廣東高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)理答案

1、廣東省2010屆高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）答案及說(shuō)明說(shuō)明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.二、對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù).、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)題次234567

2、81答案BCACBCDD二、填空題：本大題共7小題,考生彳答6小題，每小題5分，共30分.,一，29.4；10.12；11.0或；12.30；13.一4；14.4；15.xy3=0.3三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16.(本小題滿分12分)I11尸吊4已知向量a=(cos8x+J3sin8x,1),b=(f(x),cosccx),其中co>0,且a/b,又函3數(shù)f(x)的圖像兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為3%.2(1)求切的值；5二(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間國(guó)一上的取大值與取小值及相應(yīng)的x值.一2一才,：解：(1),a/b,f(x)=cosx(co

3、sx-3sinx)=1cos2x3sin2x1,_，冗=一+sin(26x+).26,r2兀1由題意，函數(shù)f(x)的最小正周期為3冗，又切0,工3后七二=.23一、1,2二、(2)由(1)知f(x)=一+sin(x+),236-5：'.I2.5二11二*x仁In1,_x+uI1_,23x6_6,6,2 二5二,當(dāng)x+=，即X=n時(shí)，f(x)取得最大值1,9分3 66.2二9一1當(dāng)一x+=，即x=2n時(shí)，f(x)取得取小值一.12分366217.(本小題滿分12分)某休閑會(huì)館擬舉行“五一”慶?；顒?dòng)，每位來(lái)賓交30元的入場(chǎng)費(fèi)，可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則是：從一個(gè)裝有分值分別為1,2,3

4、,4,5,6的六個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中，有放回的抽取兩次，每次抽取一個(gè)球，規(guī)定：若抽得兩球的分值之和為12分，則獲得價(jià)值為m元的禮品；若抽得兩球的分值之和為11分或10分，則獲得價(jià)值為100元的禮品；若抽得兩球的分值之和低于10分，則不獲獎(jiǎng).(1)求每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率;(2)假設(shè)這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢(qián)也不賺錢(qián)，則m應(yīng)為多少元?解：(1)兩次抽取的球的分值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36對(duì)，其中分彳1之和為12的有1對(duì)，分值之和為11的有兩對(duì)，分值之和為10的有3對(duì)，所以每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率為1231P=366(2)設(shè)每位來(lái)賓抽獎(jiǎng)后，休閑賓館的獲利的元數(shù)為隨機(jī)變量則之的可能取值為30m、一70、30.5分P&#

5、171;7-30-m)-,36235P(=-70)=,36365P=30)=1-P(=-70)-P(=30m)=一,6.155580一m則兵館狄利的期望為E-=(30一m)+x(-70)十一父30=.3636636若這次活動(dòng)會(huì)館既不賠錢(qián)也不賺錢(qián)，則E1=0,即580一m=0,3611分所以，m=580.“一一，1答：(1)每位會(huì)員獲獎(jiǎng)的概率為一；(2)m應(yīng)為580兀.12分618.(本小題滿分14分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=J2,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM/平面BDE;(2)求二面角A-DFB的大小；(3)試問(wèn)：在線段AC上是否存在一點(diǎn)

6、P,使得直線PF與AD所成角為60°?解：方法一：(1)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形,四邊形AOEM是平行四邊形，AM/OE.OE仁平面BDE,AM也平面BDE,AM/平面BDE.(2)在平面AFD中過(guò)A作AS_LDF于S,連結(jié)BS,AAB_LAF,AB_LAD,ADAF=A,:AB，平面ADF,AB±DF,又ABAS=A，:DF_L平面ABS_DF_LBS,，NASB是二面角A-DFB的平面角.6分在RtAASB中，AS=直，AB=tan/ASB=B=V3/ASB=603AS.二面角A-DFB的大小為60s(3)設(shè)&

7、;t=(0<t<2),#PQ_LAB于Q,則PQ/AD,E.PQ_LAB,PQ_LAF,ABAF=A,PQ，平面ABF,QFu平面ABF,.PQ_LQF.在RtAPQF中，ZFPQ=60°,PF=2PQ.2APAQ為等腰直角三角形，PQ=(2-t).2又APAF為直角三角形，PF=v'(2-t)2+1,J(2-t)2+1=2-(2t),.t=1或t=3(舍去).214分.點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).方法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ACQBD=N，連接NE,則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是(,0)>(0,0,1),.NE=(-,-2,1),2222又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分

8、別是（J2,y'2°）、（/，三2,1），二aM=（01）NE=aM且NE與AM不共線，.二NE/AM.又.NEu平面BDE,AM0平面BDE,AM/平面BDF.(2)'AB1AF,AB_LAD,AFnAD=A,.AB，平面ADF.AB=(J2,0,0)為平面DAF的法向量.NEM=（走走,1）（四,四,0）=0,22靠指_/2.2,2,2NENF-(-，,1)(,1)=0,2222得NE_DB,NE_NFNE為平面BDFcos<AB,NE>=1,-AB與NE的夾角是600.2即所求二面角ADFB的大小是60t9分(3)設(shè)P(t,t,0)(0<t&l

9、t;72),得PF=(V2-t,V2-t,1),.DA=(0,V2,0),(，2-t)2又PF和AD所成的角是60°.acos60、下,.(2-t)2(2-t)212解得t14分.2,3,2或t=（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).19.（本小題滿分14分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD_LAB,BC_LAB,AD=3,AB=4,BC=J3,點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上.曲線段DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等.(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線段DE的方程；(2)試問(wèn)：過(guò)點(diǎn)C能否作一條直線l與曲線段DE相交于兩點(diǎn)M、N,使得線段MN以C為中點(diǎn)？若能，則求直線l的方程；若不能，則說(shuō)明理

10、由.解：(1)以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0),B(2,0),C(2,73),D(-2,3).14AAD+BD=3+5=8aAB,二依題意，曲線段DE是以A、B為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的一部分.3二22xV故曲線段DE的萬(wàn)程為+2=1(x之2,y之0).6分1612(2)設(shè)這樣的直線l存在，由直線x=2與曲線段DE只有一個(gè)交點(diǎn)(0,3),知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為yJ3=k(x2)，即y=k(x2)+J3,22將其代入a+工=1得1612(3+4k2)x2+(8向k16k2)x+16k216a36=09分設(shè)M(x,y1)，N(x2

11、,y2)，則由x1x2c.,8x3k-16k2312分=2,知x1+x2=4;.2=4,斛得k=234k22.32一一當(dāng)k=時(shí)，萬(wàn)程化為：x-4x=0,解得x1=0,x2=4.2即M(0,2黔,N(4,0),適合條件.14分3一故直線l存在，其萬(wàn)程為y=、3x+2j3,即J3x+2y43=0.220.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax,其中a為不大于零的常數(shù)討論f(x)的單調(diào)性;11.1*(2)求證：(1+)(1+)(1+f)<e(nWN,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).242n22xax2xa八解：(1)f'(x)=2+a=2.1分1x1x當(dāng)a=0時(shí)，：f

12、9;(x)>0u2xA0,f'(x)<0u2x<0,.f(x)在(0,收彈調(diào)遞增，在(g,0彈調(diào)遞減；3分a:0，即aM-1時(shí)，f(x0對(duì)xwR恒成立.<0二f(x)在(-,")上單調(diào)遞減;當(dāng)1<ac0時(shí),-11-a-1-.1-a:二x:aa2ax2xa:0=乂父.伊山才或*>一.a2aa-11-a2-1-l1-a2:“乂)在(,)上單調(diào)遞增,一1一？1-a2-1一：/1-a2,在(血,)和(，依)上單調(diào)遞減;aa綜上所述，當(dāng)aM-1時(shí)，f(x)在(，,依)上單調(diào)遞減，當(dāng)1<a<0時(shí)，f(x)在(-1)"-1,-1-%

13、'1-1)上單調(diào)遞增,aa-1.1-a2-1-1-a2工在5a)和(L-a-,+s)上單調(diào)遞減.aa當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在9y泮調(diào)遞增，在(-餡,0)上單調(diào)遞減.8分(2)由(1)知，當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)在(_8,十g比單調(diào)遞減,當(dāng)xW(0,y陽(yáng)，由f(x)<f(0)=0得ln(1+x2)<x10分111111ln(1-2)(1三).(1F)=ln(1三)ln(1方)ln(1)24224221.(本小題滿分14分)設(shè)an是關(guān)于x的方程xn十nx1=0(nwN*,xw(0,")的根.試證明:(1)anW(0,1)；(2)(3) a；+a22+IH+a；<1.

14、證明：(1)設(shè)f(x)=xn+nx1,f(0)=1<0,f(1)=n>0,且函數(shù)f(x)的圖象在(0,)上是連續(xù)的，二f(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程xn+nx1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.3分'x(0,+=c),f(x)=nxn_L+n>0,f(x)在(0,收)上是增函數(shù).二方程xn+nx1=0在(0,十整)內(nèi)有唯一根，且根在(0,1)內(nèi)，即4w(0,1).5分方法一：fd)31)"A0,f(')=(')n+。1=(')n,M0,nnn1n1n1n1n1且函數(shù)f(x)的圖象在(0,+B)上是連續(xù)的，1111,一,.一二f(x)在,一)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即萬(wàn)程xn+nx1=0在，一)內(nèi)至少有一個(gè)根.n-1nn1n又由(1)知函數(shù)f(x)在(0,依)上單調(diào)遞增，n1111二方程x+nx1=0在,一）內(nèi)有唯一根，<an<8分n1nn1n1.1“-an+<-,an+<an2n1方法二：由(1)知，ann+nan1=0,an由n*+(n+1)an41=0,兩式相減得:an+n41+(n+1)an+annnan=0,若存在nWN1使得an中至an,則an+至anAann,從而an+n*+(n+1)an書(shū)-ann-nan>(n+1)an噂一annnan=an由-ann+nan由一nan