3.2向量及其線性組合1ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 向量與向量組向量與向量組 的線性組合的線性組合一、向量及其線性運算n維向量維向量 :12:naaa 稱為列向量稱為列向量定義定義3.13.11.1.向量的定義向量的定義 寫成一列的寫成一列的 n 維向量維向量, 稱為列向量稱為列向量, 也就是列矩陣也就是列矩陣,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:12(,.,)Tna aa 3211 0532 1223 11744 那么那么1, 2, 3, 4都是都是列向量列向量.1(2,3),T 2(4,2),T 假設假設那么那么1T, 2T 都是行向量都是行向量. 1. 行向量和列向量總被看作是不同的向量行向量和列向量總被看作是

2、不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩陣運算法則進行運算行向量和列向量都按照矩陣運算法則進行運算; 3. 當沒有明確說明是行向量還是列向量時當沒有明確說明是行向量還是列向量時, 都當作都當作 列向量列向量.注：注： 寫成一行的寫成一行的 n 維向量維向量, 稱為行向量稱為行向量, 也就是行矩陣也就是行矩陣,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示. 如，如，零向量：零向量：分分量量都都是是零零的的向向量量，叫叫作作零零向向量量，記記作作o. 即即 )0,.,0 , 0( o注：維數(shù)不同的零向量是不相同的。注：維數(shù)不同的零向量是不相同的。負向量：負向量：),.,(21naaa 向量

3、相等：向量相等：記記作作 2.2.向量的線性運算向量的線性運算定義定義3.23.2即即),.,(),.,(),.,(22112121nnnnbabababbbaaa （1向量的加法向量的加法（2向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘定義定義3.33.3減法減法 與與 的的和和稱稱為為 與與 的的差差，記記作作 ，即即),.,(),.,(),.,()(22112121nnnnbabababbbaaa 向量的線性運算向量的線性運算 向量加法及向量數(shù)乘兩種運算，統(tǒng)向量加法及向量數(shù)乘兩種運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算稱為向量的線性運算.3. n維向量空間定義定義3.43.41212(,),nTnnRxx xxx xxR 一

4、切一切維實向量的集合記為維實向量的集合記為nRn，即，我們稱它是指在它是指在nRnR是是n維向量空間，維向量空間，運算，并且運算，并且中定義了加法及數(shù)乘中定義了加法及數(shù)乘并且這兩種運算滿足一下并且這兩種運算滿足一下8 8條規(guī)律：條規(guī)律：(1) )()()2( o)3(o )()4( lklk )()5( kkk )()6()()()7( lkkl 1)8(4. 向量組向量組 若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組. 3211 0532 1223 11744 構成的向量組構成的向量組1, 2, 3, 4為列向量組為列向量組.)3 , 2(1 T )2 , 4(2 T 由由

5、構成的向量組構成的向量組1T, 2T為行向量組為行向量組.（1任何一個含有有限個向量的向量組，都可以構成任何一個含有有限個向量的向量組，都可以構成一個矩陣一個矩陣. n個個m維列向量所組成的列向量組維列向量所組成的列向量組12 (,)nA mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211構成一個構成一個 m mn n 矩陣矩陣12 ,n 闡明：闡明： TmTTA 21 m個個n維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組1T, 2T, mT 構成一個構成一個mn矩陣矩陣 mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211（2任何一個矩陣都可以構成一

6、個向量組任何一個矩陣都可以構成一個向量組.一個一個mn矩陣矩陣A mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaaA212222211112111 2 j n 其全體列向量構成一個含有其全體列向量構成一個含有n個個m維列向量的向量組維列向量的向量組稱其為矩陣稱其為矩陣A的列向量組的列向量組. 1T 2T Tm 其全體行向量構成一個含有其全體行向量構成一個含有 m個個n維行向量的向量組維行向量的向量組稱其為矩陣稱其為矩陣A的行向量組的行向量組. 12,n 12,TTTm .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn（3 3線性方程組的向量

7、表示線性方程組的向量表示. .111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 12nxxx 12mbbb 因此線性方程組的矩陣形式因此線性方程組的矩陣形式bAx 利用矩陣乘法，上述方程組可表示為利用矩陣乘法，上述方程組可表示為利用分塊矩陣及其乘法，得利用分塊矩陣及其乘法，得111212122212nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx 12mbbb 1 2 n b將上述矩陣進行相應分塊，將上述矩陣進行相應分塊，1212(,)nnxxbx 以后要熟悉線性方程組的這兩種表示形式：以后要熟悉線性方程組的這兩種表示形式： .,22112222212111212111bxaxaxabxaxa

8、xabxaxaxamnmnmmnnnn從而得到線性方程組的向量表示為從而得到線性方程組的向量表示為1122nnxxxb bAx 1122nnxxxb 矩陣表示矩陣表示向量表示向量表示 設某市有三家肯得基店，各店出售的漢堡、設某市有三家肯得基店，各店出售的漢堡、炸薯條、可樂的價格為炸薯條、可樂的價格為10、5、2.5元），且各元），且各店一天的銷售量分別如下表，計算各店一天的總店一天的銷售量分別如下表，計算各店一天的總銷售額元）。銷售額元）。漢堡漢堡（個）（個）炸薯條炸薯條（袋）（袋）可樂可樂（杯）（杯）1 店店11x12x13x2 店店21x22x23x3 店店31x32x33x.,321RR

9、R別別為為設設三三個個店店的的銷銷售售收收入入分分13121115 . 2510 xxxR 23222125 . 2510 xxxR 33323135 . 2510 xxxR ,1312111的線性函數(shù)的線性函數(shù)可以寫成可以寫成xxxR 321RRR 312111xxx 322212xxx 332313xxx 105 5 . 2 1 2 3 105 5 . 2 .,1312111線線性性表表示示可可以以由由稱稱xxxR二、向量組的線性組合mmaaab 2211 定義定義3.5 給定向量組給定向量組A: a1, a2, , am和向量和向量b, 如果如果存在一組數(shù)存在一組數(shù)1, 2, ,m, 使

10、使b = 1a1 + 2a2 + + mam則稱向量則稱向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時稱向量這時稱向量b能由能由向量組向量組A線性表示線性表示. 由定義可知：由定義可知： 若向量若向量b b能由向量組能由向量組A A線性表示，那么線性表示，那么即線性方程組即線性方程組1122mma xa xa xb 有解有解定理定理3.3 3.3 向量向量b b能由向量組能由向量組A: a1, a2, , amA: a1, a2, , am線線性表示性表示 矩陣矩陣A=(a1, a2, , am)A=(a1, a2, , am)的秩的秩等于矩陣等于矩陣B=(a1, a2, , am, b

11、)B=(a1, a2, , am, b)的秩的秩. .注：判定注：判定b是否能由是否能由 a1, a2, , am線性表示的方法：線性表示的方法： 對對B進行初等行變換，使其化成行階梯形矩陣，若進行初等行變換，使其化成行階梯形矩陣，若R(A)=R(B)，則，則b可以由可以由a1, a2, , am線性表示，繼續(xù)線性表示，繼續(xù)對對B進行初等行變換使其化成行最簡形，得到方程組進行初等行變換使其化成行最簡形，得到方程組Ax=b的解的解x=(1,2, ,m)T,則則b用用a1, a2, , am的的表示式為表示式為mmaaab 2211 R(a1, a2, , am) =R(a1, a2, , am,

12、 b).反之亦然反之亦然.驗證驗證設設22113 kk ，那么那么由由向向量量相相等等，得得到到方方程程組組 212121214153421422kkkkkkkk利用矩陣的初等變換方法，求解線性方程組利用矩陣的初等變換方法，求解線性方程組321141453121242)( bA121000011022 103000011000 1, 321 kk2133 123242121(,)354141 121000011022 103000011000 1, 321 kk2133 解法二解法二12(,.,)Tnk kk niakii,.,2 , 1 nnaaa .2211112212100010.001

13、nnnakakkkkak 即即設設 121122,.Tnnna aakkkn ,.,21零零向向量量是是任任何何一一組組向向量量的的線線性性組組合合.設設s ,.,21是是一一組組向向量量so 0.0021 o 是是向向量量組組s ,.,21的的線線性性組組合合.向向 量量 組組s ,.,21中中 的的 任任 一一 向向 量量)1(sjj 都都是是此此向向量量組組的的線線性性組組合合.sjj 0.1.01 )1(sjj 是是向向量量組組s ,.,21的的線線性性組組合合. 121, 1115111312421124055033099124011000000102011000000122,1kk

14、 2112 1()()r Ar A （2）設設22112 kk ，則則 11150113124211240550340991240110010002( )()r Ar A 方方程程組組無無解解 122, 設設 22111a 31212a 04113a 1301b),(321baaaB 設設 1032341201211111 B則則 1210121012101111證明向量證明向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示，并求出表示式。線性表示，并求出表示式。 1210121012101111 0000000012101111 000000001210230123rr 24rr 21r

15、r 12rr 132rr 142rr ,3cx 令令321)12()23(caacacb 為為任任意意數(shù)數(shù)）得得33231(1223xxxxx 得表示式得表示式)( 可任意取值可任意取值c）即即Rccxcxcx (1223321闡明：闡明： 此題中此題中b用用A線性表示的表示式不唯一線性表示的表示式不唯一.問：什么情況下表示式唯一？問：什么情況下表示式唯一？ 下節(jié)給出結論下節(jié)給出結論.若向量組若向量組B B中每一向量都能由向量組中每一向量都能由向量組A A線性表示，即線性表示，即設有向量組設有向量組12:,nA a aa及及12:,lB b bb11211121122112212222mlml

16、mmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 則稱向量組則稱向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示線性表示. .定義定義向量組向量組 A 能由向量組能由向量組 B 線性表示線性表示向量組向量組 A 和和 B 等價等價向量組向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示定義定義3.6向量組等價的性質向量組等價的性質2.對稱性對稱性1.自反性自反性3.傳遞性傳遞性如何判定一個向量組能否被另一個向量組表示？如何判定一個向量組能否被另一個向量組表示？如何判定兩個向量組等價？

17、如何判定兩個向量組等價？向量的表示方法：行向量與列向量向量的表示方法：行向量與列向量 維向量的概念及運算維向量的概念及運算n三、小結三、小結3一個向量可由向量組線性表示的判定一個向量可由向量組線性表示的判定111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 12nxxx 12mbbb 1(a2a)nab 1122nna xa xa xbAxb ( )( , )R AR A b 向量向量b b 能由能由向量組向量組 A A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b Ax = b 有解有解5兩個向量組等價兩個向量組等價4一個向量組可由另一向量組線性表示一個向量組可由另一向量組線性表示(

18、 )( ,)R AR A B 向量組向量組 B B 能能由向量組由向量組 A A線性表示線性表示矩陣方程矩陣方程AX = B AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B 向量組向量組 A A 與與向量組向量組 B B等價等價有關有關 n n維向量空間維向量空間 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),(叫做叫做 維向量空間維向量空間n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n 特別：特別：當當 n=1 時，一維向量空間時，一維向量空間 R1，表示直線上的所有一維向量

19、。，表示直線上的所有一維向量。當當 n=2 時，二維向量空間時，二維向量空間 R2，表示平面上的所有二維向量。，表示平面上的所有二維向量。當當 n=3 時，三維向量空間時，三維向量空間 R3，表示空間上的所有三維向量。，表示空間上的所有三維向量。 時，時， 維向量沒有直觀的幾何形象維向量沒有直觀的幾何形象n3 n確定飛機的狀態(tài)，需要以下確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個個參數(shù)：參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉角機身的水平轉角)20( 機身的仰角機身的仰角)22( 機翼的轉角機翼的轉角)( 所以，確定飛機的狀態(tài)，需用所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實際意義維向量的實際意義n向量