第八章靜電場

1、1電磁學(xué)電磁學(xué)第八章第八章 靜電場靜電場 8-1 電荷電荷 庫侖定律庫侖定律8-2 電場電場 電場強度電場強度8-3 真空中的真空中的高斯定理高斯定理8-4 電勢電勢8-5 電勢與場強的關(guān)系電勢與場強的關(guān)系28-1 電荷電荷 庫侖定律庫侖定律1. .兩種電荷兩種電荷2. .電荷電荷守恒定律守恒定律在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負(fù)電荷電量的正負(fù)電荷電量的代數(shù)和代數(shù)和在任何物理過程中在任何物理過程中保持不變保持不變。3. .電荷電荷量子化量子化實驗證明實驗證明：微小粒子帶電量的變化不是連續(xù)的，只能是某個：微小粒子帶電量的變化不是連續(xù)的，只能是某個元電荷元電荷

2、e 的整數(shù)倍。的整數(shù)倍。191.60217733 10Ce4. .電荷的電荷的相對論不變性相對論不變性一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關(guān)。一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關(guān)。H2He一、一、 電荷電荷3二、二、 庫侖定律庫侖定律1. .兩個兩個點電荷點電荷相互作用相互作用庫侖定律庫侖定律在在真空中真空中，兩個，兩個靜止點電荷靜止點電荷之間的相互作用力之間的相互作用力21F12F12rq1q2121212212rq qFker12re單位矢量單位矢量041 k121212201214rq qFer真空電容率真空電容率122208.85 10C /N m12re大小與它們的大小與它們的電量電量q1和和

3、q2的乘積成正比的乘積成正比，與它們之間的，與它們之間的距離的平方成反比距離的平方成反比，方向方向沿著它們的連線沿著它們的連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸。，同號電荷相斥，異號電荷相吸。42. .靜電力的疊加靜電力的疊加12,nqqq1niiFF作用在作用在q0上的總靜電力上的總靜電力F庫侖定律庫侖定律iF為為qi 單獨存在時單獨存在時q0受力。受力。121212201214rq qFer00210014niriiiq qer58-2 電場電場 電場強度電場強度qrerq0AFA BBF電場中電場中是與是與q0無關(guān)的量無關(guān)的量0qF定義定義: :0qFE空間某處空間某處電場強度的大小電場強度的

4、大小等于：等于：單位電荷在該處所受到的電場力的大小單位電荷在該處所受到的電場力的大小，方向與方向與正電荷正電荷在該處所受到的電場力的方向一致。在該處所受到的電場力的方向一致。SISI單位單位制中：制中：E/N C是一個矢量函數(shù)。是一個矢量函數(shù)。（檢驗電荷）（檢驗電荷）（場源電荷）（場源電荷）0AFq0AFEq一、電場強度一、電場強度620014rFqEeqr點電荷點電荷q的場強為的場強為: :三、靜止點電荷的場強及其疊加三、靜止點電荷的場強及其疊加12nEEE一組一組點電荷在某點激發(fā)的場強等于：每個點電荷點電荷在某點激發(fā)的場強等于：每個點電荷單獨存在時單獨存在時所產(chǎn)生的電場在該點場強的所產(chǎn)生的

5、電場在該點場強的矢量和矢量和，稱為，稱為場強的疊加原理場強的疊加原理。0204rqqFer1niiFF則則0qFE10niiFq10niiFq0iiFEq每個點電荷單每個點電荷單獨存在的場強獨存在的場強1niiEE12,nqqq場源電荷場源電荷 檢驗電荷檢驗電荷q0，由，由由由點電荷點電荷q0在電場在電場 中受力中受力 E0Fq E總場總場E二、場強的疊加二、場強的疊加7場源電荷連續(xù)分布：場源電荷連續(xù)分布：20dd4rqEer20dd4rqEEer1) )電荷線分布電荷線分布ddqx 電荷的線密度，電荷的線密度，dx 線元線元2) )電荷面分布電荷面分布ddqS 電荷的面密度，電荷的面密度，d

6、S 面元面元3) )電荷體分布電荷體分布ddqV 電荷的體密度，電荷的體密度，dV 體積元體積元21014niriiiqEer場源為點電荷系：場源為點電荷系：8四、場強的計算四、場強的計算電偶極子：電偶極子：例例1. .求遠(yuǎn)離電偶極子的一點求遠(yuǎn)離電偶極子的一點 A（r l）的場強。）的場強。l為極軸，為極軸，lqp電偶極矩。電偶極矩。1-q+ql2AErE204qEr204qErr將將,EE分別沿著分別沿著r和垂直和垂直于于r方向分解方向分解。r-q+ql一對靠得很近的等量異號點電荷組成的電荷系。一對靠得很近的等量異號點電荷組成的電荷系。B1E2EE922014(/2)(/2)CqqEr lr

7、 lE+E-E+E-DECE-q+q0 xy2l2l2220124(/4)qlrrl30214eCpErl qpe22012cos4(4)DqErl 22221201224(4) (4)qlrlrl 223 2014(4)qlrl3014DqlEr3014eDpErCrDr在極軸延長線在極軸延長線P點和中垂線點和中垂線Q點的場強點的場強lr 40124qlrrlr 102212AEEE 2112tgEEtg 為為AE與與 r 的夾角的夾角利用上述結(jié)果利用上述結(jié)果1302cos14epEr230sin14epEr方向方向: :討論：討論：當(dāng)當(dāng) = 0，即，即A點落在點落在l的延長線上的延長線上3

8、0214eApEr當(dāng)當(dāng) = /2，即，即A點落在點落在l的中垂線上的中垂線上3014eApEr2303cos14epr1E2E-q+qlArrrBAE11例例2. .均勻帶電直線周圍場強。均勻帶電直線周圍場強。電荷的線密度為電荷的線密度為 20dd4prqEer20ddsin4pxqEr20ddcos4pyqErydxEdEadyEdq21p2120ddsin4xxqEErO210sind4aactgy 2ddsinay222sinar xratgyddqy120(coscos)4a.122120ddcos4yyqEEr210cosd4a22pxyEEE討論：討論：1) ) 當(dāng)當(dāng)p點落在帶電直

9、線的中垂線上，則點落在帶電直線的中垂線上，則0yE只剩下只剩下EEx2) )當(dāng)帶電直線為當(dāng)帶電直線為 長時，即長時，即 1 0， 2 EaEExy02 0aE02 無限長均勻無限長均勻帶電直線帶電直線210(sinsin)4ayxEtgEydxEdEadyEdq21pOxr.120(coscos)4xEa 13例例3. .電荷電荷 + +q 均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸線的細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸線上任一點上任一點 p 的場強。的場強。 解：在細(xì)圓環(huán)上取一電荷元解：在細(xì)圓環(huán)上取一電荷元dq，其在，其在 p 點產(chǎn)生的場強大小點產(chǎn)生的場強大小20dd4qErddcosxEE20

10、ddcos4xqqEEr22 3/204()qxExR20dcos4qr20cosd4qqrOdqxpdxEdyErRdEx0ydE 20cos4qr14例例4. .均勻帶電圓面半徑均勻帶電圓面半徑R ，電荷面密度，電荷面密度 ，求圓面軸線上任一，求圓面軸線上任一點點 p 的電場強度。的電場強度。解：將圓面看成由一系列半徑不同的解：將圓面看成由一系列半徑不同的同心圓環(huán)組成。同心圓環(huán)組成。取一半徑為取一半徑為r，寬度為，寬度為 dr 的細(xì)圓環(huán)，的細(xì)圓環(huán)，此圓環(huán)在此圓環(huán)在p點的場強大小為點的場強大小為22 3/20dd4()q xErx223/200dd2()RxrrEErx1/ 222012()

11、xRx223/202d4()rr xrx OxpRx rdr當(dāng)當(dāng) x R 時時12212221 () ()xRxRx211()2Rx 2204REx204qx158-3 真空中的真空中的高斯定理高斯定理( )()pNE pSN電力線條數(shù)電力線條數(shù)S垂直于場強方向上的面元垂直于場強方向上的面元電力線性質(zhì)電力線性質(zhì): :3. .電力線不形成閉合曲線。電力線不形成閉合曲線。電力線電力線疏密程度，疏密程度，反映反映場強大小場強大小，曲線上每一點的曲線上每一點的切線方向切線方向是該點的是該點的場強方向場強方向。1. .電力線始于電力線始于“+” +” 止于止于“-”(-”(或或 遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處) )不中斷；不

12、中斷；2. .任意兩條電力線不相交；任意兩條電力線不相交；兩條電力線是否相切兩條電力線是否相切? ?ddNES一、電場線一、電場線16+17+q2q18+ + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _19二、電場強度通量二、電場強度通量 e1. dS的電通量為的電通量為de 面元面元dS 的電場通量，在數(shù)值上等于穿過面元的電場通量，在數(shù)值上等于穿過面元dS 的電力線條數(shù)。的電力線條數(shù)。2. 計算通過計算通過有限大曲面有限大曲面S 的電通量的電通量 edesESn是是的外法線方向的外法線方向dSnE3. 閉合曲線面閉合曲線面 S 的電通量的電通量nEBE

13、nAdesESA點點 90 0 e為負(fù)為負(fù)( (進進) )d SddNESdESdcosESdES20三、三、高斯定理高斯定理真空中任意閉合曲面真空中任意閉合曲面 S 的電場強度通量的電場強度通量 e 等于該曲面所包圍等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的電荷的代數(shù)和 iq除以除以 0，與閉合曲面外電荷無關(guān)。與閉合曲面外電荷無關(guān)。01deisSESq內(nèi)內(nèi)證明證明: :0/q如圖，以點電荷為中心作半徑為如圖，以點電荷為中心作半徑為 r 的球面的球面+qnEddeES 20dd4eessqSr0q1.包圍點電荷包圍點電荷 q 的的同心球面同心球面 S 的電場通量等于的電場通量等于rdS20d4qSr22

14、044qrr212. 包圍點電荷包圍點電荷 q 的任意閉合曲面的電通量為的任意閉合曲面的電通量為0/q電場通量電場通量與球面半徑與球面半徑 r 無關(guān)。無關(guān)。說明對以點電荷說明對以點電荷 q為中心的任意球面，通過的電通量都一樣。為中心的任意球面，通過的電通量都一樣。對兩個無限接近的球面，通過它們的電通量都相同，對兩個無限接近的球面，通過它們的電通量都相同，說明說明電場線在無電荷處連續(xù)電場線在無電荷處連續(xù)SS1以以 q 為球心在任意為球心在任意S 閉合曲面內(nèi)外取同心球面閉合曲面內(nèi)外取同心球面S1 和和S2q通過通過 S1 和和 S2的電場線數(shù)量相同為的電場線數(shù)量相同為所以通過所以通過S 的電場線數(shù)

15、量的電場線數(shù)量0deSqESS20/q223. 不包圍點電荷任意不包圍點電荷任意閉閉曲面曲面 S 的電通量為零。的電通量為零。電場線在無電荷處連續(xù)電場線在無電荷處連續(xù)d0eSES4. 多個點電荷電通量等于：多個點電荷電通量等于：它們單獨存在時的電場通量的代數(shù)和。它們單獨存在時的電場通量的代數(shù)和。由場疊加原理和上述由場疊加原理和上述2，3結(jié)論結(jié)論可得（自己證）可得（自己證）S進入與穿出進入與穿出S 面的電場線數(shù)量相同面的電場線數(shù)量相同(01diSESq內(nèi) ）高斯定理高斯定理+23* *靜電場高斯定理的微分形式靜電場高斯定理的微分形式電荷連續(xù)分布情況下，高斯定理可寫為：電荷連續(xù)分布情況下，高斯定理

16、可寫為：01ddesVESVddsVESEV 可得：可得：01ddeVVEVV 01eE奧奧高公式：高公式：E 稱為稱為 E的散度的散度結(jié)論：結(jié)論：靜電場是有源場靜電場是有源場。其源頭就是其中的電荷。其源頭就是其中的電荷。24例例 1. 均勻帶電無限長細(xì)棒電荷線密度為均勻帶電無限長細(xì)棒電荷線密度為 , 求其場強分布。求其場強分布。解：以棒為軸做同軸圓柱面，解：以棒為軸做同軸圓柱面，過過p點作半徑點作半徑 r 長長l 圓柱面，圓柱面，場場的分布是軸對稱的。的分布是軸對稱的。desES 123dddsssESESESlpS3S1S2300dsES3dsES(01diSESq內(nèi) ）( (適用于有對稱

17、分布的帶電適用于有對稱分布的帶電體所激發(fā)的電場體所激發(fā)的電場) )2Erl四、高斯定理應(yīng)用舉例四、高斯定理應(yīng)用舉例002qlErl02Erp點點 E 的方向垂直于軸線向外。的方向垂直于軸線向外。無限長帶電導(dǎo)體附近無限長帶電導(dǎo)體附近 r 點的場強大小點的場強大小3dsESr25例例2. 均勻帶電無限大平面薄板電荷面密度均勻帶電無限大平面薄板電荷面密度 e，求其場強分布。求其場強分布。解：設(shè)解：設(shè) e0 , 場是面對稱的，做柱形高場是面對稱的，做柱形高斯面。側(cè)面垂直于帶電面。斯面。側(cè)面垂直于帶電面。02eE eEE等量異號電荷的一對無限大平行平面薄板等量異號電荷的一對無限大平行平面薄板之間的場強之

18、間的場強 E0eE 02SSEeSS1S2S3(01diSESq內(nèi) ）26例例3. 在勻強電場中通過半徑為在勻強電場中通過半徑為R的半球面的電場強度通量。的半球面的電場強度通量。REn解：加一輔助面，構(gòu)成閉合的高斯面。解：加一輔助面，構(gòu)成閉合的高斯面。desES 0Rn 2RnR E 27例例4. 已知半徑為已知半徑為 R , 帶電總量為帶電總量為 Q的均勻球面，求電場分布。的均勻球面，求電場分布。解：解：球內(nèi)球內(nèi)r R：204QEr例例5. 半徑為半徑為 R，總電量為總電量為Q的均勻帶電球體，的均勻帶電球體，電場分布。電場分布。300()43QrrErRR204rQE30()4QrErRR(

19、01dssESq內(nèi)）20()4QErRrEORrQ0E 選同心球面為高斯面選同心球面為高斯面34/3QR解：解：28例例6. 已知在一體密度為已知在一體密度為 均勻帶電球體內(nèi)，挖出一個以均勻帶電球體內(nèi)，挖出一個以O(shè) 為為球心的空腔球心的空腔, OO =a。求圓形空腔內(nèi)的電場強度。求圓形空腔內(nèi)的電場強度。解：解：23101 443Err同理同理：(01dssESq內(nèi)）由高斯定理由高斯定理Ooa空腔內(nèi)空腔內(nèi)任意一點任意一點A的場強，是體密度為的場強，是體密度為 的的球球體和體密度為體和體密度為- - 的的球體疊加而成球體疊加而成。Arr1E2E103Er203Er由疊加原理由疊加原理12EEE0(

20、)3rr03a空腔內(nèi)是均勻場空腔內(nèi)是均勻場29例例7. 求有一定厚度，總電量為求有一定厚度，總電量為Q的球殼內(nèi)外的的球殼內(nèi)外的電場分布。電場分布。0E 1RQ2R331233021()4rRQErRR1rR204QEr12RrR2rR解：解：30如何理解面內(nèi)場強為如何理解面內(nèi)場強為0 ? ? 過過P點作圓錐點作圓錐則在球面上截出兩電荷元則在球面上截出兩電荷元11ddqS1120 1dd4SEr2220 2dd4SErP1dq2dq在在P點場強點場強1dq方向方向2dq在在P點場強點場強方向方向0d40d412ddEE d面元對應(yīng)立體角為面元對應(yīng)立體角為d22ddqS1dE2dE1dE2dE31

21、點電荷電場力將點電荷電場力將q0 0 從從A點點移到移到B點做的功點做的功dBArrWFl0| d| cosBArrqEl0011()4ABq qrr0204BArrq qdrr8-4 電勢電勢一、靜電場力做功一、靜電場力做功|d |cosdlr204qEr靜電場力移動電荷靜電場力移動電荷q0做功做功與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)，僅僅與與q0 的始末位置有關(guān)的始末位置有關(guān)。0dBArrq ElqArABrBLq0rEdr d l32若場源是點電荷系若場源是點電荷系 q1, ,q2,qn 所激發(fā)的場所激發(fā)的場電場力將電場力將q0 0 從從A 移到移到B 所所做的功做的功0dBAWq El01020ddd

22、BBBnAAAq Elq Elq El每一項均為點電荷電場力做的功，均與積分路徑無關(guān)。每一項均為點電荷電場力做的功，均與積分路徑無關(guān)。對任意靜電場，靜電場力移動電荷對任意靜電場，靜電場力移動電荷q0 0所做的功所做的功與路徑無關(guān)，僅與路徑無關(guān)，僅與與 q0 的始末位置有關(guān)。的始末位置有關(guān)。靜電場的保守性，靜電力是保守力。靜電場的保守性，靜電力是保守力。012() dBnAq EEEl33二、靜電場環(huán)路定理二、靜電場環(huán)路定理在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分等于零，在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分等于零，稱為靜電場的稱為靜電場的環(huán)路定理環(huán)路定理。由斯托克斯公式由斯托克斯公式d() dL

23、SElES 0E 靜電場是靜電場是無旋場無旋場（保守場保守場）結(jié)論結(jié)論: :靜電場是靜電場是有源無旋場有源無旋場。0dLq El對任意對任意靜電場靜電場，電場強度的線積分，電場強度的線積分與路徑無關(guān)，僅與與路徑無關(guān)，僅與 q0 0 的始末位置有關(guān)。的始末位置有關(guān)。01200()()ddBAA LB Lq Elq El1200()()ddBBA LA LqElqEld0LElABL1L2靜電場是保守場靜電場是保守場34三、電勢能三、電勢能一般電勢能一般電勢能()()ABAppBWEE靜電場力作功與路徑無關(guān)，可引入電勢能靜電場力作功與路徑無關(guān)，可引入電勢能 Ep()0pBE0dBABAWqEl靜電

24、場是保守場，靜電力是保守力。靜電場是保守場，靜電力是保守力。00()dAApqElE35四、四、電勢電勢 電勢差電勢差靜電場的保守性意味著：靜電場的保守性意味著：對靜電場來說，存在一個由電場中各點位置所對靜電場來說，存在一個由電場中各點位置所決定的標(biāo)量函數(shù)叫決定的標(biāo)量函數(shù)叫電場的電勢。電場的電勢。A和和B兩點的電勢差等于：兩點的電勢差等于：從從A到到B電場強度電場強度沿任意路徑沿任意路徑的線積分，的線積分，也等于從也等于從A到到B移動單位正電荷靜電場力所做的功。移動單位正電荷靜電場力所做的功。0()pAAEVq0()pBBEVqABABVVV0ABWqA與與B兩點的兩點的電勢差電勢差1. 電勢

25、電勢dBAEl0()()ppABEEqdBABAVEldBABAVElV36靜電場中某點電勢等于：靜電場中某點電勢等于：如果指定如果指定B為電勢零點，為電勢零點，則則A點電勢點電勢對有限大帶電系統(tǒng)，常選對有限大帶電系統(tǒng)，常選 遠(yuǎn)處為遠(yuǎn)處為零勢點零勢點。0dAAVEldBABAVEldAAVEl已知靜電場的已知靜電場的電勢分布電勢分布，在靜電場中移動點電荷電場力做的功在靜電場中移動點電荷電場力做的功0dBABAWq El00()ABABqVq VV將單位正電荷由該點沿任意路徑移到零勢點，電場力做的功。將單位正電荷由該點沿任意路徑移到零勢點，電場力做的功。0()ABABWq VV37drVEl2.

26、 .點電荷電勢點電荷電勢20044rqqdrrr3. .電勢的疊加原理電勢的疊加原理dBAVEl12() dBnAEEEl 12dddBBBnAAAElElEliiVV電勢的疊加原理電勢的疊加原理一個電荷系的電場中任一點的電勢等于：一個電荷系的電場中任一點的電勢等于：每一個帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生的電勢的每一個帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和代數(shù)和。38（1）點電荷的電勢：點電荷的電勢：04qVr（2）點電荷系點電荷系( (q1, ,q2,qn) )的電勢：的電勢：1104nniiiiiqVVr（3）電荷連續(xù)分布帶電體，場中）電荷連續(xù)分布帶電體，場中某某點電勢：點電勢：0d4qV

27、r線電荷分布線電荷分布ddql面電荷分布面電荷分布ddqS體電荷分布體電荷分布ddqV39求：求：p點的場強和電勢點的場強和電勢2024qRErr例例. .已知兩個電荷分布，無窮遠(yuǎn)處的電勢為已知兩個電荷分布，無窮遠(yuǎn)處的電勢為dppVVElpVV04qqVVr04qqVVr2pqqVVVV？04qVr的條件是無窮遠(yuǎn)處電勢為零的條件是無窮遠(yuǎn)處電勢為零。0d cos900pE xV22 3/2012()qRRxpxr+q-qRE+E-E解：解：408-5 電勢與電場強度的關(guān)系電勢與電場強度的關(guān)系一、等勢面一、等勢面電場中電場中電勢相等的點組成的面電勢相等的點組成的面叫等勢面。叫等勢面。相鄰等勢面間電

28、勢差為常數(shù)。如圖相鄰等勢面間電勢差為常數(shù)。如圖1) ) 等勢面與電場線垂直等勢面與電場線垂直2)E指向電勢降落方向指向電勢降落方向41二、電勢梯度二、電勢梯度ddVElcosEdlddlElV ddlVEl kEjEiEEkyx zVEz yVEy xVEx EV dBABABAVVVElcoslEE方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)maxmaxd|dlVEEl 梯度梯度42三、三、 靜電場中的電偶極子靜電場中的電偶極子1. .外電場對電偶極子的力矩和取向作用外電場對電偶極子的力矩和取向作用勻強電場中勻強電場中FFF合0sinMqr EMpEpE轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向方向方向非勻強電場中非勻強電場中qEqE02. .電偶極子

29、在電場中的電勢能和平衡位置電偶極子在電場中的電勢能和平衡位置pEqVqV00()coscosVVqrr 0cosqr E pEp E p與與E方向一致時電勢能最低方向一致時電勢能最低Eqq0rFF43例例1：均勻球面半徑：均勻球面半徑R，電荷，電荷q。求場強和電勢分布？。求場強和電勢分布？Rr內(nèi)S外Sq解：解：0(0)ErR內(nèi)部內(nèi)部場強為零場強為零rEORdrVEr內(nèi)ddRrRErEr外內(nèi)204RqdrrRq04drVEr外外04qr20()4qErRrV均勻帶電球面內(nèi)均勻帶電球面內(nèi)各點電勢相等各點電勢相等，等于球面上各點的電勢。，等于球面上各點的電勢。外部電勢外部電勢可看作是電荷集中在球心處的可看作是電荷集中在球心處的點電荷產(chǎn)生的電勢點電荷產(chǎn)生的電勢。在球面處場強不連續(xù)，電勢是連續(xù)的。在球面處場強不連續(xù)，電勢