淺談行列式的計(jì)算方法x73681

1、- -行列式的計(jì)算方法一、 特殊行列式法1定義法當(dāng)行列式中含零元較多時(shí)，定義法可行例1 計(jì)算級行列式.解：按定義，易見或. 得 2三角形行列式法 利用行列式性質(zhì)，把行列式化成三角形行列式例2 計(jì)算級行列式解： 將的第行減去第一行化為三角形行列式，那么3爪形行列式法例3 計(jì)算行列式 解: 將的第+1列乘以都加到第1列，得4 范德蒙行列式法如 不是范德蒙行列式，但可以構(gòu)造一個(gè)4階范德蒙行列式假設(shè)將此行列式按第四列展開，那么中的系數(shù)就等于而中的系數(shù)就等于，所以例4 計(jì)算級行列式解：利用構(gòu)造一個(gè)階范德蒙行列式多項(xiàng)式中的系數(shù)為，而又是一個(gè)范德蒙行列式，即展開后的系數(shù)為，兩者應(yīng)相等，故當(dāng)時(shí)，還可寫成二、

2、連加法 假設(shè)行列式中某列行加上其余各列行，使該列行元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式計(jì)算的方法稱為連加法例5 計(jì)算階行列式解：它的特點(diǎn)是各列元素之和為，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得將第一行乘分別加到其余各行，化為三角形行列式，那么三、 加邊法 為了計(jì)算行列式，有時(shí)需要將它的級數(shù)放大，使升階后的行列式易于計(jì)算，從而求出原行列式這種方法叫加邊法，也叫升階法例6 計(jì)算級行列式解： 加邊得第一行乘以-1分別加到其余各行，化為爪形行列式四、 拆行列法一般地，當(dāng)行列式的一行列的元素能有規(guī)律地表示成兩項(xiàng)或多項(xiàng)和的形式，就可以考慮用拆為和的方法來進(jìn)展計(jì)算如 =例7 計(jì)算級行列式解：當(dāng)時(shí)，已

3、求得當(dāng)時(shí)，將的第列每個(gè)元寫成兩數(shù)之和，那么 + 其中 ， 將最后一行乘以-1分別加到其余各行再按第列展開得 ， 于是有+由于中的地位對稱，于是有+ 也可同上方法由，得五、 遞推法 這是解決具有對稱關(guān)系的行列式的計(jì)算方法例8 計(jì)算階行列式 解：按第一行展開，得即 由此遞推 ，即得 由于中與對稱，那么有 當(dāng)時(shí)，由，得 當(dāng)時(shí)，六、 數(shù)學(xué)歸納法 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展行列式計(jì)算，主要利用不完全歸納法尋找行列式的猜想值，再進(jìn)展證明例9 計(jì)算級行列式 解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 于是猜想 . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1） 當(dāng)時(shí)，顯然成立（2） 假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即當(dāng)時(shí)，將按第一列展開，易得由歸納假設(shè) ， 故得所以猜想成立即例10 計(jì)算級行列式解： 易見 ,于是猜想 . 下面對階數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)對階數(shù)小于時(shí)，結(jié)論成立. 將按第行展開，有所以猜想成立 七、 因式分解法如果行列式是某個(gè)變數(shù)的多項(xiàng)式，可對行列式施行某些變換，求出的互不一樣的一次因式，設(shè)這些一次因式的乘積為，那么，再比較與的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出值.例11 計(jì)算行列式解: 注意時(shí)， 所以，.同理均為的因式，所以 又與各不一樣，但的展開式中最高次項(xiàng)的