《隨機過程與排隊論》知識點復(fù)習(xí)

1、隨機過程與排隊論隨機過程與排隊論計算機科學(xué)與工程學(xué)院計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐顧小豐Email：TEL:2022年年3月月6日星期日日星期日2022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容1.1.概率論的基本知識概率論的基本知識2.2.隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念1)1)隨機過程的定義及分類隨機過程的定義及分類2)2)隨機過程的分布及數(shù)字特征隨機過程的分布及數(shù)字特征3.3.獨立過程與獨立增量過程獨立過程與獨立增量過程4.4.泊松過程泊松過程5.5.更新過程更新過程1401402 22022-3-62022-3

2、-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容6.6.馬爾可夫過程馬爾可夫過程1)1)馬爾可夫過程的概念馬爾可夫過程的概念2)2)離散參數(shù)馬氏鏈離散參數(shù)馬氏鏈3)3)齊次馬氏鏈狀態(tài)的分類齊次馬氏鏈狀態(tài)的分類4)4)連續(xù)參數(shù)馬氏鏈連續(xù)參數(shù)馬氏鏈5)5)生滅過程生滅過程1401403 32022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容7. 排隊系統(tǒng)概述排隊系統(tǒng)概述8. M/M/1/排隊排隊9. M/M/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)10.M/M/c/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)11.M/M/c/K混合制排隊系統(tǒng)混合制排隊系統(tǒng)12.M/M/c/m/

3、m系統(tǒng)及損失制系統(tǒng)系統(tǒng)及損失制系統(tǒng)13.有備用品的有備用品的M/M/c/m+K/m系統(tǒng)系統(tǒng)14.一般服務(wù)的一般服務(wù)的M/G/1/ 排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)1401404 42022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐一、概率論的基本知識一、概率論的基本知識 概率空間及其基本概念概率空間及其基本概念l隨機試驗、樣本點、樣本空間、隨機試驗、樣本點、樣本空間、隨機事件體隨機事件體l隨機事件、基本事件和可測空間隨機事件、基本事件和可測空間l概率、概率、概率空間、概率空間、概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)l條件概率、乘法公式、事件的獨立性、全概條件概率、乘法公式、事件的獨立性、全概率

4、公式與貝葉斯公式率公式與貝葉斯公式1401405 52022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1、條件概率空間、條件概率空間 設(shè)概率空間設(shè)概率空間(,F,P)，A F，B F，且，且P(A)0，在事件在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的發(fā)生的條件概條件概率率定義為：定義為：)A(P)AB(P)A|B(P 給定概率空間給定概率空間(,F,P)，A F，且，且P(B)0，對，對任意任意B F有有P(B|A)對應(yīng)，則條件概率對應(yīng)，則條件概率P(B|A)是是(,F)上的概率，記上的概率，記P(B|A)PA，則，則(,F,PA)也是也是一

5、個概率空間，稱為一個概率空間，稱為條件概率空間條件概率空間。1401406 62022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐2、乘法公式、乘法公式 設(shè)概率空間設(shè)概率空間(,F,P)，如果，如果A,B F，且，且P(AB)0，則下述乘法公式成立：，則下述乘法公式成立：P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)推廣：推廣： 設(shè)概率空間設(shè)概率空間(,F,P)，如果，如果Ai F，i=1,2,n且且P(A1A2An)0，則下述推廣的乘法公式成立：，則下述推廣的乘法公式成立： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2

6、An-1)1401407 72022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3、全概率公式與貝葉斯公式、全概率公式與貝葉斯公式 設(shè)事件組設(shè)事件組B1,B2,Bn兩兩互不相容，即兩兩互不相容，即BiBj (1ijn)，且，且 ，P(Bi)0，i=1,2,n，則對，則對任意事件任意事件A，有，有n1iiB 1. 全概率公式全概率公式：2. 貝葉斯公式貝葉斯公式：； n1iii)B|A(P)B(P)A(P， n1iiijjj)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)A|B(Pj=1,2,n。1401408 82022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小

7、豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐4、隨機變量及其分布、隨機變量及其分布一、隨機變量一、隨機變量設(shè)設(shè)(,F,P)為概率空間，如果定義樣本空間為概率空間，如果定義樣本空間上的一個單上的一個單值實函數(shù)值實函數(shù)XX( )，滿足，滿足 ：X( )x F -x+則稱則稱X( )為為隨機變量隨機變量。隨機變量縮寫為。隨機變量縮寫為r.v.。二、分布函數(shù)二、分布函數(shù) 設(shè)設(shè)XX()是概率空間是概率空間(,F,P)上的隨機變量，對上的隨機變量，對任意實數(shù)任意實數(shù)x，定義函數(shù)，定義函數(shù)F(x)PXx -x0）的的k階愛爾朗階愛爾朗分布分布，記為記為XEk，其分布函數(shù)為，其分布函數(shù)為 0 x, 00 x,! i)x(e1

8、)x(F1k0iix14014015152022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐8、二維隨機變量（向量）、二維隨機變量（向量） 如果如果X和和Y是定義在同一概率空間是定義在同一概率空間(,F,P)上的兩個隨機變上的兩個隨機變量，則稱量，則稱(X,Y)為為二維隨機變量二維隨機變量(向量向量) ，記為，記為二維二維r.v.(X,Y)。 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，定義函數(shù)是二維隨機變量，定義函數(shù)F(x,y)PXx,Yy，-x+，-y+為為r.v.(X,Y)的的二維聯(lián)合分布函數(shù)二維聯(lián)合分布函數(shù)。14014016162022-3-62022-3-6計算機科

9、學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐9 9、離散型二維隨機變量、離散型二維隨機變量 如果二維若隨機變量如果二維若隨機變量(X,Y)(X,Y)至多只取可列無窮多對數(shù)至多只取可列無窮多對數(shù)值值(x(xi i,y,yj j) )，i,j=1,2,i,j=1,2,，令，令p pijijPXPXx xi i,Y,Yy yj j ，它滿足：，它滿足：(1) p(1) pijij00， (2) (2) 1 1，則稱則稱(X,Y)(X,Y)為為離散型二維隨機變量離散型二維隨機變量。稱稱 p pijijPXPXx xi i,Y,Yy yj j ，i,j=1,2,i,j=1,2,為為(X,Y)(X,Y)的

10、的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律。稱。稱 1i1jijp為為(X,Y)(X,Y)的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。 xxyyijxxyyjiiiiip)yY,xXP)y, x(F14014017172022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐邊緣分布律、條件分布律邊緣分布律、條件分布律為為r.v.X的的邊緣分布律邊緣分布律。稱。稱, 2 , 1ipxXPp1jijii ，為為r.v.Y的的邊緣分布律邊緣分布律。稱。稱, 2 , 1jpyYPp1iijjj ，為在已知為在已知Y=yj的條件下，的條件下，r.v.X的的條件分布律條件分布律。稱。稱, 2 , 1j , ip

11、ppjijj | i ，為在已知為在已知X=xi的條件下，的條件下，r.v.Y的的條件分布律條件分布律。, 2 , 1j , ipppiiji | j ，如果如果pijpi. p.j，i,j=1,2,，則稱，則稱r.v.X與與Y相互獨立相互獨立稱稱14014018182022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐10、連續(xù)型二維隨機變量、連續(xù)型二維隨機變量 若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得二維，使得二維r.v.(X,Y)的聯(lián)合分的聯(lián)合分布函數(shù)滿足：布函數(shù)滿足： yxdudv)v,u( f)y, x(Fxy則稱則稱(X,Y)為為連續(xù)型二

12、維隨機變量連續(xù)型二維隨機變量，并稱，并稱f(x,y)為為連續(xù)型二維隨機變量的連續(xù)型二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱，簡稱聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度。14014019192022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐11、邊緣分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)設(shè)二維設(shè)二維r.v.(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，F(xiàn)X(x)F(x,+)，-x+稱為稱為r.v.X的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)。FY(y)F(+,y)，-y+稱為稱為r.v.Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)。設(shè)二維設(shè)二維r.v.(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(

13、x,y)， ，-x+稱為稱為r.v.X的的邊緣概率密度函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)。 ，-y+稱為稱為r.v.Y的的邊緣概率密度函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)。 dy)y, x( f)x(fX dx)y, x( f)y(fY14014020202022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐12、條件概率密度與條件分布函數(shù)、條件概率密度與條件分布函數(shù)fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)，-x+,-y+稱為已知稱為已知X=x的條件下，的條件下，r.v.Y的的條件概率密度條件概率密度。fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)，-x+,-y+稱為已知稱為已知Y=y的條件下，的條

14、件下，r.v.X的的條件概率密度條件概率密度。 dy)y, x( fdy)y, x( fdy)x|y(f)x|y(FyyX|YX|Y dx)y, x( fdx)y, x( fdx)y|x(f)y|x(FxxY|XY|X稱為已知稱為已知X=x的條件下，的條件下，r.v.Y的的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)。稱為已知稱為已知Y=y的條件下，的條件下，r.v.X的的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)。14014021212022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐13 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征1）數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期望若離散型若離散型r.v.X的分布律為的分布律為pk

15、PX=Xk，k=1,2,，當(dāng)，當(dāng)時，稱時，稱 k1kkpx 1kkkpx)X(E為為r.v.X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(均值均值)若連續(xù)型若連續(xù)型r.v.X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x),x (-,+)，當(dāng)，當(dāng) 時，稱時，稱 dx)x( fxdx)x(xf)X(E為為r.v.X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(均值均值)14014022222022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐2）方差）方差設(shè)設(shè)X是隨機變量，若是隨機變量，若EX-E(X)2存在，稱存在，稱D(X)EX-E(X)2為為r.v.X的的方差方差(或記為或記為Var(X)，稱，稱為為r.v.X的

16、的均方差均方差或或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。)X(DX 事實上有：事實上有：D(X)EX-E(X)2E(X22XE(X) E2(X)E(X2)-E2(X)14014023232022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3）常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差）常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差1) 泊松分布泊松分布X ( )：E(X)D(X) ；2) (負(fù)負(fù))指數(shù)分布：指數(shù)分布：E(X)1/ ，D(X)1/ 2；3) 正態(tài)分布正態(tài)分布XN( , 2)：E(X) ，D(X) 2；4) 愛爾朗分布愛爾朗分布XEk：E(X)k/ ，D(X)k/ 2。 14014024242022-3-

17、62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3）k階矩階矩設(shè)設(shè)r.v.X有有E(|X|k)+ ，E|X-E(X)|k+ ，則，則稱稱 kE(Xk)為為X的的k階原點矩階原點矩；稱稱 kE(|X|k)為為X的的k階絕對矩階絕對矩；稱稱 kEX-E(X)k為為X的的k階中心矩階中心矩；稱稱 kE|X-E(X)|k為為X的的k階絕對中心矩階絕對中心矩。14014025252022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐4）協(xié)方差）協(xié)方差若若EX-E(X)Y-E(Y)，稱，稱cov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)E(XY)-E(X)E(

18、Y)為隨機變量為隨機變量X和和Y的的協(xié)方差協(xié)方差，稱，稱)Y(D)X(D)Y,Xcov(XY 為隨機變量為隨機變量X和和Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)，稱，稱 XY0為隨機變量為隨機變量X和和Y不相關(guān)不相關(guān)。14014026262022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐5）協(xié)方差矩陣）協(xié)方差矩陣設(shè)設(shè)n維維r.v.(X1,X2,Xn)，若，若cijcov(Xi,Xj)EXi-E(Xi)Xj-E(Xj)i,j1,2,n存在，則稱存在，則稱為為n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn)的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣。 nn2n1nn22221n11211nnijccccc

19、cccc)c (C14014027272022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐6）特征函數(shù)）特征函數(shù)隨機變量隨機變量X的的特征函數(shù)特征函數(shù)定義為定義為 X(u)=E(eiuX)，i1當(dāng)當(dāng)r.v.X為離散型隨機變量時，為離散型隨機變量時， 1kkiuXXpe)u(k當(dāng)當(dāng)r.v.X為連續(xù)型隨機變量時，為連續(xù)型隨機變量時， dx)x(fe)u(XiuxX14014028282022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐二、二、隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念v 1、隨機過程、隨機過程 設(shè)設(shè)(,F,P)是一個概率空間

20、，是一個概率空間，T是一個參數(shù)集是一個參數(shù)集(T R)，X(t, )，t T，是是T 上的二元函上的二元函數(shù)，如果對于每一個數(shù)，如果對于每一個t T，X(t, )是是(,F,P)上的上的隨機變量，則稱隨機變量，則稱隨機變量族隨機變量族X(t, )，t T為定為定義在義在(,F,P)上的上的隨機過程隨機過程(或或隨機函數(shù)隨機函數(shù))。簡記。簡記為為X(t)，t T，其中，其中t稱為稱為參數(shù)參數(shù)，T稱為稱為參數(shù)集參數(shù)集。14014029292022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐2、樣本函數(shù)與狀態(tài)空間、樣本函數(shù)與狀態(tài)空間v 隨機過程隨機過程X(t, )是定

21、義在是定義在T 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)：一：一方面，方面，當(dāng)當(dāng)t T固定時，固定時，X(t, )是定義在是定義在上的隨上的隨機變量機變量；另一方面，；另一方面，當(dāng)當(dāng)固定時，固定時，X(t, )是是定義在定義在T上的函數(shù)上的函數(shù)，稱為隨機過程的，稱為隨機過程的樣本函數(shù)樣本函數(shù)。v 隨機過程在時刻隨機過程在時刻t所取的值所取的值X(t)=x稱為時刻稱為時刻t時隨時隨機過程機過程X(t),t T處于處于狀態(tài)狀態(tài)x，隨機過程，隨機過程X(t),t T所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間狀態(tài)空間，記為記為E，即：，即：Ex：X(t)=x,t T14014030302022-3-6202

22、2-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3、隨機過程的分類、隨機過程的分類1) 按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類2. 按概率分布規(guī)律分類按概率分布規(guī)律分類獨立過程獨立過程獨立增量過程獨立增量過程正態(tài)過程正態(tài)過程泊松過程泊松過程參數(shù)集參數(shù)集T 離散離散連續(xù)連續(xù)狀態(tài)空間狀態(tài)空間E 離散離散(離散參數(shù)離散參數(shù))鏈鏈(連續(xù)參數(shù)連續(xù)參數(shù))鏈鏈 連續(xù)連續(xù)隨機序列隨機序列隨機過程隨機過程維納過程維納過程平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程馬爾可夫過程馬爾可夫過程14014031312022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐4、隨機過程的分布、隨機過程的

23、分布 設(shè)設(shè)X(t),t T是一個隨機過程，對于每一個是一個隨機過程，對于每一個t T，X(t)是一個隨機變量，它的分布函數(shù)是一個隨機變量，它的分布函數(shù)F(t,x)PX(t)x，t T，x R=(- ,+ )稱為稱為隨機過程隨機過程X(t),t T的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)。 如果對于每一個如果對于每一個t T，隨機變量，隨機變量X(t)是連續(xù)型是連續(xù)型隨機變量，存在非負(fù)可積函數(shù)隨機變量，存在非負(fù)可積函數(shù)f(t,x)，使得，使得Rx,Tt ,dy)y, t ( f)x, t (Fx 則稱則稱f(t,x)，t T,x R為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的一一維概率密度維概率密度(函數(shù)函數(shù))

24、。此時。此時f(t,x)Fx(t,x)，t T，x R14014032322022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X(t),t T是一個隨機過程，對任意是一個隨機過程，對任意s,t T，(X(s),X(t)是一個二維隨機變量，它的聯(lián)合分布是一個二維隨機變量，它的聯(lián)合分布函數(shù)函數(shù)F(s,t;x,y)PX(s)x,X(t)y，t T，x R 稱為稱為隨機過程隨機過程X(t),t T的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)。14014033332022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐二維概率密度

25、二維概率密度 如果如果(X(s),X(t)是連續(xù)型二維隨機變量，是連續(xù)型二維隨機變量，存在非負(fù)可積函數(shù)存在非負(fù)可積函數(shù)f(s,t;x,y)，使得，使得Ry, xTt , s,dvdu)v,u; t , s ( f)y, x; t , s (Fxy 成立，則稱成立，則稱f(s,t;x,y)，s,t T，x,y R為隨機為隨機過程過程X(t),t T的的二維概率密度二維概率密度(函數(shù)函數(shù))。此。此時時yx)y, x; t , s (F)y, x; t , s ( f2 14014034342022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐5、隨機過程的數(shù)字特征、隨

26、機過程的數(shù)字特征給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，稱，稱m(t)EX(t)，t T為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的均值函數(shù)均值函數(shù)(數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望)。 若若X(t),t T的狀態(tài)空間是離散的，則的狀態(tài)空間是離散的，則X(t),t T是離散型隨機變量，是離散型隨機變量，X(t)的概率分布為的概率分布為pk(t)PX(t)=Xk，k=1,2,，則，則 1kkk) t (px)t (XE) t (m dx)x, t (xf)t (XE) t (m 若若X(t),t T的狀態(tài)空間是連續(xù)的，則的狀態(tài)空間是連續(xù)的，則X(t),t T是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量，X(t)的一維概率密

27、度為的一維概率密度為f(t,x)為，則為，則14014035352022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐方差函數(shù)方差函數(shù)給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，稱，稱D(t)DX(t)EX(t)m(t)2，t T為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的方差函數(shù)方差函數(shù)。顯然，。顯然，D(t)EX(t)m(t)2EX2(t)m2(t)。稱稱 為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的均方差函數(shù)均方差函數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)方差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方差函數(shù))。 若若X(t),t T是離散型隨機變量，是離散型隨機變量，X(t)的概率分布為的概率分布為pk(t)PX(t)=Xk，k=

28、1,2,，則，則 1kk2k2) t (p)t (mx()t (m) t (XE) t (D dx)x, t ( f)t (mx()t (m) t (XE) t (D22 若若X(t),t T是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量，X(t)的一維概率密度為的一維概率密度為f(t,x)為，則為，則) t (D) t ( 14014036362022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，稱，稱C(s,t)cov(X(s),X(t)EX(s)m(s)X(t)m(t)為隨機過程為隨機過程

29、X(t),t T的的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。顯然，。顯然，C(s,t)EX(s)X(t)m(s)m(t)，C(t,t)D(t)EX(t)m(t)2。 給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，稱，稱R(s,t)EX(s)X(t)為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)。顯然，。顯然，C(s,t)R(s,t)m(s)m(t)，R(s,t)C(s,t)m(s)m(t) 給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，稱，稱) t (D) s (D)t (X),s (Xcov() t () s () t , s (C) t , s ( 為隨機過程為隨機過程X(t),t T的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)

30、。14014037372022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐6、重要隨機過程、重要隨機過程1）獨立過程）獨立過程 給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，如果對，如果對任意正整數(shù)任意正整數(shù)n及及任意任意t1,t2,tn T，隨機變量，隨機變量X(t1),X(t2),X(tn)相互獨立，則稱隨機過程相互獨立，則稱隨機過程X(t),t T為為獨立過程獨立過程。 特別，如果特別，如果X(n),n=1,2,3,是是相互獨立的相互獨立的隨機隨機變量變量，則稱，則稱X(n),n=1,2,3,為為獨立隨機序列獨立隨機序列。 14014038382022-3-6

31、2022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐2）獨立增量過程）獨立增量過程 設(shè)隨機過程設(shè)隨機過程X(t),t T，T0,+ )，如果對任意正整數(shù)如果對任意正整數(shù)n 2，t1,t2,tn T且且t1t20,s+h,t+h TX(t+h)-X(s+h)與與X(t)-X(s)有相同的概率分布，則稱有相同的概率分布，則稱X(t),t T為為平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過程。14014040402022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐4）正態(tài)過程）正態(tài)過程給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，如果對任意正整數(shù)，如果對任意正整數(shù)n及及

32、t1,t2,tn T，n維隨機變量維隨機變量X (t1),X(t2),X(tn)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為n維正態(tài)分布，則稱隨機過程維正態(tài)分布，則稱隨機過程X(t),t T為為正態(tài)過程正態(tài)過程(或或高斯過程高斯過程)。設(shè)設(shè)X(t),t T為正態(tài)過程，則其有限維概率分為正態(tài)過程，則其有限維概率分布都是正態(tài)分布。布都是正態(tài)分布。14014041412022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的一維概率分布正態(tài)過程的一維概率分布均值函數(shù)均值函數(shù)方差函數(shù)方差函數(shù)一維概率分布一維概率分布一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)一維特征函數(shù)一維特征函數(shù))t (

33、XE) t (m )t (XD) t (D )t (D),t (m(N) t (XRx,Tt ,e) t (D21)x, t ( f) t (D2)t (mx2 Ru,Tt ,e)u, t (u) t (imu) t (D212 22()2X1( ),2xfxetT xR2 212X( ),ui uuet T uR14014042422022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的二維概率分布正態(tài)過程的二維概率分布均值函數(shù)向量均值函數(shù)向量二階協(xié)方差矩陣二階協(xié)方差矩陣二維概率分布二維概率分布二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維特征函數(shù)二維特征函數(shù) T

34、) t (m) s (m ) t (D) t , s (C) t , s (C) s (DC)C,(N)t (X),s (X(T yxx,eC21)y, x; t , s ( f)x( f)x(C)x(21211T vuu,e)v,u; t , s ()u(uuiuCu21TT14014043432022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐5） 維納過程維納過程(Brown運動運動)如果隨機過程如果隨機過程W(t),t0滿足下列條件：滿足下列條件：(1)W(0)0；(2)EW(t)0；(3)具有平穩(wěn)獨立增量；具有平穩(wěn)獨立增量；(4)t0，W(t)N(0,

35、2t)，(0)則 稱 隨 機 過 程則 稱 隨 機 過 程 W ( t ) , t 0 是 參 數(shù) 為是 參 數(shù) 為2的的 維 納 過維 納 過程程(或或布朗運動布朗運動)。14014044442022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的概率分布及數(shù)字特征維納過程的概率分布及數(shù)字特征一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)一維特征函數(shù)一維特征函數(shù)增量分布增量分布協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)Rx, 0t,et21)x, t ( ft2x22 Ru, 0t,e)u, t (22tu21 )st, 0(N) s (W) t (W2 ) t , smin() t ,

36、s (C2 設(shè)設(shè)ts ，因因W(0)=0, 且且W( t )是平穩(wěn)獨立增量是平穩(wěn)獨立增量過程，故過程，故有相同分布有相同分布N(0,2(ts).)()()()(sWsstWsWtW )()0()(stWWstW 與與14014045452022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的二維概率分布維納過程的二維概率分布均值函數(shù)向量均值函數(shù)向量二階協(xié)方差矩陣二階協(xié)方差矩陣二維概率分布二維概率分布二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維特征函數(shù)二維特征函數(shù) T00O st,tsssC2222 st),C,O(N)t (W),s (W(T )sysxy2tx(

37、)st ( s212222e) st ( s21)y, x; t , s ( f ts,e)v,u; t , s ()tvsuv2su(2222 14014046462022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的性質(zhì)維納過程的性質(zhì)1) 維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。2) 維納過程是正態(tài)過程。維納過程是正態(tài)過程。3) 維納過程是馬爾可夫過程。維納過程是馬爾可夫過程。14014047472022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐6）泊松過程）泊松過程如果取非負(fù)整數(shù)值的計數(shù)過程如果取非

38、負(fù)整數(shù)值的計數(shù)過程N(t),t 0滿足：滿足：1) N(0)0；2) 具有獨立增量；具有獨立增量；3) 對任意對任意0 s0,N(t) ( t),PN(t)=k；tke!k) t( 0ktkiuk) t (iuNe!k) t(ee E)u(2)均值函數(shù)均值函數(shù)m(t)EN(t) t；3)方差函數(shù)方差函數(shù)D(t)DN(t) t。2.一維特征函數(shù)一維特征函數(shù))1e( ttte0ktkiuiuiueeee!k)te( 14014050502022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐泊松過程的概率分布和數(shù)字特征泊松過程的概率分布和數(shù)字特征3.二維概率分布二維概率

39、分布PN(s)=j, N(t)=kPN(s)=j,N(t)-N(s)=k-jts)st (jksje)!jk()st (e! j) s( ts0,e)!jk( ! j) st (stjkjk PN(s)=jPN(t-s)=k-j14014051512022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐泊松過程的概率分布和數(shù)字特征泊松過程的概率分布和數(shù)字特征4.協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)C(s,t) min(s,t)，相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R(s,t) min(s,t) 2st。14014052522022-3-62022-3-6計算機科

40、學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐泊松過程的性質(zhì)泊松過程的性質(zhì) 泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程；泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程； 設(shè)設(shè)N(t),t 0是是參數(shù)為參數(shù)為 的泊松過程，的泊松過程，Tn,n=1,2,為點間間距序列，則為點間間距序列，則Tn,n=1,2,是相互獨立同分是相互獨立同分布的隨機變量，且都服從參數(shù)為布的隨機變量，且都服從參數(shù)為 的的(負(fù)負(fù))指數(shù)分布。指數(shù)分布。 設(shè)設(shè)N(t),t 0是是參數(shù)為參數(shù)為 的泊松過程，的泊松過程， n,n=1,2,為等待時間序列，則為等待時間序列，則 n (n, )，即概率密度，即概率密度為：為： 。0t, 0, 0t,et)n() t ( ft

41、1nn即即n階愛而朗分布。階愛而朗分布。14014053532022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐7、馬爾可夫過程、馬爾可夫過程定義定義1 給定隨機過程給定隨機過程X(t),t T，如果對于參數(shù)，如果對于參數(shù)中任意中任意n個時刻個時刻ti,i=1,2,n，t1t2tn有有PX(tn)xn|X(t1)=x1,X(t2)=x2,X(tn-1)=xn-1 PX(tn)xn|X(tn-1)=xn-1(3.1)則稱則稱隨機過程隨機過程X(t),t T為為馬爾可夫過程馬爾可夫過程，簡稱，簡稱馬氏過程馬氏過程。具有具有(3.1)式性質(zhì)稱為具有式性質(zhì)稱為具有馬爾可

42、夫性馬爾可夫性、無后效性無后效性或或無記憶性無記憶性。14014054542022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率定義定義2 給定馬氏過程給定馬氏過程X(t),t T，條件概率，條件概率p(s,t;x,y)PX(t)0，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限分布是方程組分布是方程組s , 2 , 1j,ps1iijij 在滿足條件在滿足條件1, 0s1jjj 下的唯一解。下的唯一解。14014061612022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3）齊次馬氏鏈的性質(zhì)（續(xù)）齊次馬氏

43、鏈的性質(zhì)（續(xù)） 設(shè)設(shè)齊次馬氏鏈齊次馬氏鏈X(n),n=0,1,2,具有遍歷性，則具有遍歷性，則Ej,)n(plimjjn 即遍歷的齊次馬氏鏈的絕對分布與轉(zhuǎn)移概率有相即遍歷的齊次馬氏鏈的絕對分布與轉(zhuǎn)移概率有相同的極限。同的極限。 遍歷的齊次馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布遍歷的齊次馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布 設(shè)設(shè)X(n),n=0,1,2,的平穩(wěn)分布為的平穩(wěn)分布為vj,j E，則，則有有VVPn，n=0,1,2,14014062622022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3）齊次馬氏鏈的性質(zhì)（續(xù)）齊次馬氏鏈的性質(zhì)（續(xù)） 如果齊次馬氏鏈如果齊次馬氏鏈X(n),n

44、=0,1,2,的初始分布的初始分布pj,j E恰好是平穩(wěn)分布，則對一切恰好是平穩(wěn)分布，則對一切n有有pj(n)pj， n=0,1,2,，j E 即即0nPP 14014063632022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3）齊次馬氏鏈的性質(zhì)（續(xù)）齊次馬氏鏈的性質(zhì)（續(xù)） 設(shè)設(shè)齊次馬氏鏈齊次馬氏鏈X(n),n=0,1,2,的狀態(tài)空間有的狀態(tài)空間有限限E=1,2,s，若存在正整數(shù)，若存在正整數(shù)n0,對任意對任意i,j E，n0步轉(zhuǎn)移概率步轉(zhuǎn)移概率pij(n0)0，則此鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限，則此鏈?zhǔn)潜闅v的，且極限分布等于平穩(wěn)分布。分布等于平穩(wěn)分布。 1, 0Pp

45、EjjjEiijij或記或記1401406464首返首返概率概率平均返平均返回時間回時間周期周期以三個層次區(qū)分狀態(tài)類型以三個層次區(qū)分狀態(tài)類型狀態(tài)狀態(tài)非常返態(tài)非常返態(tài)常返態(tài)常返態(tài)零常返態(tài)零常返態(tài)正常返態(tài)正常返態(tài)有周期有周期非周期非周期遍歷態(tài)遍歷態(tài)4）齊次馬氏鏈狀態(tài)的分類）齊次馬氏鏈狀態(tài)的分類2022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐14014065652022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐5）連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈）連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈 設(shè)設(shè)隨機過程隨機過程X(t),t 0，狀態(tài)空間，狀態(tài)空間E=0,1,2,。若對

46、于。若對于0t1t2tn0，使得對任意，使得對任意i,j E，都有，都有pij(t0)0，則此齊次馬氏鏈，則此齊次馬氏鏈X(t),t 0為遍歷的齊次馬氏鏈。為遍歷的齊次馬氏鏈。即即Ej,) t (plimjijt 存在且與存在且與i i無關(guān)，并且極限分布無關(guān)，并且極限分布 j j, ,j j EE是唯一的平穩(wěn)是唯一的平穩(wěn)分布：分布：。 EiijijEjjj) t (p, 1, 05.5. 對固定的對固定的i,ji,j，函數(shù)，函數(shù)p pijij(t)(t)是是t0t0的一致連續(xù)函數(shù)。的一致連續(xù)函數(shù)。6.6. 滿足連續(xù)性條件的連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈滿足連續(xù)性條件的連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈X(t),tX(t)

47、,t 0 0 存存在下列極限在下列極限ji,qt) t (plim)2(,qqt) t (p1lim)1(ijij0tiiiii0t 其中其中q qi i表示在時刻表示在時刻t t時通過狀態(tài)時通過狀態(tài)i i的的通過速度通過速度( (或或通過強通過強度度) )；q qijij表示時刻表示時刻t t時從狀態(tài)時從狀態(tài)i i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j j的的速度速度( (或或強強度度) )，q qijij統(tǒng)稱統(tǒng)稱轉(zhuǎn)移速度轉(zhuǎn)移速度。14014070702022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐轉(zhuǎn)移概率函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)移概率函數(shù)的性質(zhì)(續(xù)續(xù)2)7.設(shè)齊次馬氏鏈設(shè)齊次馬氏鏈

48、X(t),t 0，狀態(tài)空間，狀態(tài)空間E=0,1,2,s，其轉(zhuǎn)移速度，其轉(zhuǎn)移速度 ij ,Ejijiiijqq, 0q8.設(shè)設(shè)X(t),t 0為連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈，當(dāng)為連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈，當(dāng)qi+ ， qi 時，滿足柯爾莫哥洛夫后退微分方程時，滿足柯爾莫哥洛夫后退微分方程 ij ,Ejijq ik,Ekkjikijiij) t (pq) t (pqdt) t (dp即即P(t)QP(t)9.設(shè)設(shè)X(t),t 0為連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈為連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈,當(dāng)當(dāng)qi0，及及 j11jj211j10011，即，即 j，j=0,1,n,為平穩(wěn)分布。為平穩(wěn)分布。10jj j0，14014078782022-

49、3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐有限狀態(tài)有限狀態(tài)生滅過程的平穩(wěn)分布生滅過程的平穩(wěn)分布 有限狀態(tài)有限狀態(tài)E=0,1,2,N的生滅過程的生滅過程X(t),t 0是是遍歷的齊次連續(xù)參數(shù)馬氏鏈。生滅過程存在極限遍歷的齊次連續(xù)參數(shù)馬氏鏈。生滅過程存在極限分布即為平穩(wěn)分布分布即為平穩(wěn)分布 j,j E。 Q0即即 11N, 2 , 1j ,)(Ejj1N1NNN1j1j1j1jjjj110014014079792022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐有限狀態(tài)有限狀態(tài)生滅過程的平穩(wěn)分布的解生滅過程的平穩(wěn)分布的解解得生滅過程解

50、得生滅過程X(t),t 0，E=0,1,2,N的平穩(wěn)分布的平穩(wěn)分布 j,j E為：為： N, 2 , 1k,11kk1k0k211k10k1N1jj211j100 當(dāng)當(dāng) 0 1 N-1 ， 1 2 N 時，有時，有 N, 2 , 1k,0jk1jN0j014014080802022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐無限狀態(tài)無限狀態(tài)生滅過程的平穩(wěn)分布生滅過程的平穩(wěn)分布無限狀態(tài)無限狀態(tài)E=0,1,2,的生滅過程的生滅過程X(t),t 0若滿足若滿足 1, 2 , 1j ,)(Ejj1j1j1j1jjjj1100是遍歷的齊次連續(xù)參數(shù)馬氏鏈。生滅過程存在極限分

51、布是遍歷的齊次連續(xù)參數(shù)馬氏鏈。生滅過程存在極限分布即為平穩(wěn)分布即為平穩(wěn)分布 j,j E。 Q0即即 1jj211j101及及 j11jj211j1001114014081812022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐無限狀態(tài)無限狀態(tài)生滅過程的平穩(wěn)分布的解生滅過程的平穩(wěn)分布的解 解得生滅過程解得生滅過程X(t),t 0，E=0,1,2,的平穩(wěn)分布的平穩(wěn)分布 j,j E為：為： , 3 , 2 , 1k,11kk1k0k211k10k11jj211j100特別，當(dāng)特別，當(dāng) 0 1 = 2 ， 1 2 3 時，只要時，只要 / 1，則，則 j,j E存在，且

52、存在，且有有, 2 , 1 , 0k,1kk 14014082822022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐 等待時間等待時間：顧客進入系統(tǒng)的時刻起到開始接受服務(wù)止這：顧客進入系統(tǒng)的時刻起到開始接受服務(wù)止這段時間段時間 逗留時間逗留時間：顧客在系統(tǒng)中的等待時間與服務(wù)時間之和：顧客在系統(tǒng)中的等待時間與服務(wù)時間之和三、三、 排隊論排隊論隊長隊長：系統(tǒng)中的顧客數(shù)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)(包括正在接受服務(wù)的顧客包括正在接受服務(wù)的顧客)等待隊長等待隊長：系統(tǒng)中的排隊等待的顧客數(shù)：系統(tǒng)中的排隊等待的顧客數(shù)它們都是隨機變量，是顧客和服務(wù)它們都是隨機變量，是顧客和服務(wù)機構(gòu)雙方

53、都十分關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，機構(gòu)雙方都十分關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，應(yīng)確定它們的分布及有關(guān)矩。應(yīng)確定它們的分布及有關(guān)矩。 系統(tǒng)的忙期系統(tǒng)的忙期：從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務(wù)立即開始，：從顧客到達空閑的系統(tǒng)，服務(wù)立即開始，直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e的這段系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間直到系統(tǒng)再次變?yōu)榭臻e的這段系統(tǒng)連續(xù)繁忙的時間 系統(tǒng)的閑期系統(tǒng)的閑期：系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時間：系統(tǒng)連續(xù)保持空閑的時間 忙期循環(huán)忙期循環(huán)：相鄰兩次忙期開始的時間間隔：相鄰兩次忙期開始的時間間隔 輸出過程輸出過程：也稱：也稱離去過程離去過程，指接受服務(wù)完畢的顧客相繼，指接受服務(wù)完畢的顧客相繼離開系統(tǒng)的過程。離開系統(tǒng)的過程。在假定到達與服務(wù)是彼此獨立的條在假定

54、到達與服務(wù)是彼此獨立的條件下，等待時間與服務(wù)時間是相互件下，等待時間與服務(wù)時間是相互獨立的。它們是顧客最關(guān)心的數(shù)量獨立的。它們是顧客最關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，應(yīng)用中關(guān)心的是統(tǒng)計平衡下指標(biāo)，應(yīng)用中關(guān)心的是統(tǒng)計平衡下它們的分布及期望值。它們的分布及期望值。忙期反映了系統(tǒng)中服務(wù)員的工作強忙期反映了系統(tǒng)中服務(wù)員的工作強度。在排隊系統(tǒng)中，統(tǒng)計平衡下忙度。在排隊系統(tǒng)中，統(tǒng)計平衡下忙期與閑期是交替出現(xiàn)的。期與閑期是交替出現(xiàn)的?？坍嬢敵鲞^程的主要指標(biāo)是相繼離刻畫輸出過程的主要指標(biāo)是相繼離去的間隔時間和在一段已知時間內(nèi)去的間隔時間和在一段已知時間內(nèi)離去顧客的數(shù)目，這些指標(biāo)從一個離去顧客的數(shù)目，這些指標(biāo)從一個側(cè)面反映了系

55、統(tǒng)的工作效率。側(cè)面反映了系統(tǒng)的工作效率。14014083832022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1、M/M/1/ 1) 問題的敘述問題的敘述v 顧客顧客到達為參數(shù)到達為參數(shù) ( 0)的泊松過程的泊松過程，即相繼到達的，即相繼到達的間隔間隔時間序列時間序列 n，n 1獨立、獨立、服從參數(shù)為服從參數(shù)為 ( 0)的負(fù)指數(shù)分的負(fù)指數(shù)分布布F(t)1-e- t，t 0；v 顧客顧客所需的服務(wù)時間序列所需的服務(wù)時間序列 n,n 1獨立、獨立、服從參數(shù)為服從參數(shù)為 ( 0)的負(fù)指數(shù)分布的負(fù)指數(shù)分布G(t)1-e- t，t 0；v 系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺；系統(tǒng)中只

56、有一個服務(wù)臺；v 容量為無窮大，而且到達過程與服務(wù)過程彼此獨立。容量為無窮大，而且到達過程與服務(wù)過程彼此獨立。輸入過程輸入過程服務(wù)時間，排服務(wù)時間，排隊隊服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu)系統(tǒng)容量系統(tǒng)容量14014084842022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1) 隊長隊長 2| ji |) t(o1i , 1ij) t(ot0i , 1ij) t(ot) t(pijN(t)，t 0是可列無限狀態(tài)是可列無限狀態(tài)E0,1,2,上的生滅過程，上的生滅過程，其參數(shù)為其參數(shù)為 1i,0i,ii14014085852022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計

57、算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1) 隊長（續(xù)）隊長（續(xù)）在統(tǒng)計平衡的條件下在統(tǒng)計平衡的條件下( 1)，1,1)1( jjp)N(ENj0j0jj 平均隊長平均隊長 1j,p0j,pp jNP1j10q等待隊長的分布等待隊長的分布1,1)1( jjpN20j0j1jq1j 平均等待隊長平均等待隊長14014086862022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1) 隊長（續(xù)）隊長（續(xù)）1j , 1,)1()1(1NP jNP1NP1N, jNP1N| jNP1j21jqqqqqqq 在等待條件下的等待隊長分布在等待條件下的等待隊長分布1,11)1N|N(Eqq

58、在等待條件下的平均等待隊長在等待條件下的平均等待隊長根據(jù)隊長分布易知：根據(jù)隊長分布易知： p0=1 也是也是系統(tǒng)空閑的概率系統(tǒng)空閑的概率，而，而 正是正是系系統(tǒng)繁忙的概率統(tǒng)繁忙的概率。顯然，。顯然， 越大，系統(tǒng)就越繁忙越大，系統(tǒng)就越繁忙。14014087872022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐2）等待時間與逗留時間）等待時間與逗留時間1) 假定顧客是先到先服務(wù)。假定顧客是先到先服務(wù)。 定理定理 在統(tǒng)計平衡在統(tǒng)計平衡( 0)的泊松過程的泊松過程 ；v 顧客到達看到隊長為顧客到達看到隊長為k時，進入系統(tǒng)的概率為時，進入系統(tǒng)的概率為ak(0ak1)，1

59、a0a1ak0(k )，即排隊越長進入的，即排隊越長進入的可能性越小可能性越小(令令ak )；v 顧客所需的服務(wù)時間序列顧客所需的服務(wù)時間序列 n,n 1獨立、服從參數(shù)為獨立、服從參數(shù)為 ( 0)的負(fù)指數(shù)分布；的負(fù)指數(shù)分布；v 系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺；系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺；v 容量為無窮大，而且到達過程與服務(wù)過程彼此獨立。容量為無窮大，而且到達過程與服務(wù)過程彼此獨立。1k1 14014091912022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1）隊長）隊長我們?nèi)杂梦覀內(nèi)杂肗(t)表示在時刻表示在時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，系統(tǒng)中的顧客數(shù)，令令pij( t)PN(t+

60、 t)j|N(t)i，i,j0,1,2, 2| ji |),t(o1i , 1ij),t(ot0i , 1ij),t(ot1i) t(pij于是，于是，N(t)，t 0是是E0,1,2,上的生滅過程，其參數(shù)上的生滅過程，其參數(shù)為為 1i,0i,1iii14014092922022-3-62022-3-6計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐計算機科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐1）隊長（續(xù)）隊長（續(xù)）定理定理 令令pj ，j=0,1,2,，則對一切，則對一切 ，pj，j 0存在，與初始條件無關(guān)，且存在，與初始條件無關(guān)，且 ) t (plimjt , 2 , 1 , 0j ,e! jpjj 構(gòu)成參數(shù)為構(gòu)成參數(shù)為 的泊松