對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題問(wèn)題1實(shí)例實(shí)例1：截止到截止到1999年底，我國(guó)人口約年底，我國(guó)人口約13億億.如果今如果今后能將人口年平均增長(zhǎng)率控制在后能將人口年平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過(guò)，那么經(jīng)過(guò)20年年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少（精確到億）？到哪一后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少（精確到億）？到哪一年我國(guó)的人口數(shù)將達(dá)到年我國(guó)的人口數(shù)將達(dá)到18億？?jī)|？ 13 (11)x18，求，求x=? 假設(shè)假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)，那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的年的2倍？倍？問(wèn)題問(wèn)題2如何列方

2、程？如何列方程？ 2%)81 (aax如何求出如何求出x的值的值?208.1 x即? x這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問(wèn)題。這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問(wèn)題。即指數(shù)式即指數(shù)式 中，已知中，已知a 和和N.求求b的的問(wèn)題。（這里問(wèn)題。（這里 a0且且a1 ）Nab 一般地，如果一般地，如果a(a0, 且且a1)的的b次冪次冪等于等于N，就是，就是abN ，那么，那么數(shù)數(shù)b叫做以叫做以a為底為底N的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)，記作，記作logaNb.其中其中a叫底數(shù)叫底數(shù),N叫真數(shù)叫真數(shù).即即定義：定義：)10(logaabNNaab且Nab叫做叫做指數(shù)式指數(shù)式 ,bNalog叫做叫做對(duì)數(shù)式對(duì)數(shù)式. . 當(dāng)當(dāng)0

3、, 1, 0Naa時(shí)，時(shí)， NabbNalog底底底底指數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)冪冪真數(shù)真數(shù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化常用的兩種對(duì)數(shù)：常用的兩種對(duì)數(shù)： 我們通常將以我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù). 為了簡(jiǎn)便，為了簡(jiǎn)便，N的常用對(duì)數(shù)的常用對(duì)數(shù)log10N,簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作lgN.1、 常用對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中使用以無(wú)理數(shù)在科學(xué)技術(shù)中使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828 為底的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù).為了簡(jiǎn)便，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)的自然對(duì)數(shù)logeN,簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作lnN2、 自然對(duì)數(shù)：自然對(duì)數(shù)：1、將下列指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：、將下列指數(shù)式轉(zhuǎn)

4、化為對(duì)數(shù)式：探究活動(dòng)探究活動(dòng)log31=0log81= 00log0.51=0log2.91=你發(fā)現(xiàn)你發(fā)現(xiàn)了什么了什么?“1”的對(duì)數(shù)等于零,即loga1=o(1) 30=1(2)80=1(3)0.50=1(4)2.90=1對(duì)數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1) log22=1(2) log1616=11(3) log0.50.5=1(4) log99=你發(fā)現(xiàn)你發(fā)現(xiàn)了什么了什么?底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”,即logaa=1探究活動(dòng)二：（1）負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù) （2）01loga（3）1logaa（4）對(duì)數(shù)恒等式：對(duì)數(shù)恒等式： NaNalog2.幾個(gè)常用的結(jié)論幾個(gè)常用的結(jié)論 ：axN logaNx.注

5、意：注意： 底數(shù)底數(shù)a的取值范圍的取值范圍真數(shù)真數(shù)N的取值范圍的取值范圍(0, 1)(1, )；(0, ).6255)1(4 6412)2(6 273)3( a73. 5)31()4( m例例1:將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式:4625log5 6641log2 a 27log3m 73. 5log31解：解：416log)1(21 7128log)2(2 201. 0lg)3( 303. 210ln)4( 16214 12827 01. 0102 10303. 2 e例例2:將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式:解：解：解：解：（1 1） （4 4） （3 3） （2

6、2） 25log5225log25110lg101. 0lg21000lg3001. 0lg3（5 5） （6 6） 求下列各式的值求下列各式的值練習(xí)練習(xí) （1 1） （4 4） （3 3） （2 2） 25log2510lg01. 0lg1000lg001. 0lg（5 5） （6 6） 25log5例例3:求下列各式中的求下列各式中的x的值的值:32log)1(64 x68log)2( x223233164(4 )416x解解:(1)(2)611136628,08(2 )22xxx求底數(shù)求底數(shù)求真數(shù)求真數(shù)210010,100102xx解解:(3)例例3:求下列各式中的求下列各式中的x的值的

7、值:x 100lg)3(xe 2ln)4(求對(duì)數(shù)求對(duì)數(shù)2,ln22xeexex(4)求對(duì)數(shù)求對(duì)數(shù)請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，說(shuō)出你有什么收獲？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，說(shuō)出你有什么收獲？1 1對(duì)數(shù)的定義對(duì)數(shù)的定義2 2掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化一般地一般地, ,如果如果a( (a0,0,a1)1)的的 x 次冪等于次冪等于N, N, 即即ax=N,=N,那么數(shù)那么數(shù)x叫做叫做以以a為底為底N N的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù), , 記作記作loglogaN N= =x ( (式中的式中的a叫做對(duì)數(shù)的叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)底數(shù), ,N N叫做叫做真數(shù)真數(shù)).).NaxNxalog3 3會(huì)由指數(shù)運(yùn)算求簡(jiǎn)

8、單的對(duì)數(shù)值會(huì)由指數(shù)運(yùn)算求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值(a0,a1)(a0,a1)思考思考:指數(shù)的運(yùn)算法則有幾個(gè)指數(shù)的運(yùn)算法則有幾個(gè)?分別是什么分別是什么?),(Rnmaaanmnm ),()(Rnmaamnnm ).()(Rnbaabnnn maM 設(shè)naN nmaNM 則mMalognNalognmNMa)(logNMNMaaaloglog)(log你能類似地得出下列公式嗎？你能類似地得出下列公式嗎？NMNMaaalogloglog證明：證明：設(shè)設(shè) ,logpMa,logqNa由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即證得即證得 NM)(2NlogMlog

9、NMlogaaa證明：證明：設(shè)設(shè) ,logpMa由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得即證得 )(3R)M(nnlogMlogana1積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果如果a0，且，且a1，M0，N0有：有：) 3( loglog)2(logloglog) 1 (loglog)(logR)(nMnMNMNMNMMNanaaaaaaa“積的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的和積的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的和” 有時(shí)逆向運(yùn)用公式：有時(shí)逆向運(yùn)用公式： 真數(shù)的取值范圍必須是真數(shù)的取值范圍必須是 (0, ). 對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：

10、 .loglog)(logNMNMaaa . 110log2log5log101010 如：如：NMMNaaaloglog)(log ) 3( loglog)2(logloglog) 1 (loglog)(logR)(nMnMNMNMNMMNanaaaaaaa例1 解解（1） 解解（2） 用用 ,log xa,log yazalog表示下列各式：表示下列各式： 23;(2)log(1)logaaxyxyzzzxyzxyaaalog)(loglog3121232log)(loglogzyxzyxaaazyxaaalogloglog31212logloglogzyxaaazyxaaalog31lo

11、g21log2例例2、計(jì)算（1）)24(log572(2)5100lg(5)18lg7lg37lg214lg1919522 250lg2lg)5(lg)4(25lg20lg)3(1 10 0（1） 18lg7lg37lg214lg練習(xí)練習(xí)計(jì)算：計(jì)算： 解法一解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二解法二： （2） 計(jì)算：計(jì)算： 9lg243lg3lg23lg525解： 1023lg)10l

12、g(32lg)3lg(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(2213213253lg3lg9lg243lg)2(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(12lg23lg) 12lg23(lg23233.3.對(duì)數(shù)換底公式對(duì)數(shù)換底公式 aNNccalogloglog( a 0 ,a 1 ，c 0 ,c 1,N0) 如何證明呢如何證明呢? ?證法證法1:NaNalog兩邊取兩邊取以以c c為底的為底的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)即得即得: :證法證法2:Nax若兩邊取兩邊取以以c c為底的為底的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)即得即得: :Nxalog則2. 換底公式的推論換底公式的推論1. 對(duì)數(shù)換底公式：對(duì)數(shù)換底公式：aNNcca

13、logloglog1loglogabba1logloglogacbcbaaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca證明證明：設(shè)：設(shè) 由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paN 即證得即證得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog換底公式換底公式其他重要公式其他重要公式1:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba證明證明:由換底公式由換底公式 取以取以b為底的對(duì)數(shù)得：為底的對(duì)數(shù)得： 還可以變形還可以變形,得得 , 1logbbaNNccalogloglogabbbba

14、logloglogabbalog1log1loglogabba23454839(1)loglog(2)log 3 log 4 log 5 log 2(3)(log 3log 3)(log 2log 2)acca(1)loglogaccalglg1;lglgcaac解解: :2345(2)log 3 log 4 log 5 log 2lg3 lg4 lg5 lg21;lg2 lg3 lg4 lg5練習(xí)練習(xí)2.2.利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)下列各式利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)下列各式4839(3)(log 3log 3)(log 2log 2)232lg3lg3lg2lg2()()lg2lg2lg3lg3l

15、g3lg3lg2lg2()()2lg23lg2lg32lg35lg3 3lg25.6lg2 2lg34lg3lg3lg2lg2()()lg4lg8lg3lg9其他重要公式其他重要公式2:NmnNanamloglog證明證明：設(shè)：設(shè) ,logpNnam由對(duì)數(shù)的定義可以得：由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值：求下列各式的值：15log5log332lg5lg 31log3log553log6log2236log22log21)25lg( 10lg1)

16、313(log51log50155log3133log12. 用用lg，lg，lg表示下列各式：表示下列各式：練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） )lg(xyzzxy2lgzxy3lgzyx2lg21lglglg；lglglg；lglg lg； zyxlglg2lg21例題與練習(xí)例題與練習(xí)例例1、計(jì)算：計(jì)算： 827log 9 log 321)3log12 . 05)24219432log2log3log)3151591023練習(xí)：練習(xí)：1求值：求值： )5 . 0log2)(log2 . 0log5(log255422若若 ,求求m2loglog8log4log4843m3若若log

17、8 3 = p , log 3 5 = q , 用用p,q表示表示 lg 5 413pqpq313_loglog,log,log. 423yxzzyxaaaa表示用_5lg2lg825lg4lg:. 522計(jì)算.,lglg)2lg(2. 6的值求已知yxyxyxzyxaaalog3log2log42)(log)(log)(logxxxaaaxa2log注意：注意：注意：注意：真數(shù)大于真數(shù)大于0計(jì)算計(jì)算:logloglog1.( , ,(0,1)(1,),0)abcbcNaa b cN2 123422.log( 21)2lg12log 10log 10log (log)3.1,1,logpbbb

18、aabpaa627log 16a12練習(xí)：1.已知log，求的值。2.已知：已知：632236abc求證：求證：123abc3.已知已知a,b,c是是ABC的三邊的三邊,且關(guān)于且關(guān)于x的方的方 程程有等根有等根,判斷判斷ABC的形狀的形狀.2222lg()2lg10 xxcba 小結(jié)小結(jié) :積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca1lo

19、glogabba), 1 () 1 , 0(,ba例例3 20世紀(jì)世紀(jì)30年代，年代，克里特克里特制定了一種表明制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為，其計(jì)算公式為:M=lgA-lgA0，其中，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，是被測(cè)地震的最大振幅，A0是是“標(biāo)準(zhǔn)地震標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅的振幅 （使用標(biāo)準(zhǔn)地震振（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）。偏差）。（1）假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中假設(shè)在一次地震中