巖石彈塑性本構(gòu)模型

1、引言1、不僅靜水壓力可以引起巖石塑性體積的變化，而且偏應(yīng)力也可能引起塑性體積應(yīng)變剪脹；2、巖石屈服準(zhǔn)則不僅考慮剪切屈服，還要考慮體積應(yīng)變屈服，表現(xiàn)在屈服面上，巖石塑性力學(xué)的屈服面是封閉的，且越來越多的采用雙屈服面和多重屈服面；3、巖石塑性力學(xué)不受穩(wěn)定材料的限制，可考慮出現(xiàn)軟化階段的所謂不穩(wěn)定材料；巖石塑性力學(xué)的特點(diǎn)一、非線性彈性理論 在巖石力學(xué)中使用彈塑性理論是將巖石介質(zhì)看作是一種連續(xù)介質(zhì)，嚴(yán)格來說，巖石介質(zhì)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系都是非線性的。 本構(gòu)關(guān)系是關(guān)于一個(gè)物質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)性質(zhì)，一般認(rèn)為他是與應(yīng)力和應(yīng)變有關(guān)，而與應(yīng)力梯度和應(yīng)變梯度無關(guān)。為了直觀的描述質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)，引入應(yīng)力空間和應(yīng)變空間兩個(gè)概念。按

2、Cauchy方法可以這樣定義彈性介質(zhì)：在外力作用下，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，彈性介質(zhì)的響應(yīng)僅與當(dāng)時(shí)的狀態(tài)有關(guān)，而與應(yīng)力路徑或應(yīng)變路徑無關(guān)，假設(shè)了應(yīng)力和應(yīng)變都是瞬時(shí)發(fā)生的。用用CauchyCauchy方法給出的本構(gòu)方程方法給出的本構(gòu)方程用全量形式表示各向同性的彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系如下：ssij1+vv=ijkkijssEE 223ijsskkijs ijKGG s 和svsE式中：是材料的割線楊氏模量； 是割線泊松比；ssKG是割線體積模量；是割線剪切模量；用增量形式表示各向同性的彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系如下：ij1+vv=ttijkkijttdddEE 223ijttk

3、kijtijdKGdG ds 和vttE式中：是材料的切線楊氏模量； 是切線泊松比；ttKG是切線體積模量；是切線剪切模量；二、應(yīng)力空間表述的彈塑性本構(gòu)關(guān)系1、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的多值性同一應(yīng)力有多個(gè)應(yīng)變值與它對(duì)應(yīng)，本構(gòu)關(guān)系采用應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系表達(dá)。據(jù)R.P.Miller（米勒）1965年，對(duì)28類巖石進(jìn)行巖石力學(xué)性質(zhì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將單軸壓縮下應(yīng)力-應(yīng)變曲線（只（只考慮峰前曲線，破壞之前）考慮峰前曲線，破壞之前）概括地劃分成如圖所示的六種類型。常溫常壓下巖石的典型應(yīng)力常溫常壓下巖石的典型應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線如圖所示為一般巖石在普通室溫和大氣壓條件下進(jìn)行的單軸壓縮試驗(yàn)典型應(yīng)力-應(yīng)變曲線，曲線大

4、致分為四個(gè)區(qū)域：第I階段（OA段）：應(yīng)力-應(yīng)變曲線上彎，即隨著變形的增加，產(chǎn)生同樣大小的應(yīng)變所需增加的應(yīng)力越來越大；第II階段（AB段）：應(yīng)力-應(yīng)變曲線接近與直線，它的斜率即為巖石的彈性模量E，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限或屈服應(yīng)力；第III階段（BC段）：曲線逐漸下彎，C點(diǎn)處達(dá)到峰值，其對(duì)應(yīng)的壓應(yīng)力值稱為壓縮強(qiáng)度，在這區(qū)域任何點(diǎn)P處卸載，應(yīng)力應(yīng)變將沿PQ下降，當(dāng)壓應(yīng)力降為零時(shí)，應(yīng)變卻沒有完全消失，說明巖石中存在殘余應(yīng)變，稱為塑性變形，如果重新加載，應(yīng)力-應(yīng)變將沿QR上升至R點(diǎn)，巖石僅發(fā)生彈性變形，相當(dāng)于把彈性極限從B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值提高到R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。第IV階段（CD段

5、）：出現(xiàn)應(yīng)力降低、應(yīng)變?cè)黾拥默F(xiàn)象，稱為應(yīng)變軟化。巖石單軸壓縮試驗(yàn)表明：（1）在塑性狀態(tài)，彈塑性材料具有歷史相關(guān)性或路徑相關(guān)性，這使得本構(gòu)方程的表述要比非線性彈性復(fù)雜；（2）巖石體積應(yīng)變和平均壓力之間不是線性的，巖石體積應(yīng)變既有靜水壓力作用下的壓縮體積應(yīng)變，又有受剪引起的塑性體積應(yīng)變。在硬化階段，壓縮體積應(yīng)變是主要的，表現(xiàn)為巖石的體積壓縮。而在軟化階段，巖石的塑性體積應(yīng)變不斷增大，巖石體積膨脹，稱為剪脹現(xiàn)象；（3）巖石具有明顯的Bauschinger效應(yīng)。本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性塑性階段本構(gòu)關(guān)系包括三組方程：屈服條件：塑性狀態(tài)的應(yīng)力條件加-卸載準(zhǔn)則：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后繼續(xù)塑性變形或回到彈

6、性狀態(tài)的準(zhǔn)則，通式寫成：本構(gòu)方程：ijaH=0 ，ijij=ijijfdf d 或 2、巖石屈服條件和屈服面從彈性狀態(tài)開始第一次屈服的屈服條件稱初始屈服條件，他可以表示為：當(dāng)產(chǎn)生了塑性變形，屈服條件的形式發(fā)生變化，此時(shí)的屈服條件稱后繼屈服條件，他可以表示為：0ijf,0pijijfijppijklklD其中，1 2=.ppijijppijijpppijijdd 對(duì)于一個(gè)介質(zhì)指點(diǎn)，它的狀態(tài)可以用外變量 ，內(nèi)變量 和 來完全表述。一般的，使分f0的狀態(tài)是不存在的。ijpij（1）等向硬化-軟化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面做均勻擴(kuò)大（硬化）或均勻收縮（軟化），如果 是初始屈服面，那么等向硬化-軟化模

7、型的后繼屈服面可表示為硬化材料的屈服面模型硬化材料的屈服面模型*0f *0ijffH（2）隨動(dòng)硬化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面的大小和形狀保持不變，僅是整體的在應(yīng)力空間中做平動(dòng)，其后繼屈服面可表示為*0pijijff（3）混合硬化模型：對(duì)于大多數(shù)實(shí)際材料，屈服面的硬化規(guī)律大概介于等向硬化-軟化和隨動(dòng)硬化之間，這種模型的后繼屈服面可表示為 *0pijijffH庫倫（庫倫（CoulombCoulomb）屈服條件）屈服條件庫倫屈服條件是一種等向硬化-軟化模型，他認(rèn)為當(dāng)材料某平面的剪應(yīng)力達(dá)到某一特定值時(shí)，材料就進(jìn)入屈服，而這一特定值不僅與材料自身性質(zhì)有關(guān)，而且與該平面上的正應(yīng)力有關(guān)，一般表示為主應(yīng)力的

8、表示形式為tannc123131211,sincos022fc 德魯克德魯克- -普拉格（普拉格（Drucker-PragerDrucker-Prager）屈服條件）屈服條件德魯克-普拉格屈服條件也是一種等向硬化-軟化模型，在做彈塑性分析時(shí)，多采用德魯克-普拉格屈服準(zhǔn)則，屈服函數(shù)可表示為式中：12120fIJK11123=+II是應(yīng)力第一不變量，222221223311=-+-+-2JJ 是應(yīng)力偏量第二不變量，122sin/ 93 sin;122K3c cos/ 93 sin。在主應(yīng)力空間中，庫倫屈服條件是一個(gè)六棱錐，德魯克-普拉格屈服條件是一個(gè)圓錐，以上兩種屈服條件在平面上的幾何圖形如圖所示

9、。3、塑性狀態(tài)的加-卸載準(zhǔn)則（1）對(duì)理想塑性材料（2）對(duì)硬化材料 00ijijfdfd000ijijfdfd卸載加載中性加載塑性加載塑性卸載塑性狀態(tài)時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是多值的，取決材料性質(zhì)和加載-卸載歷史。1）全量理論：描述塑性變形中全量關(guān)系的理論，稱形變理論或小變性理論。漢基（Hencky）、依留申等依據(jù)類似彈性理論的廣義胡克定律，提出如下公式：4、彈塑性本構(gòu)方程2,2,2,xxmxxmxyxyyymyymyzyzzzmzzmzxzxGGGGGG=3 ,iiiimmGG式中：是一個(gè)與應(yīng)力（或塑性應(yīng)變）有關(guān)的參數(shù)。是一個(gè)變量，為等效應(yīng)力， 為等效應(yīng)變；為體積應(yīng)變；為平均應(yīng)力。2）增量理論：描述應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽块g關(guān)系的理論，又稱流動(dòng)理論。應(yīng)變的變化可分成彈性的和塑性的兩部分： 彈性應(yīng)力增量與彈性應(yīng)變?cè)隽恐g仍有常彈性矩陣D聯(lián)系，塑性應(yīng)變?cè)隽坑伤苄詣?shì)理論給出對(duì)彈塑性介質(zhì)存在塑性勢(shì)函數(shù)Q，它是應(yīng)力狀態(tài)和塑性應(yīng)變的函數(shù)，使得：epijijijdd