反比例函數(shù)中面積問題

1、反比例函數(shù)中的面積問題一、以反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)和過這點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線所得的垂足所圍成的圖 形面積例1反比例函數(shù)y=K的圖像如圖1所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，MN 垂直于x軸，垂足是點(diǎn)N,如果&mon=2,則k的值為分析 圖中 MON是以圖像上一點(diǎn)和過這點(diǎn)作x軸或y軸的垂線所得的垂足 及坐標(biāo)原點(diǎn)圍成的，只需根據(jù)三角形面積公式就可以求出k的值.J. J.解設(shè)M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y）,貝U &mon=2 |xy|= 2 |k|=2 ,得|k|=4 ,.k=±4（k=4不合題意,舍去），即k=-4.2_變式1:如圖2,已知點(diǎn)P在函數(shù)丫=父(x>0)的圖像上，PAL

2、x軸、PB,y 軸，垂足分別為A、B,則夕!形OAPB的面積為分析 只是把圖中的三角形變?yōu)榫匦?，所?S矩形OAPB=|xy|=2.二、以反比例函數(shù)圖像與正比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)平面上的一些特殊點(diǎn) 所圍成的圖形面積£例2如圖3,反比例函數(shù)y=x的圖像與直線y=kx (k>0)相交于A、B兩點(diǎn), AC/ y軸，BC/ x軸，則 ABC的面積等于一個(gè)面積單位.分析RtAABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像與正比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支上，且知道反比例函數(shù)圖像上的A、B兩點(diǎn)關(guān)于£原點(diǎn)成中心對(duì)稱，&abc=5 |2xX2y|二2|xy|=10.變

3、式1.如圖4,直線y=mx與雙曲線y=x交于點(diǎn)A、B.過點(diǎn)A作AM，x軸, 垂足為點(diǎn)M連接BM.若&abm=1,則k的值是（）.A. 1 B. m-1分析 圖形變?yōu)榉幢壤瘮?shù)圖像上的 A、B兩點(diǎn)和其中一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所1圍成的 AMB,底為 |y| ,高為 |2x| ,則 Sabm=2 |y X 2x|=|xy|=|k|=1 ,得 k=± 1 （根據(jù)圖形知k>0）,所以k=1.k變式2.如圖5,直線y=mx與雙曲線y=K交于點(diǎn)A、B過點(diǎn)A、B分別作AM ，x軸、BNx軸，垂足分別為 M、N,連接BM、AN.若S ambn=1,則k的值 .圖5可編輯分析圖形變成:二AM

4、BN,它的面積實(shí)際上就是 ABM面積的2倍，則S AMBN=2|xy|=2|k|=1 ,結(jié)合圖像可知 k=2 .三、以反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的圖形面積例3如圖6,在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kix+b的圖像與反比例函數(shù)y= 乂的圖像交于A (1,4)、B (3、m)兩點(diǎn).可編輯(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求4AOB的面積.分析(1)略；(2) 4AOB是以反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成 的圖形， AOB面積直接比較難求，可看作 & COD- Sa COA- Sa BOD.先求出一次函數(shù) 的解析式，然后求出一次函數(shù) y=kix+6

5、的圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可16 £ J 4 £ 16my=K的圖像交于A (-2,求出 Sa COD & COA、S BOD,即可求出 Sa aob=4 X 3 義-3 xi *-4x3 0=3 .變式1.如圖7, 一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求4AOB的面積.分析(1)略：(2) 4AOB也是以反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的圖形，只是把 AOB的面積看作&COD+ &COA+ &BOD,即可求得&AOB=1 X 1X 2 +1X IX 2 +

6、1X IX 2=2.四、以反比例函數(shù)圖像與其它圖形的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的圖形面積k例4如圖8,已知雙曲線y=x (x>0)經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F,交 BC于點(diǎn)E,且四邊形OEBF的面積為2,則k= .圖$分析這是以反比例函數(shù)圖像與矩形的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的圖形面積.四邊形OEBF的面積可看作S矩形OABG SCOE- Saof,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),1 1 111貝U E 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2 x, 2y) ,S 矩形 oabc=xX 2y=2xy=2k, &coe=2 xX 2yxz =2 xy=2 k,£ 1Saof= x xy= k k,所以 S 四邊形 oeb尸k=2.五、以反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的圖形及一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸 圍成的圖形和面積例5如圖9, D是反比例函數(shù)y= 3 (k<0)的圖像上一點(diǎn)，過D作DELx更軸于E, DC±y軸于C, 一次函數(shù)y=-x+m與y=- 3 x+2的圖像都經(jīng)過點(diǎn)C,與x 軸分別交于A、B兩