傅里葉變換的基本性質(zhì)

1、3-5傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實際信號分析中，經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。一、線性傅里葉變換是一種線性運算。若則其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)Fj）。解因由式（3-55）得二、對稱性若證明因為有將上式中變量切換為x,積分結(jié)果不變，即再將t用6代之，上述關(guān)系依然成立，即最后再將x用t代替，則得所以證畢若f是一個偶函數(shù)，即f（V=f，相應(yīng)有f（F）=f，則式（3-56）成

2、為可見，傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)2n。式中的一表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例如例3-7若信號f的傅里葉變換為試求f。解將F(j6)中的切換成t,并考慮F(jco)為8的實函數(shù)，有該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為根據(jù)對稱性故再將f(F)中的0換成t,則得f(t)為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。三、折疊性若則四、尺度變換性觀看動畫若則證明因a>0,由令x=at,則dx=adt,代入前式，可得oF(j1)函數(shù)f(at)表示f(t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)a倍，而a則表示F(j6)沿頻率軸擴展(或

3、頻率尺度壓縮)a倍。該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8已知，求頻譜函數(shù)F(jo)0解前面已討論了的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性，信號f(t)比fo(t)的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù)兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。五、時移性此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域f(t)平移時間to,則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變8t0。例3-9求f(t)=t:二0,t.的頻譜函數(shù)F(j)解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有六、頻移性頻移性說明若信號f乘

4、以e三即，相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e.，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移舊。,亦即整個頻譜相應(yīng)地搬移了8。位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號f乘以所謂載頻信號cos00t或sin%t,即七、時域微分性證明因為兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得所以同理，可推出例3-10求f=a的頻譜函數(shù)F(。解：因為由時域微分性例3-11圖3-22所示信號,為三角形函數(shù)求其頻譜函數(shù)F(j8)。解：將f(t)微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達(dá)式為由微分性所以八、頻域微分性若則例3-12求f=tU的頻譜函數(shù)F(。

5、解：因為根據(jù)頻域微分性九、時域積分性若則例3-13根據(jù)臺修1和積分性求f(t)=U的頻譜函數(shù)。解：因為根據(jù)時域積分性例3-14求圖3-23所示信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j«)0解：f(t)對t求兩次微分后，得且由時域積分性十、頻域積分性若則f(t)*“)例3-15已知t，求F(J。)。解：因為根據(jù)頻域積分性十一、時域卷積定理若則證明例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)可看做為兩個如圖324(b)所示門函數(shù)Gx(t)卷積。試?yán)脮r域卷積定理求其頻譜函數(shù)F(®。解：因又所以工例3-17一個彳t號f(t)的希伯特變換f(t)是f和多的卷積,即解：因為則對稱性有由時域卷積定理

6、即十二、頻域卷積定理若則或例3-18利用頻域卷積定理求f(t)=tU(t)的傅里葉變換F(jco)解：因為由對稱性有所以根據(jù)頻域卷積定理有即十三、帕塞瓦爾定理若則可推廣若fl(t)為實函數(shù)，則若fi(t),f2(t)為實函數(shù),則oO行卡"Sa2()d例3-19求用。解：因由帕塞瓦爾定理可得十四、奇偶性若f(t)HF(js)=F(We»=R(s)+jX(s),則(1)當(dāng)f為實函數(shù)時，則若f(t)為實偶函數(shù)，即f(t)=f(t),則若“"為實奇函數(shù)，即f(t)=-f(-t),則(2)當(dāng)f為虛函數(shù)，即f(t)=jx(t)時，則傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本