導(dǎo)數(shù)中分類討論三種常見類型

1、導(dǎo)數(shù)中分類討論的三種常見類型高中數(shù)學(xué)中，分類討論思想是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要途徑，而所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的研究對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究處理時(shí)，對(duì)研究對(duì)象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類的對(duì)象進(jìn)行分別的研究并得出結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對(duì)問題進(jìn)行整體的解釋.幾乎所有的高中生都對(duì)分類討論思想有所了解，而能正確運(yùn)用分類討論思想解決問題的不到一半，不能運(yùn)用分類討論思想解決具體問題的主要原因是對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題不知道該不該去分類以及如何進(jìn)行合理的分類，下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)中3種比較常見的分類討論類型談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對(duì)參數(shù)的分類討論1.導(dǎo)函數(shù)根的大小比較實(shí)例1:求函數(shù)fx1x31ax2

2、axa,xR的單調(diào)區(qū)間.32分析：對(duì)于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)問，基本上都是用求導(dǎo)法，所以對(duì)1c1ac.一.函數(shù)fx-xxaxa進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)32f'xx21axa,觀察可知導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為f'xx21axaxax1,由此可知方程f'x0有兩個(gè)實(shí)根x1a,x21,由于a的范圍未知，要討論函數(shù)fx1x31ax2axa的32單調(diào)性，需要討論兩個(gè)根的大小，所以這里分a1,a1,a1三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)a1時(shí)，fx,fx隨x的變化情況如下:x,aaa,1-11,fx+00+fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，a和1,單調(diào)遞減區(qū)

3、間為a,1當(dāng)a1時(shí)，f'x0在R上恒成立，所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)a1時(shí)，fx,f'x隨x的變化情況如下:x,1-11,aaa,fx+00+fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為a,1;當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,a和1,單調(diào)遞減區(qū)間為,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;,1和a,單調(diào)遞減區(qū)間為所以，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，1和a,單調(diào)遞減區(qū)間為1,a.1,a.點(diǎn)評(píng)：這道題之所以要分情況討論，是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)兩個(gè)根的大小不確定，而兩根的大小又會(huì)影響到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而由于aR,所以

4、要分a1,a1,a1三種情況，這里注意不能漏了a1的情況.2.導(dǎo)函數(shù)的根的存在性討論實(shí)例2:求函數(shù)fxx3ax2x的單調(diào)區(qū)問分析：這道題跟實(shí)例1一樣，可以用求導(dǎo)法討論單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)fxx3ax2x進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)f1x3x22ax1,觀察可以發(fā)現(xiàn)，該導(dǎo)函數(shù)無法因式分解，故無法確定方程3x22ax10是否有實(shí)根，因此首先得考慮一下方程是否有解，所以我們可以求出根判別式4a212,若4a2120即向aV3,方程3x22ax10沒有實(shí)根，即f'x0在R上恒成立，所以fx在R上單調(diào)遞增；若4a2120即a石，方程3x22ax10有兩個(gè)相等的實(shí)根x1x2a,即fx0在R上恒成立，所以fx

5、在R上單調(diào)遞增；3若4a2120即a8或am，則方程3x22ax10有兩個(gè)不同實(shí)根，由求根公式可解得x1a"3,x'工3,顯然x1x233此時(shí)fx,fx隨x的變化情況如下:x,xixixi,x2x2x2,fx+00+fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)6a書時(shí)，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,沒有單調(diào)遞減區(qū)問；當(dāng)a幣或a73時(shí)，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,a八3和3aa233,單調(diào)遞減區(qū)間為aa23aa233，3點(diǎn)評(píng)：實(shí)例2和實(shí)例1都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是兩道題分類討論的情況不一樣，實(shí)例2主要是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程根的情況未知，所以需要討論根的存在性問題，而實(shí)例1是因

6、為導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程可以因式分解，所以可以確定方程的根肯定是存在的，因此不用再討論，而需要討論的是求出來兩個(gè)根的大小關(guān)系，實(shí)例2則相反，實(shí)例2在方程有兩個(gè)不同實(shí)根的情況下求出來的兩根大小已知，所以不用再討論。通過這兩道實(shí)例可以知道，在分情況討論的時(shí)候弄清楚討論的必要性是很重要的，不能以偏概全。3.導(dǎo)函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系實(shí)例3:已知函數(shù)fxx2lnx,函數(shù)gxfxx2ax,a0,若x0,e時(shí)，gx的最小值是3,求實(shí)數(shù)a的值.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）分析：由題意可以求得gxaxlnx,且函數(shù)gx的定義域?yàn)?,已知的是函數(shù)gx在0,e上的最小值是3,而函數(shù)最值的討論通常是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，所以

7、可以先考慮函數(shù)gx在0,e上的單調(diào)性，因此對(duì)gx進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)g'xa1%，因?yàn)閍0,所以令g'x0解得x-,xxa則gx,gx隨x的變化情況如下:x0,1a1aJ,a'gx0+gx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增這是gx在0,上的單調(diào)性，而要討論其在0,e上的單調(diào)性，這里涉及到e跟1的大小，也即是1是在給定區(qū)間內(nèi)還是在區(qū)間外的問題，可以知道，題目aa中并沒有條件可以讓我們確定e跟1的大小關(guān)系，所以這里需要分情況討論：a一1一1右e即0a,則gx在0,e上單調(diào)遞減，gxmingeae1,令ae-14ae13,斛行a（舍去）e,.11ii若e1即a1,則gx在0,1上單調(diào)遞減

8、，在-,e上單調(diào)遞增，所以aeaagxming11Ina,令1lna3,解得ae2,滿足條件.a綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的值為e2.點(diǎn)評(píng)：這道題實(shí)質(zhì)上就是討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，在這道例題中，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實(shí)根，所以可以確定原函數(shù)gx在定義域0,上的單調(diào)性，而要討論其在區(qū)間0,e的單調(diào)性，則涉及到e跟的大小關(guān)系，也就是確定導(dǎo)a函數(shù)等于零的點(diǎn)跟給定區(qū)間的關(guān)系.這道題中如果把a(bǔ)的范圍改為aR,問題就稍微復(fù)雜一點(diǎn)，首先得考慮導(dǎo)函數(shù)g'xa-根是否存在，可以發(fā)現(xiàn)，xx如果a0,則不存在導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)，止匕時(shí)g'xa-10,函數(shù)gxxx1.一在0,e上單調(diào)遞減；而如果a0,則導(dǎo)函數(shù)

9、存在唯一的頭根-，其中a0又a11.包含了兩種情況：a0和a0,如果a0,那么0,0,此時(shí)aa1ax1gxa-0,函數(shù)gx在0,e上單調(diào)遞減；至于a0的情況，討xx論如實(shí)例3.分類討論思想是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，簡(jiǎn)化所要研究的對(duì)象，它是解決問題的一種邏輯方法，也是鍛煉人思維模式的方法，但在分類討論時(shí)要明確討論的對(duì)象以及按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，做到不重復(fù)、不遺漏.導(dǎo)數(shù)中的分類討論在歷年高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)，主要是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值中應(yīng)用比較多.導(dǎo)數(shù)問題中分類討論的方法摘要：近年，高考解答題對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會(huì)涉及到對(duì)某個(gè)參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個(gè)，一

10、是看不懂題意，二是不會(huì)分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學(xué)生涯中，對(duì)這類問題作了一定的探討，并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間，極值，分類，最值，取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類討論的問題，筆者建議按照下列步驟來解決導(dǎo)數(shù)解答題(1)求導(dǎo)f'(x)令f(x)=0(3) 求出f(x)=0的根(4) 作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價(jià)于導(dǎo)數(shù)的圖像(一般是二次函數(shù)或

11、一次函數(shù)的圖像)(5) 由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過程中涉及到的分類討論一般有：方程f'(x)=0的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時(shí)開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間或定義域的端點(diǎn)的大小的討論)下面筆者結(jié)合若干例題對(duì)上述的分類討論方法作一一闡述2.例1：右函數(shù)f(x)axlnx(a>0),求函數(shù)的單倜區(qū)間。x解：f(x)a芻1翌一2x2(x0)xxx令f(x)=0,即：ax2x20(注意這里方程的類型需要討論)若a0,則x2,作出g(x)x2的圖像，由圖像可知f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(2,+8)上為增函數(shù)若a0

12、,則18a0,由ax2x20,得1.18a1.18ax1<0,x2>02a2a作出h(x)ax2x2的圖像，由圖像可知f(x)在(0,x2)上為減函數(shù)，在(x2,)上為增函數(shù)綜上所述：a0時(shí)，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(2,+8)上為增函數(shù)a0寸,f(x)在(0,一L_8a)上為減函數(shù)2a在(1U18a,)上為增函數(shù)2a例2：(08全國(guó)高考)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,aCR,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：f(x)3x22ax1令f(x)3x22ax10(注意這里根的存在需要討論)2 _4a212若4a2120,即73a百，則f(x)在R上為增函數(shù)若4a2120

13、,即aJ3或a展由f(x)3x22ax10得，a.a23a.a23x1，x23 3f(x)在(,a7a_3)或(a4a3,)上為增函數(shù)3322-c在(a、a3,-a%a3)上為減函數(shù)33綜上所述：屈aV3時(shí)，"*)在口!為增函數(shù)22-a扇a網(wǎng)，f(.(,-MT-')2323上為增函數(shù)，在(a3，-a3)上為減函數(shù)33k2.一例3.(2010北東)已知函數(shù)f(x)=In(1+x)-x+x2(k>0)o2求f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：f(x)x(kxkkx，x1)令f'（x）=0,即：x（kxk1）0（這里需要對(duì)方程kxk10的類型討論）x右k=0,則f(x)1xf(x

14、)在(-1,0)上為增函數(shù)，在（0,+°0）上為減函數(shù)若kw0,由x(kxk1)0得,1（這里需要對(duì)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論）2x（x）。，f（x）在（-1,+8）上為增函數(shù)1 x1,1,）上為增函數(shù)1在（0,1）上為減函數(shù)一，1八則f（x）在（1,-1）或（0,）上為增函數(shù)綜上所述:，1，一一在（11,0）上為減函數(shù)f（x）在（-1,0）上為增函數(shù),在（0,+00）上為減函數(shù)11,f（x）在（1,0）或（11,）上為增函數(shù)1在（0,k1）上為減函數(shù)f（x）在（-1,+8）上為增函數(shù)一、1，八若k1,f（x）在（1,11）或（0,）上為增函數(shù)在(11,0）上為減函數(shù)例4.（2009北京理

15、改編）設(shè)函數(shù)f(x)kxxe,求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間解：f(x)ekxkxekxekx(kx1)討論）令f(x)0（這里需要對(duì)方程kx10的類型f(x)10,f（x）在R上為增函數(shù)1若kw0則由kx10得，x-(這里需要對(duì)ykx1的斜率討論)k11右k>0則f(x)在(，)上為減函數(shù)，在(一，)上為增函數(shù)kk若k<0,則f(x)在(，)上為增函數(shù)在(1，)上為減函數(shù)kk綜上所述：若k=0,f(x)在R上為增函數(shù)1、1若k>0則f(x)在(，)上為減函數(shù)在(，)上為增函數(shù)kk若k<0,則f(x)在(，)上為增函數(shù)在()，)上為減函數(shù)kk例5:(海南2011四校聯(lián)考)f(

16、x)2lnx2x3,g(x)(p2)x-p23x若對(duì)任意的x1,2,f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍解：f(x)的定義域?yàn)?0,)設(shè)h(x)f(x)g(x)2lnxpx2x2、門,px2xp2設(shè)h(x)-2一-x令設(shè)h'(x)0,即px22xp20(對(duì)方程類型的討論)2x2若p=0,則設(shè)h(x)20x則h(x)在1,2上為增函數(shù)，h(x)minh(1)2,不符合要求若pw0,由px22xp20得x1或x衛(wèi)一2(對(duì)兩根的大小，定義域的端點(diǎn)、給定區(qū)間的端點(diǎn)大小的討論)p若p1,即p1,則h(x)minh(1)0,符合題意p若包上1,即1p0,則h(x)minh(1)2p20,不符

17、合題意2,即0p2,則h(1)2p20,不符合題意-1'_I_*x-1012圖略若1-20,即2p1,則h(x)minh(1)2p20,符合題意P若P_20,即p2,則h(x)minh(1)20,符合題意p若0-p21,即p2,則h(x)minh(1)2p20,符合題意p若1-p22,即p2,則h(1)2p20,不符合題意p若_p_22,即p2,則h(1)20,不符合題意p綜上所述：p的取值范圍為(，1卜面筆者就海南2010年高考的壓軸題來說明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實(shí)用價(jià)值，當(dāng)然解答的過程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，處于定性的范圍，不足之處，望全體同仁多多指教。例6:(海南2010理)設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax2。若當(dāng)x0時(shí)f(x)0,求a的取值范圍f(x)ex2ax1令f(x)e