數(shù)量積向量積混合積

1、第二講授課題目§7. 2數(shù)量積向量積教學(xué)目的與要求1、掌握向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的性質(zhì)；2、掌握向量的向量積的定義及向量積的性質(zhì)；3、掌握向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)：數(shù)量積與向量積的定義及性質(zhì)。2、難點(diǎn)：數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。講授內(nèi)容一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq, ba其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積,記作a

2、×b, 即a·b=|a|b| cosq. 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq=|b|cos(a, b), 當(dāng)a¹0時(shí), |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prjab. 同理, 當(dāng)b¹0時(shí), a·b = |b| Prjba. 這就是說，兩向量的的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積。數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. 這是因?yàn)閵A角=0，所以 a·a=|a| a | cosq=|a| 2.(2) 對于兩個(gè)非零向量a、b,

3、 如果a·b =0, 則ab；反之, 如果ab, 則a·b =0. 這是因?yàn)槿绻鸻·b =0，由于|a| 與|b|均不為零，所以 cosq =0，從而q=，即ab；反之如果ab,那么，cosq =0，于是a·b=|a|b| cosq=0。 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 因此，上述結(jié)論可敘述為：向量ab Û a·b =0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c. (3) (la)

4、83;b =a·(lb) =l(a·b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). (2)的證明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立; 當(dāng)c¹0時(shí), 有(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|PrjcbAcbaCB=a×c+b×c.例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ABC中, BCA=q , |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要證c 2=a 2+b

5、 2-2 ab cos q .記=a, =b, =c, 則有 c=a-b,從而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c 2=a 2+b 2-2 ab cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), 則a·b=axbx+ayby+azbz.提示: 按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i

6、·j +ax bz i·k+aybxj ·i +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a¹0、b¹0時(shí), 有. 提示:a·b=|a|b|cosq. 例2 已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB. 解 從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則ÐA

7、MB就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因?yàn)閍×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動問題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn).有一個(gè)力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處. F與的夾角為q. 由力學(xué)規(guī)定, 力F對支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q, 其

8、中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 根據(jù)向量積的定義,力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1)a´a =0; (2) 對于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (

9、a+b)´c = a´c + b´c. (3)(la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得a´b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´k+

10、azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例3 設(shè)a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 計(jì)算a´b. 解 =2i-j-2k-k-4j-i=i-5j -3k. 例4 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.