無窮級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)講義

1、第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一無窮級(jí)數(shù)收斂的充分條件：數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列收斂；必要條件：.例1：證明級(jí)數(shù)收斂.證：教材第二頁的證明方法（利用cauchy判則）.取數(shù)列的前n項(xiàng)和.當(dāng)時(shí)，= =2單調(diào)遞增且有界，數(shù)列收斂，所以級(jí)數(shù)收斂.例2：研究級(jí)數(shù)的斂散性.解：lim，級(jí)數(shù)發(fā)散.小結(jié)：一般來說，cauchy判則沒有多大的實(shí)用價(jià)值，在證明數(shù)列收斂時(shí)一般不用此法；無窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件的逆否命題也是可以利用.二收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)若級(jí)數(shù)與都收斂，是常數(shù)，則級(jí)數(shù)也是收斂的.在級(jí)數(shù)中改變有限項(xiàng)的值，并不改變級(jí)數(shù)的斂散性.三正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，則稱是正項(xiàng)級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界.（例題參見例1）設(shè)與都是正項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)，若從某項(xiàng)開始有恒成立，則若發(fā)散，則發(fā)散；若收斂，則收斂.（比較判別法）例3：稱為p級(jí)數(shù)，討論它的斂散性.解：證明結(jié)果：當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂.(詳細(xì)證明方法參見書本第六頁)例4：級(jí)數(shù)發(fā)散.例5：收斂.（利用p級(jí)數(shù)）小結(jié)：一般在應(yīng)用比較判別法時(shí)，要用到p級(jí)數(shù).p級(jí)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值很大，請(qǐng)記住它的斂散性.設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，.若，則與同斂散；若，則當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；若，則當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散.例6：收斂.證明:對(duì)于，有，且，由收斂，知收斂.小結(jié)：一般在應(yīng)用這一定理時(shí)，也要介入p級(jí)數(shù)來做比值判別.（cauchy判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).若從某項(xiàng)起， 則收斂；若有無窮多個(gè)n，使得，則發(fā)散.（cauchy判別法

3、的極限形式）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，.當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散.（dAlembert判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).若從某項(xiàng)起 ，則收斂； 若從某項(xiàng)起有，則發(fā)散.（dAlembert判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，.當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散.例7：發(fā)散.例8：收斂.小結(jié)：一般極限形式更容易解決問題.（cauchy積分判別法的極限形式）設(shè)在上有定義，非負(fù)且單調(diào)遞減，則與同斂散.四交錯(cuò)級(jí)數(shù)設(shè)，稱級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).1設(shè)單調(diào)遞減趨于0，則級(jí)數(shù)收斂，且和不大于.例9：收斂.五條件收斂與絕對(duì)收斂稱為的絕對(duì)值級(jí)數(shù)1若收斂，則收斂.若收斂，則稱絕對(duì)收斂；若收斂，發(fā)散，則稱條件收斂.(這是條件收斂與絕對(duì)收斂的定義，同時(shí)可以作為判別方法)例10：絕

4、對(duì)收斂.證：分析只需證明收斂即可.由柯西積分判別法，與廣義積分同斂散.而廣義積分是收斂的（收斂于）.所以收斂.所以絕對(duì)收斂.注意：都是發(fā)散的，但收斂.絕對(duì)收斂，但是與都是條件收斂的，那我能否說用兩個(gè)條件收斂的級(jí)數(shù)的線性組合一定可以表示出一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)？第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)和Taylor展式類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以定義函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).在此我們重點(diǎn)討論時(shí)的情況（）.一冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（Abel引理）如果冪級(jí)數(shù)在處收斂，則當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂;如果冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時(shí)，發(fā)散.下面兩個(gè)定理用來確定冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：如果(),則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.如果，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.例11：求冪級(jí)數(shù)和

5、的收斂半徑.解：，的收斂半徑為1；，的收斂半徑為0.二冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為和，取,則=+在中成立.的收斂半徑為，則和函數(shù)在收斂區(qū)間上連續(xù).對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分或微分，不改變收斂半徑,但有可能該變收斂區(qū)域.例12:求冪級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù).解：顯然，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂域?yàn)槿w實(shí)數(shù).令=，則，即，解得=。注意初始條件.例13：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：令=，則，所以這類問題一般會(huì)涉及到常微分方程的求解三初等函數(shù)的Taylor展開式由Taylor定理知，對(duì)n+1階可導(dǎo)函數(shù)有：如果一個(gè)函數(shù)能夠在處展開成冪級(jí)數(shù)，那么這樣的冪級(jí)數(shù)時(shí)唯一的，為：，這是的Taylor級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)稱為Maclaurin級(jí)數(shù).兩個(gè)重要函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)（必須熟記會(huì)用）.在這兩個(gè)Maclaurin級(jí)數(shù)的幫助下,通過變形、積分、微分、代換等方法可以求出其他比較復(fù)雜的函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)或在指定點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).例14：將在處展開成Taylor級(jí)數(shù).解：.由，知所以若要在處展開，則有如下做法：例15：將展開成Maclaur