復變函數(shù)與積分變換第五章11

1、Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform第五章第五章 留數(shù)及其應用留數(shù)及其應用5.1 5.1 孤立奇點孤立奇點5.2 5.2 留數(shù)留數(shù)5.3 5.3 留數(shù)在定積分計算上的應用留數(shù)在定積分計算上的應用Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 5.1 5.1 孤立奇點孤立奇點 函數(shù)不解析的點稱為奇點.如果函數(shù) f (z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0|z-

2、z0|d內(nèi)處處解析, 則z0稱為f (z)的孤立奇點.11e0.zzz例如函數(shù)和都以為孤立奇點函數(shù)的奇點并非都是孤立的. 例如 z=0 是函數(shù) 1( )sin 1f zz的非孤立奇點。換句話說, 在 z=0 的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有 f (z)的奇點存在. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 將函數(shù) f (z)在其孤立奇點z0的去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式中所含負冪項的不同情況對孤立奇點分類如下：1. 可去奇點 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負

3、冪項, 則稱孤立奇點z0為 f (z)的可去奇點. f f( (z z)=)=c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c cn n( (z z- -z z0 0) )n n +.,0|+.,0|z z- -z z0 0|d d 則在圓域|z-z0|d內(nèi)恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而 f (z)在z0點也解析.故z0稱為可去奇點.00000lim( ),lim( )zzzzf zcf zcf z顯然可補充定義Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis a

4、nd Integral Transform3524sin00sin11111()13!5!3!5!sin.01,sin0.zzzzzzzzzzzzzzzzzz 例如 是的可去奇點。因為函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中不含負冪項如果定義在 的值為則在點便為解析的了Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform2. 2. 極點極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z z- -z z0 0的負冪項的負冪項, , 且其中關(guān)于且其中關(guān)于( (z z- -z z0 0) )-

5、1-1的最高冪為的最高冪為 ( (z z- -z z0 0) )- -m m, , 即即f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m +.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ + c c1 1( (z z- -z z0 0)+.()+.(m m 1, 1, c c- -m m 0),0),則稱孤立奇點則稱孤立奇點z z0 0為函數(shù)為函數(shù) f f ( (z z) )的的m m階極點階極點. . 上式也可寫成上式也可寫成: :01( )(

6、)*( -)mf zg zz z， （ ） 其中其中 g g ( (z z) = ) = c c- -m m+ + c c- -m m+1+1( (z z- -z z0 0) + ) + c c- -m m+2+2( (z z- -z z0 0) )2 2 +., +., 在在 | |z z- -z z0 0|d d 內(nèi)是解析的函數(shù)內(nèi)是解析的函數(shù), , 且且 g g ( (z z0 0) ) 0 . 0 . 反過來反過來, , 當任何一個函數(shù)當任何一個函數(shù) f f ( (z z) ) 能表示為能表示為( (* *) )的形式的形式, , 且且g g ( (z z0 0) ) 0 0 時時, ,

7、 則則z z0 0是是 f f ( (z z) )的的m m階極點階極點. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform如果如果z z0 0為為 f f( (z z) )的極點的極點, , 由由( (* *) )式知式知0lim( ).zzf z 232,( ),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例如 對有理分式函數(shù)是它的三階極點是它的一階極點310zezz思考：是的幾階極點？(展洛朗級數(shù)判)0( )zf zm為的 階極點0lim( )().zzf z ， 不存在但為01( )

8、( )( -)mf zg zz zComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為 f (z)的本性奇點.1112( )0.1112!znzf zezezzzn 例如以為它的本性奇點 因為有無窮多負冪項。0( )zf z為的本性奇點0lim( )().zzf z不存在 也不為0limz1z例如e 不存在且不為 .Complex Analysis and Integral TransformComplex Ana

9、lysis and Integral Transform綜上所述:000000( )lim( );( )lim( );( )lim( ).zzzzzzzf zf zzf zf zzf zf z 如果 為的可去奇點存在且有限如果 為的極點如果 為的本性奇點不存在且不為我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform4.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 例如當f(z)=z(z-1)3時,z=0與z

10、=1是它的一階與三階零點. 根據(jù)這個定義, 我們可以得到以下結(jié)論:設(shè)f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m階零點的充要條件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1),f (m)(z0)0 . 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m為某一正整數(shù), 則z0稱為f(z)的m階零點.0mf zzzz（ ）（）（ ）z（ ）0z（ ） 0Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 因為, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的鄰域展開為泰

11、勒級數(shù): f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易證 z0是 f (z)的m階零點的充要條件是前m項系數(shù) c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 等價于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。 例如 z=1是f (z)=z31的零點, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 從而知z=1是f (z)的一階零點. 0mf zzzz（ ）（）（ ）Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform000001|()|

12、,|,211|( )()|()|,|( )|()|.22zzzzzzzz必存在當時 有由此得 所以 在z0的去心鄰域內(nèi)不為零, 即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.0mf zzzz（ ）（）（ ） 由于 中的 在z0解析, 且 故 必在z0連續(xù), 所以給定0mf zzzz（ ）（）（ ）z（ ）0z（ ） 0z（ ）Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform該定理為判斷函數(shù)的極點提供了更為簡單的判別方法.001( )( )zf zmzmf z定理： 是的 階極點是的 階零點1284

13、推論 及推論 見教材PComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform! 211)(11mzzzzfmn01zn為階極點.)0(12keikzz的一階零點為2( )(0).zk if zk為的一階極點( )(0)1nzzf zne例2求的極點。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例3 3為解析點；0:0zm為可去奇點；0:1zm)!1(! 21)(:112mzmzzz

14、zzfmmmm)!1(!11! 21111mzmzzmm01zm為階極點。mzzezf1)(對對 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的性態(tài)。處的性態(tài)。mZ0z Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform5.2 5.2 留數(shù)留數(shù)1.1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)f f( (z z) )在在z z0 0的鄰域的鄰域D D內(nèi)解析內(nèi)解析, ,那么根據(jù)柯西積分定理那么根據(jù)柯西積分定理( )0.Cf z dz ( )Cf z dz 但是, 如果z0為f(z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的

15、某個去心鄰域 0|z-z0|R 內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分 未必再等于零.(先回顧P40例3.1.1)Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform.2d)(1iczzfC兩端沿C逐項積分:1010010nnf zcz zcz zcc z z（）（）（）（）00 | |nnc z zzR+（）， 1LaurentC即是積分過程中唯一殘留下來的系數(shù),為此1( )2Cf z dzi 定義定義 0000()( ),0 |,zzf zCzzz 設(shè)是的孤立奇點為去心鄰域內(nèi)任一條圍

16、繞 的正向簡單閉曲線 則稱積分Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformDz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點 z1, z2, .,zn 外處處解析. C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則1( )d2Res ( ),.nkkCf zzif z z0001()R es(),1R es(),()2Cfzzfzzfzzfz d zci為在的 留 數(shù) ， 記 作， 即2.留數(shù)定理留數(shù)定理Complex Analysis and Inte

17、gral TransformComplex Analysis and Integral Transform證明證明 把C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據(jù)復合閉路定理有12( )d( )( )( ).nCCCCf zzf z dzf z dzf z dz121( )dRes ( ),Res ( ),Res ( ),2nCf zzf z zf z zf z zi1( )d2Res ( ),.nkkCf zzif zz即注意檢查定理中的條件要滿足。例如211lnzdzz求積分不能應用留數(shù)定理。Complex Analysis and Integr

18、al TransformComplex Analysis and Integral Transform 求函數(shù)在孤立奇點z0處的留數(shù)就是求它在去心鄰域內(nèi)所展洛朗級數(shù)中(z-z0)-1 項的系數(shù) c-1 即可. 但如果知道奇點的類型, 對求留數(shù)會更有利. 如果z0是f (z)的可去奇點, 則Resf(z),z0=0 . 如果z0 是本性奇點, 則只好將其展開成洛朗級數(shù). 如果z0 是極點, 則有如下規(guī)則:Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3. (3. (極點極點) )留數(shù)的計

19、算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z010011Res ( ),lim()( )(1)!mmmzzdf z zzzf zmdz規(guī)則規(guī)則2 2 如果如果z z0 0為為f f(z)(z)的的m m階極點階極點, , 則則事實上事實上, , 由于由于f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m+.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.,)+.,

20、( (z z- -z z0 0) )m m f f( (z z)=)=c c- -m m+ +c c- -m m +1+1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c c-1-1( (z z- -z z0 0) )m m-1-1+ +c c0 0( (z z- -z z0 0) )m m+.,+.,規(guī)則規(guī)則1 1 如果如果z z0 0為為f f (z)(z)的一階極點的一階極點, , 則則Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform101001()( )(1)!(1)3 2()m

21、mmdzzf zmcc m mzzdz令令 z zz z0 0, ,右端的極限是右端的極限是( (m m-1)!-1)!c c-1-1, ,兩端除以兩端除以( (m m-1)!-1)!就是就是ResResf f( (z z),),z z0 0,即得即得規(guī)則規(guī)則2 2, ,當當 m m=1=1時就是時就是規(guī)則規(guī)則1 1。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and In

22、tegral Transform由規(guī)則 1,000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z,而 Q(z0)=0. 所以 0000000( )lim() ( )lim( )()zzzzP zP zzzf zQ zQ zQ zzz, 即得 規(guī)則規(guī)則3 3。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 1 計算積分21zCzedzz , C 為正向圓周|z|=2. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analys

23、is and Integral Transform由規(guī)則1, 得211eeeRes ( ),1lim(1)lim112zzzzzzf zzzz1211eeeRes ( ), 1lim(1)lim.112zzzzzzf zzzz12eeed2 ()2 ch1122zCzziiz因此我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):111eeeeRes ( ),1;Res ( ), 1.2222|zzzzzzf zf zzz比用規(guī)則比用規(guī)則1 1更簡單更簡單! !Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例

24、 2 計算積分41Czdzz , C 為正向圓周|z|=2. ),(Res),(Res 1),(Res 1),(Res2d14izfizfzfzfizzzC. 324( )11111,2 ()0.( )4414444CP zzzdziQ zzzz由規(guī)則3故Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 3 計算積分2(1)zCedzz z , C 為正向圓周|z|=2. . 1) 1(lim) 1(lim0),(Res2020zezzezzfzzzz2211eRes ( ),1lim

25、(1)(2 1)!(1)zzdf zzdzz z211e(1)limlim0.zzzzdezdzzz3ed2 Res ( ),0Res ( ),12 (10)2 .(1)zCzif zf ziiz zComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 4 13)1 (sinzzdzezz計算233033003sinsinRes,0lim(1)(1)sinlimlim(1)( 1)1zzzzzzzzzzeezzez i2解：1z 在內(nèi)：z = 0為一階極點。Complex Analysis

26、 and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform10),(Res11)(102101zfCzzzfnn例 5 計算積分101211Cdzzz, C 為正向圓周|z|=1/2. 階極點為1010,)1 (1)(2101zzzzf解：01z在內(nèi)： 原式=2 iComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform* *.在無窮遠點的留數(shù)在無窮遠點的留數(shù)1Res ( ),( )d2Cf zf zzi 111Re

27、s( ),( )d( )d22CCf zf zzf zzCii f f ( (z z) )在圓環(huán)域在圓環(huán)域 R R|z z| 內(nèi)解析：內(nèi)解析： 理解為圓環(huán)域內(nèi)繞理解為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線。的任何一條簡單閉曲線。C nnnf zc zCzzfid)(21的值與C無關(guān), 稱其為f (z)在點的留數(shù), 記作設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R|z|內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線, 則積分Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform這就是說,f(z)在點的留數(shù)等于它在點的去心

28、鄰R|z|+內(nèi)洛朗展開式中 z-1 的系數(shù)變號.Res ( ),f z注：當 為可去奇點時，不一定為零.( )Laurenf zz在1+內(nèi)展開為級數(shù)：2211111111111zzzzzzzz1),( sRe1Czf1Res ( ),1f zC 1( ),1fzz例如為可去奇點。1( ),f zz再如為可去奇點,Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform111Res ( ),Res ( ),( )d( )d0.22nkkCCf zf zzf zzf zzii 定理二定理二 如果如果

29、f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, ,那么那么f(z)在所有各奇點在所有各奇點( (包括包括 點點) )的留數(shù)總和必等于零的留數(shù)總和必等于零. .證：除點外,設(shè)f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n).且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線, 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義, 有Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform規(guī)則規(guī)則 4 211Res ( ),Res,0f zfzz 事實上, 在

30、無窮遠點的留數(shù)定義中, 取正向簡單閉曲線 C為半徑足夠大的正向圓周: |z|=. 令1z, 并設(shè) z=ei, =rei, 那么1,ddr ,于是有 1201Res ( ),( )21()2Ciif zf z dzifeie di Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform20220112111()2()iiiiiifdirerefd reirere 21| |1111|.2fdi 為正向 211Res,0fzz (由于 f(z)在|z|+內(nèi)解析, 從而1f在10|內(nèi)解析.) 所以規(guī)

31、則4 成立.定理二與規(guī)則IV為我們提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法, 在很多情況下, 它比利用上一段中的方法更簡便.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 64223415) 1()2(zdzzzz計算izzzizzfi20)1 ()21 (1Res201)1(Res222342，)(3 , 2 , 1 , 0(2)(64424三階，二階個極點：內(nèi)有keizki解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analys

32、is and Integral Transform, C 為正向圓周:|z|=2. 解 41zz 在|z|=2 的外部除外無奇點,因此 44341221111)1(1zzzzzzzzfz 于是 42411d2 Res,2 Res,02 Res,0011Czzzif zifizzzz 4,2.1Czdz Czz例：計算積分為正向圓周：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0 ,1)1(Res),(Res2zzfzf211Res ( ),0( )Cff z dzz z-11=C2

33、iCzR為包含的任一正向簡單閉曲線證明證明：201123211011221)1()(21)(zCzCCzCzzfdzzfiCzCCzCzCzfC12111Res ( ),0( )2CfCf z dzz ziComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 留數(shù)定理是復變函數(shù)的定理，若要在實變函數(shù)定積分中應用，必須將實變函數(shù)變?yōu)閺妥兒瘮?shù)。留數(shù)定理又是涉及閉路積分的，要應用于定積分，必須先將定積分變?yōu)殚]路積分中的一部分。5.3 5.3 留數(shù)在定積分計算上的應用留數(shù)在定積分計算上的應用0ab1

34、l2l如圖，對于實積分 ，變量x定義在閉區(qū)間a,b(線段 )，此區(qū)間應是回路 的一部分。實積分要變?yōu)殚]路積分，則實函數(shù)必須解析延拓到復平面上包含閉路的一個區(qū)域中,讓實積分成為閉路積分的一部分：( )baf x dx1l21lll2)()()(lbaldzzfdxxfdzzfComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 20i1.(cos ,sin )(cos ,sin )sincos,iRdRzedzie d形如，其中為和的有理函數(shù)，令則221111sin(ee),cos(ee).2

35、222iiiizziizz從而積分化為沿正向單位圓周的積分02011iiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform其中f(z)是z的有理函數(shù), 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有 其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點.nkkzzzfizzf11|),(Res2d)(2220| | 1| | 111 d(cos ,sin )d,( )d22zzzzzRRf zzzizizComplex Analysis and Integral T

36、ransformComplex Analysis and Integral Transform例1 計算 的值.220cos2(01)1 2 cosIdppp02p解: 由于 , 被積函數(shù)的分母在 內(nèi)不為零,因而積分是有意義的. 0 1p22221zcos2(ee),22iiz由于因此Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform224122| | 1| | 1| | 111( )22(1)()1 22zzzzzdzzIdzf z dzzzizizpz zppp221244222242

37、112122111122(1)(1)112()(1)zzzzizppzzizzpzpp zizzpzppzzizzppzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二階極點,z=p為一階極點.422022342222220d1Res ( ),0limd2(1)()()4(1)(1 2)1lim,2 ()2zzzf zzzizpz zpzpzpp zzzpzppi zpzpp zip 4422211Re

38、s ( ), lim (),2(1)()2(1)zpzpf zpzpizpz zpipp2422222112222(1)1pppIiipipppComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例2 計算 的值.0,011cos2dxIx解：令2 ,2;:0,:02x ddx x 21201111/121cos2212zzddz izdzIzzizz22111iIiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Int

39、egral Transform例3022sin351d計算202sin35122d令122)3()3(2zidzizizziez令31izz 內(nèi)只有一個二階極點：被積函數(shù)在6452565223),(Res2iiizfi解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi).z1z2z3yCRRROx不失一般性, 設(shè)1111( ),2nnnm

40、mmza zaR zmnzb zb為一已約分式.2. 形如( )dR xx的積分 當被積函數(shù) R(x)是 x 的有理函數(shù), 而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次, 并且 R(x)在實軸上沒有孤立奇點時, 積分是存在的. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform( )d( )2Res ( ),RRkRCR xxR z dziR z z此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.2( )d|( )|d0RRRCCMMR zzR zsRRR 111111112|1|1|( )|1|1 |1

41、|1 |1(|)|nnm nmmnnm nmmm na za zR zzb zb za za zzb zb zMMzzz當足夠大時Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0( ),1( )d( )dRes ( ),.2kR xR xxR xxiR z z如果為偶函數(shù)( )d2Res ( ),.kR xxiR z z因此Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 4d

42、xxxx1242計算在上半平面其中的四個一階極點為214, 32, 12422222224,2321,2321:1)(0) 1)(1() 1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz3343134312),(Res),(Res221iiiiizzfzzfiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 5 2101(1)ndxx 計算,1) 1(1)(12iznzzfn階極點在上半平面只有一個21112(1)nIdxx解：1212111( 1) (1)(2)2Res ( ), !(2 )(1)(2)2(21)!22(2 )!nnnnnz indnnnif z iiin dzz ininnnnnnComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform也可寫為(