三角恒等變換技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角恒等變換技巧三角恒等變換不但在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明三角恒等式中經(jīng)常用到，而且由于通過三角換元可將某些代數(shù)問題化歸為三角問題；立體幾何中的諸多位置關系以其交角來刻畫，最后又以三角問題反映出來；由于參數(shù)方程的建立，又可將解析幾何中的曲線問題歸結為三角問題因此，三角恒等變換在整個高中數(shù)學中涉及面廣是常見的解題“工具”而且由于三角公式眾多方法靈活多變，若能熟練地掌握三角恒等變換，不但能增強對三角公式的記憶，加深對諸多公式內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對發(fā)展學生的邏輯思維能力，提高數(shù)學知識的綜合運用能力都大有裨益 ·一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函數(shù)中的正切、

2、余切、正割、余割都化為正弦和余弦，以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑其實質(zhì)是”歸一”思想【例1】 證明：證明：左邊 右邊左邊右邊原等式得證點評“切割化弦”是將正切、余切、正割、余割函數(shù)均用正弦、余弦函數(shù)表示，這是一種常用的、有效的解題方法當涉及多種名稱的函數(shù)時，常用此法減少函數(shù)的種類【例2】 已知同時滿足，且均不為零，試求“”b 的關系解：顯然，由×+×得：，即又，代入得點評 本例是化弦在解有關問題時的具體運用，其中正割與余弦、余割與正弦之間的倒數(shù)關系是化弦的通徑【例3】 化簡解：原式= 點評 這里除用到化切為弦外，其他化異角函數(shù)為同角函數(shù)等也是常用技巧二、 角的拆變在三角恒

3、等變換中經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化角的關系，在解題過程中必須認真觀察和分析結論中是哪個角，條件中有沒有這些角，哪些角發(fā)生了變化等等因此角的拆變技巧，倍角與半角的相對性等都十分重要，應用也相當廣泛且非常靈活常見的拆變方法有：可變?yōu)?；可變?yōu)?；可變?yōu)椋豢梢暈榈谋督?；可視為的半角等等【?】（2005年全國卷）設為第四象限角，若，則_.解： 又為第四象限角 點評這里將寫成，將寫成是解題的切人點根據(jù)三角表達式的結構特征，尋求它與三角公式間的相互關系是解題的關鍵【例5】已知銳角、滿足，求的最大值及的值。解：又又，等式兩邊同除以得：，即在上是增函數(shù)，故的最大值是，此時點評 已知條件中有和，而待求式中只有，因此可將拆變成已

4、知條件中出現(xiàn)的角即這種常用的拆變技巧要注意掌握【例6】已知，試求解：，由點評 研究已知角與待求式之間角的關系，以確定角的拆變的操作方式是解題的出發(fā)點，此即“變角”技巧的由來【例7】求的值解：設，則=0點評 這里選擇一個適當?shù)慕菫椤盎玖俊?，將其余的角變成某特殊角與這個“基本量”的和差關系，這也是角的拆變技巧之一三、“ 1 ”的代換在三角函數(shù)中，" 1 ”可以變換為 ，等等，根據(jù)解題的需要，適時地將“ 1 ”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法【例8】求的最小值解：當且僅當即時取等號。故所求最小值為 9 .【例9】（ 2004 年全國卷）求函數(shù)最小正周期、最大值和最小值解：所以函數(shù)的最

5、小正周期是，最大值是，最小值是【例10】化簡解：原式=點評“1=”的正用、逆用在三角變換中應用十分廣泛，要靈活掌握除此以外，還經(jīng)常用到： 1 =靈活運用這些等式，可使許多三角函數(shù)問題得到簡化【例11】已知，求的值解：點評這里是 1=tan的運用若直接從已知式中求出tan，再用萬能公式，雖然思路很直觀，但卻導致較復雜的運算四、變通公式對于每一個三角公式，教材中僅給出其基本形式，但我們?nèi)羰煜て渌兺ㄐ问匠？梢蚤_拓解題思路例如，由可變通為與、由，可變通為【例12】（2002·北京春·）在ABC中，已知三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求的值解：三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且A+B+C=

6、，A+C=120由兩角和的正切公式：點評 本例是正切公式變形的運用，在歷年高考題中，曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形運用，讀者要仔細體會【例13】已知，求的值解：點評 若三角函數(shù)式中同時出現(xiàn)，?？捎谩纠?4】證明：證明 由同理：+2×+4×整理得：【例15】證明：證明 左邊= =右邊點評 應用倍角公式的變形公式來處理三角函數(shù)式的積的問題常常是一種很巧妙的解題方法五、升冪與降次分析題目的結構，掌握結構的特點，通過升冪、降次等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，這也是三角變換的重要技巧利用余弦的倍角公式可知，這樣可以用倍、半角公式來升冪（從右到左）和降次（從左到右）【例16】 .已知

7、，求解： 由得原式=點評 遇平方可用“降次”公式，這是常用的解題策略本題中首先化異角為同角，消除角的差異，然后化簡求值關于積化和差、和差化積公式，教材中是以習題形式給出的，望引起重視【例17】 （ 2002 年全國卷）已知，求和的值 解：由得 即 即點評 觀察題設條件和待求的函數(shù)值，會發(fā)現(xiàn)題設條件中為倍角，而待求函數(shù)為單角，所以使用半角公式升冪，并通過因式分解使問題得以迅速解決 【例18】證明：證明 左邊 右邊點評 根據(jù)三倍角公式，有也常用來降次有些數(shù)學競賽題中經(jīng)常用到此技巧方法六、引入輔助角當均不為零時利用（其中為輔助角且滿足）來作變換也是常用方法【例19】 （2005 年遼寧卷）如圖 10

8、一1，在直徑為 1 的圓 O 中，作一關于圓心對稱，鄰邊互相垂直的十字形，其中 y > x > 0 . （）將十字形的面積表示為的函數(shù)； (為何值時，十字形的而積最大？最大面積是多少？解（ I ）設 S 為十字形的面積，依題意有 （）化簡S的表達式其中，當即時，S最大所以，當時，S最大，最大值為點評 在求三角函數(shù)的極值時經(jīng)常通過引人輔助角后利用三角函數(shù)的有界性求解【例20】（200 ，年全國卷）若則（ ）（A） （B） （C） （）解：又在上是增函數(shù)，故選A點評 比較大小，一般可作差比較，但運算量較大這里由于均為型，所以可引入輔助角，這是處理此類問題的常用技巧七、平方消元有時將某些

9、式子平方后再相減（加）可消去一些項，使所求問題變得更簡單明了【例21】（2005年南昌市模擬題）設為銳角，且，求和的值。 解：（1）由，得：+得（2） 又為銳角，點評 本題中將 與 分別平方后再相減消去平方項從而求得的值這是解決此類問題的常用方法，但很多情況下用平方消元并不一定很直觀，大多數(shù)是以隱蔽的形式出現(xiàn)的，應注意發(fā)掘和利用【例22】已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，證明：證明：成等差數(shù)列，將上式平方得：又成等比數(shù)列，代入得故點評 這里是利用平方消去交叉項達到消元目的八、裂項添項跟代數(shù)恒等變換一樣在三泊變換 ，有時適當?shù)貞谩奔右豁椩贉p去這一項” . “乘一項再除以同一項”的方法常能使某些問題巧

10、妙簡捷地得以解決 【 例 23 】 求的值。解：原式點評 本題巧妙地運用“乘一項再除以同一項” 的方法致使其發(fā)生“連鎖反應”，迅速求解 【例24】證明： 證明 左邊右邊點評 本例中采用“加一項再減去這一項”、“乘一項再除以同一項”的方法，其技巧性較強，其目的都是為了便干分解因式進行約分化簡 【例25】求的值解：原式點評 這里根據(jù)題目的特點，各項乘以后，再用積化和差公式巧妙地進行裂項相消，這些技巧均頗具代表性九、設元轉(zhuǎn)化換元法作為一種數(shù)學思想，其應用廣泛，我們第三章已作了專題練習，這里僅就幾種帶典型性的三角恒等變換中的換元予以剖析 【例26】如圖所示，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地，一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在上，相鄰兩邊CQ、CR落在正方形的邊 BC 、 CD 上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值【解析】設，延長RP交AB于M，則，令，則故當時，的最小值為950故當時的最大值為（14050-9000）【評注】引入角，將矩形PQCR的面積表示為的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值，當然變量的引入要"適當"【例27】化簡解：令則即 +得： ，即原式點評 根據(jù)題目的特點，總體設元，然后構造與其相應的對偶式，運用方程的思想來解決三角恒等變換，也是常用的方法，本題也可以