài)的。為驗(yàn)證這一點(diǎn)，將區(qū)間【0,1】等分為個(gè)小區(qū)間，是第個(gè)小區(qū)間中的點(diǎn)。則對(duì)任意的， ，所以矩陣元素（當(dāng)較大時(shí)）近似為 2、簡述問題（1）已知在測量小車（恒速）位移（）和時(shí)間()的關(guān)系時(shí)，測得的數(shù)據(jù)如下： 表1 小車時(shí)間()和位移關(guān)系（）關(guān)系012345678902478912141518（2）對(duì)某日隔兩小時(shí)測一次氣溫。設(shè)時(shí)間為 ,氣溫為，i=0，2 ，4，24。數(shù)據(jù)如下：表2 溫度()隨時(shí)間( )變化關(guān)系0246810121416182022241514141620232827262

3、5221816二、問題分析 當(dāng)已知數(shù)據(jù)量很大且含有誤差時(shí)，作高次多項(xiàng)式的代數(shù)插值顯然是不可行的。除了可用分段插值，特別是樣條插值，數(shù)據(jù)的擬合也是比較常用的。第（1）小題我們從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應(yīng)該是一次直線，我們分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進(jìn)行較.第（2）小題：用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規(guī)律是不可能的也是沒有必要的，但根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，可以用擬合數(shù)據(jù)方法求出近似的解析式子。根據(jù)一天內(nèi)氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項(xiàng)式擬合比較合理。三、程序及實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)首先畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，輸入x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2

4、4 7 8 9 12 14 15 18;subplot(1,2,1);plot(x,y,'o')grid on圖（1）左圖從圖（1）左圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應(yīng)該是一次直線，我分別用三次樣條插值法和最小二乘一次擬合進(jìn)行比較，下面是借Matlab 工具進(jìn)行作圖，圖形圖（1）右圖。其程序如下：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;p=polyfit(x,y,1)x1=0:0.01:9;y1=polyval(p,x1);x2=0:0.01:9;y2=interp1(x,y,x2,'spline

5、9;);subplot(1,2,2);plot(x1,y1,'k',x2,y2,'r')grid onp = 1.9333 0.2000圖（1）右圖(2) 用精確的解析式子描述一天的氣溫變化規(guī)律是不可能的也是沒有必要的，但根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，可以用擬合數(shù)據(jù)方法求出近似的解析式子。根據(jù)一天內(nèi)氣溫的變化趨勢，我們可以看出用三次多項(xiàng)式擬合比較合理。其程序如下：x=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24;y=15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16;plot(x,y,'o');grid onh

6、old onp=polyfit(x,y,3)x1=0:0.01:24;y1=polyval(p,x1);plot(x1,y1,'r')axis(0 24 12 28)p = -0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390圖（2）溫度變化圖四、結(jié)論在圖1左圖是實(shí)際測得的數(shù)據(jù)，右圖中的紅色曲線表示是三次樣條插值法，黑色直線是最小二乘法擬合所得。從圖1比較中我們可以很明顯的看出，插值曲線要求嚴(yán)格通過所給的每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這會(huì)保留所給數(shù)據(jù)的誤差，如果個(gè)別數(shù)據(jù)誤差很大，那么插值效果顯然不好。也就是說我們所給的數(shù)據(jù)本身不一定可靠，但是由于所給的數(shù)據(jù)很多，這就要求從所給的一大堆看

7、上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律來，在這種情況下我們利用最小二乘法擬合可以得到一條曲線(所謂擬合曲線)來反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢，以消除局部的波動(dòng)。圖 2 的圖形可以大致反映該天的天氣變化，如果想知道某一時(shí)刻的大致溫度，我們可以從圖中估計(jì)出來，當(dāng)然也可以利用我們所做數(shù)據(jù)擬合的曲線方程求出大致的溫度。在上面的程序中，運(yùn)行后會(huì)得到p 的值，即為多項(xiàng)式的系數(shù)，由高次向低排列。如本題想要得到17 點(diǎn)的大致溫度，我們可以利用polyval( )函數(shù)，它是求多項(xiàng)式在某一點(diǎn)處的函數(shù)值，其格式為 y=polyval(p,x) 式中，p 是多項(xiàng)式的系數(shù)，y 是擬合多項(xiàng)式在點(diǎn)x 處的值。在本例題中求得 p=-0.0061,0.1474,-0.0246,13.7390, 即擬合的