幾種求極限方法的總結(jié)

1、幾種求極限方法的總結(jié).通過(guò)Sn對(duì)求極限摘要極限是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，也是數(shù)學(xué)分析中最基礎(chǔ)最重要的內(nèi)容洛必達(dá)泰勒公式數(shù)列求和定積分定積分?jǐn)?shù)列的學(xué)習(xí)和深入研究，我總結(jié)出十二種求極限的方法關(guān)鍵詞定義夾逼定理單調(diào)有界無(wú)窮小1用定義求極限11根據(jù)極限的定義:數(shù)列Xn收斂Ua,Vs0,3NN+，當(dāng)nN時(shí)，有xn-a例1用定義證明.nlim=1n1證明：V6A0,要使不等式-1n+1成立：解得n1一1，取N=J-1l于J口-1是-；0,N=1-1I,VnNJn-1n1z,即limn=1n、：n12利用兩邊夾定理求極限口2+2Un2+3Un2+n/例2求極限limj1+n，n21,n解：設(shè)Cn=+-.n21

2、.n22則有：cn_1_n2nnn2n同時(shí)有：Cn10),求limxnn一二：解：顯然%是單調(diào)增加的。我們來(lái)證明它是有界的.易見(jiàn)X2=；a+Xi,X3=ja+X2，Xn=,a+Xn，從而Xn2=a+XnA,顯然Xn是單調(diào)增加的，所以Xn2a+Xn兩段除以4,得Xn（且十1=a：=12=1+a解得1=ZI24利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限口關(guān)于無(wú)窮小的性質(zhì)有三個(gè)，但應(yīng)用最多的性質(zhì)是：若函數(shù)f（X）（XTa）是無(wú)窮小,函數(shù)g（X）在U（a,“）有界，則函數(shù)f（X）*g（X）（Xta）是無(wú)窮小.例求極限圾（COS*。1-COS向x1x解4cos.x1-cos、x-2sin()sin(22dx+1Vx丁-2s

3、in(+)二1n_.，11sin-cos-xxx例7求極限lim皿x9tan3xtanx解lim=xtan3x2,、，3(tanx)(cos3x)-6cos3xsin3xsin6x6cos6x-6-lim=lim二lim二lim二lim二二3x(tan3x),x3(cosx)x6cosxsinxxsin2xx2cos2x-2222227利用泰勒公式求極限22例8:求極限lim/x_n-1xsinx-cosxx-、r2,，一，一一2一斛-J二中分子為x,二將各函數(shù)展開(kāi)到含x項(xiàng)。.1xsinx-cosx01),求n%an31解：遞推公式可化為3(an七-an由)=an+-an設(shè)bn=an+-an，

4、bn1_1bn一3以，b1=a2a11,b2=a3-a2將以上各式相加得1-擊=an=13r1-311an-a1二1一3321335-l.L.-liman=5223nn二2(1)如果數(shù)列極限存在設(shè)為A,則根據(jù)遞推公式求出A.令數(shù)列的第n項(xiàng)記為A+an,利用無(wú)窮小和極限的關(guān)系，只需證明anT0(nT笛)，便可確定數(shù)列的極限確實(shí)存在且就為A.例15證明數(shù)列2,2+1,2+，極限存在并求出這個(gè)極限312c122解：由題意知遞推關(guān)系為an+=2+工，若數(shù)列的極限存在并設(shè)為A,則A=21anA設(shè)an=1+j2+Pn，有遞推關(guān)系得1+&+Pn書=2+,即P0y=!二出1x2n1.2n因?yàn)镻n=an-(1+

5、72)=2+,-(1+J5)=1-4萬(wàn)+，而anan1an2=凡|1=Pn+I3|=|W；n但2=1+42+BB=12,所以01Pn4即PnT0(nT叼由此推出數(shù)列的極限存在并且就為1+五2212利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限1當(dāng)計(jì)算的題目形式很復(fù)雜時(shí)，可以作一個(gè)級(jí)數(shù)，看其是否收斂.再根據(jù)收斂的必要條件計(jì)算極限.收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)Q0、Unn1收斂，則u；0n(n：)n例16計(jì)算limn:(n!)2n解：作級(jí)數(shù)V，令nf(n!)2UnnnUn1；lim二lim(n!)2n-unn，二i1n1-ne二lim=0:n1111h=a4一a3=2bni=an-an1=n332-一3nnn、一，,一,一-nn有達(dá)朗貝爾判別法知n一收斂.又有級(jí)數(shù)收斂的必要條件=lim-2=0n4（n!）2n-（n!）2參考文獻(xiàn)1陳傳璋金福臨朱學(xué)炎數(shù)學(xué)分析（第二版）高等教育出版社.1983.712解紅霞.淺談求極限的幾種方法.太原教