A3-8方程近似解ppt課件

1、三、一般迭代法 (補充) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第八節(jié)的實根求方程0)(xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程的近似解 第三章 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、根的隔離與二分法一、根的隔離與二分法，內(nèi)只有一個根在若方程,0)(baxf內(nèi)嚴格單調(diào)）（在且baxf,)(為則稱,ba.其隔根區(qū)間,0)()(, ,)(bfafbaCxf為隔根區(qū)間,ba(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間的一般方法求隔根區(qū)間的一般方法 ;)(估計隔根區(qū)間的草圖由xfy 轉(zhuǎn)化為等價方程將0)(xfxoy)(xfy xoy.)

2、(, )(的草圖估計隔根區(qū)間由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) 逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實根, )5 . 1, 1 (可轉(zhuǎn)化為.)5 . 1, 1 (即為其隔根區(qū)間,的左端點出發(fā)從區(qū)間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 假設(shè)0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(內(nèi)必有根，則區(qū)間hjajha搜索過程也可從 b 開場 , 取步長 h 0 .xoy213xy 1 xy1a1b2. 二分法二分法，設(shè),)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一個根),(ba取中點，2

3、1ba1，若0)(1f.1即為所求根則，若0)()(1faf, ),(1a則根;,111baa令, ),(1b否則對新的隔根區(qū)間,11ba重復(fù)以上步驟,反復(fù)進行,得,111bba令,11nnbababa的中點若取,nnba則誤差滿足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作為0 n1a1b機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 用二分法求方程用二分法求方程04 . 19 . 01 . 123xxx的近似實根時,要使誤差不超過,103至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 ?解解: 設(shè)設(shè) ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf則9 . 02 .

4、23)(2xxxf)067. 5(0,),()(單調(diào)遞增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故該方程只有一個實根 , 1,0為其一個隔根區(qū)間欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可見只要對分區(qū)間9次 ,即可得滿足要求的實根近似值10(計算結(jié)果見計算結(jié)果見“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”(上冊上冊) P177178)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、牛頓切線法及其變形二、牛頓切線法及其變形:)(滿足xf0)()(,) 1bfafba上連續(xù)在不變號及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(內(nèi)有唯一的實根在方程baxf有如下四種情況:x

5、bayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標(biāo)與)(xf 同號的端點為,)(,(00 xfx用切線近似代替曲線弧求方y(tǒng)xbao1x0 x在此點作切線 ,其方程為)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它與 x 軸的交點, )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在點)(,(11xfx作切線 , 可得近似根.2x如此繼續(xù)下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x稱為牛頓迭代公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 牛頓法的誤差

6、估計牛頓法的誤差估計:)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之間與在nx,0)(f)()(fxfxnn,0則得mxfxnn)(說明說明: 用牛頓法時用牛頓法時,若過縱坐標(biāo)與)(xf 異號的端點作切線 ,則切線與 x 軸焦點的橫坐標(biāo)未必在.,內(nèi)ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(min,xfmba記牛頓法的變形牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法簡化牛頓法若用一常數(shù)代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n優(yōu)點

7、:，避免每次計算)(1nxf因而節(jié)省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxo0 x1x(2) 割線法割線法為避免求導(dǎo)運算 , )(1nxf用割線代替切線,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商替代從而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(雙點割線法), 3,2(n特點特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法但慢于牛頓法.說明說明: 若將上式中若將上式中,02xxn換為則為單點割線法, 迫近根的速度與簡化牛頓法相當(dāng).機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 用切線

8、法求方程用切線法求方程074223xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01 .解解:.742)(23xxxxf設(shè)yxo3 4由草圖可見方程有唯一的正實根 , 且9)4(,10)3(ff.43為一隔根區(qū)間，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不夠故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(221

9、1042. 001. 0004. 0因此得滿足精度要求的近似解63. 3機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三三. 一般迭代法一般迭代法(補充), )(0)(xxxf 轉(zhuǎn)化為等價方程將方程在隔根區(qū),0 x間內(nèi)任取一點按遞推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成數(shù)列,limnnx若那么 即為原方程的根 .稱為迭代格式 ,)(稱為迭代函數(shù)x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nnx初值 .否則稱為發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 用迭代法求方程用迭代法求方程.2, 1 013內(nèi)的實根在 xx解法解法1 將方程變形為將方程變形為, 13 xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903發(fā)散 !解法解法2 將方程變形為將方程變形為,13xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收斂 , 1.32472 為計算精度范圍內(nèi)的所求根 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理. :,)(上滿足在區(qū)間方程baxxbxaxx)()(1且，連續(xù)）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的