小學數學競賽奇數與偶數及奇偶性的應用

1、、基本概念和知識1.奇數和偶數整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。偶數通?？梢杂?k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表小0特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。2.奇數與偶數的運算性質性質1:偶數土偶數=偶數，奇數土奇數=偶數。性質2:偶數土奇數=奇數。性質3:偶數個奇數相加得偶數。性質4:奇數個奇數相加得奇數。性質5:偶數X奇數=偶數，奇數X奇數=奇數。二、例題利用奇數與偶數的這些性質，我們可以巧妙地解決許多實際問題.例11+2+3+1993的和是奇數？還是偶數？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數，還是偶數

2、.但是如果從加數的奇、偶個數考慮，利用奇偶數的性質，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1:1+2+3+1993（1+1993）X1993=997X1993,又997和1993是奇數，奇數X奇數=奇數，.原式的和是奇數解法2:.1993+2=996-1,.11993的自然數中，有996個偶數，有997個奇數。996個偶數之和一定是偶數，又;奇數個奇數之和是奇數，997個奇數之和是奇數。因為，偶數+奇數=<數，所以原式之和一定是奇數。例2一個數分別與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150,這個數是多少？解法1:,相鄰兩個奇數相差2,.150是這個要求數的2倍。.這個數是1

3、50+2=75。解法2：設這個數為x,設相鄰的兩個奇數為2a+1,2a-1(a>1).則有(2a+1)x-(2a-1)x=150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150x=75o這個要求的數是75。例3元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數張賀年卡的人數是奇數，還是偶數？為什么？分析此題初看似乎缺總人數.但解決問題的實質在送賀年卡的張數的奇偶性上，因此與總人數無關。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數應能被2整除，所以賀年卡的總張數應是偶數。送賀年卡的人可以分為兩種:一種是送出了偶數張賀年卡的人：他們

4、送出賀年卡總和為偶數。另一種是送出了奇數張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數=所有人送出的賀年卡總數-所有送出了偶數張賀年卡白人送出的賀年卡總數=偶數-偶數二偶數。他們的總人數必須是偶數，才使他們送出的賀年卡總數為偶數。所以，送出奇數張賀年卡的人數一定是偶數。例4已知a、b、c中有一個是5,一個是6,一個是7.求證a-1,b-2,c-3的乘積一定是偶數。證明：:a、b、c中有兩個奇數、一個偶數，a、c中至少有一個是奇數，.a-1,c-3中至少有一個是偶數。又.偶數x整數=偶數，.(a-1)x(b-2)x(c-3)是偶數。例5任意改變某一個三位數的各位數字的順序得到一個新數.試證新數與原數之和不能

5、等于999。證明；設原數為abc,設改變其各位數字順序后得到的新數為打丁丁。假設原數與新數之和為999,即品+丁二999。則有a+a'=b+b'=c+c'=9,因為9不會是進位后得到的又因為a'、b'、c'是a、b、c調換順序得到的，所以a+b+c=a+b，+c，。因此，又有(a+a')+(b+b)+(c+c)=9+9+9,即2(a+b+c)=3X9?？梢姡旱仁阶筮吺桥紨?，等式的右邊(3X9=27)是奇數.偶數w奇數.因此，等式不成立.所以，此假設“原數與新數之和為999”是錯誤的，命題得證。這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方

6、法.先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數學上叫“反證法”。例6用代表整數的字母a、b、c、d寫成等式組：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=1995axbxcxd-d=1997試說明：符合條件的整數a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993,c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。1991、1993、1995、1997均為奇數，且只有奇數x奇數=奇數，.a、b、c、d分別為奇數。ax

7、bxcxd=#數。.a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數.這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設等式組的整數a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉”.請說明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉”.要使9只杯子口全朝下，必須經過9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇數.但是，按規(guī)定每次翻轉6只杯子，無論經過多少次“翻轉”，翻轉的總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假設n盞有拉線開關的燈亮著，規(guī)定每次拉動（n-1）個開關，能否把所

8、有的燈都關上？請證明此結論，或給出一種關燈的辦法。證明：當n為奇數時，不能按規(guī)定將所有的燈關上。因為要關上一盞燈，必須經過奇數次拉動它的開關。由于n是奇數，所以n個奇數的和=數，因此要把所有的燈（n盞）都關上，拉動拉線開關的總次數一定是奇數。但因為規(guī)定每次拉動n-1個開關，且n-1是偶數，故按規(guī)定拉動開關的總次數一定是偶數。奇數w偶數，當n為奇數時，不能按規(guī)定將所有燈都關上。當n為偶數時，能按規(guī)定將所有燈關上.關燈的辦法如下：設燈的編號為1,2,3,4,n.做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關；第二次，2號燈不動，拉動其余開關；第三次，3號燈不動，拉動其余開關；第n次，n號燈不動，拉動

9、其余開關.這時所有的燈都關上了。例9在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍.最后統計有1987次染紅，1987次染藍.求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色。證明：假設沒有一個珠子被染上過紅、藍兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.則染紅色次數為2m次。.2m1987（偶數w奇數）.假設不成立。至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色。例10如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數（以米為單位），

10、這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛起點牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個是偶數，題目已得證;如果a、b都是奇數，因為奇數+奇數=偶數，所以c必為偶數，那么題目也得證。例11某校六年級學生參加區(qū)數學競賽，試題共40道，評分標準是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學生得分總和一定是偶數。解：對每個學生來說，40道題都答對共得120分，是個偶數.如果答錯一道，相當于從120分中扣4分.不論答錯多少道，扣分的總數

11、應是4的倍數，即扣偶數分.從120里減去偶數.差仍是偶數.同樣，如果有某題不答，應從120里減去（3-1）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數是2的倍數，也是偶數.所以從120里減去偶數，差仍是偶數.因此，每個學生得分數是偶數，那么全年級參賽學生得分總和也一定是偶數.例12某學校一年級一班共有25名同學，教室座位恰好排成5行，每行5個座位.把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位.問：讓這25個學生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析我們把每一個黑、白格看作是一個座位.從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學要換到鄰座，必須坐到白

12、格上；已在白格“座位”上的同學要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，13*12,因此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法.因為整數按奇偶分類只有兩類，所以將這類問題轉變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關系。例13在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問：“馬”所跳的步數是奇數還是偶數？解：在中國

13、象棋中，“馬”走“日”字，如果將棋盤上的各點按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到白色點，或從白色點走到黑色點.因此，“馬”從一色點跳到另一同色點，必定要跳偶數步.因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數步。例14線段AB有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍色.在這個AB線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍色，得到n+1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個端點不同色的小線段的條數一定是奇數。證明：當在AB中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點時有三種情況：插入點在兩端不同色的線段中，則兩端