微積分：極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

1、1主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、一、極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則二、二、兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第四節(jié)第四節(jié) 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限2一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾擠準(zhǔn)則夾擠準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限3準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(0 xU

2、xo ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾擠準(zhǔn)則夾擠準(zhǔn)則.4例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1

3、 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn5練習(xí)：!limnnnn1.求2221112.lim ()2nnnnnn求6x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM7例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 ,

4、 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx8練習(xí)：2222證明數(shù)列， 的極限存在，并求此極限。9AC二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 10,tansinxxx , 1sincos xxx

5、即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxOABOACOABSSS扇形111sintan ,222xxx111sinlim0 xxx注意：注意：1.函數(shù)極限為函數(shù)極限為 型且含有三角函數(shù)型且含有三角函數(shù)2.公式中出現(xiàn)的變量（可以是字母公式中出現(xiàn)的變量（可以是字母 或是或是其它的代數(shù)式）相同且該變量趨向于零其它的代數(shù)式）相同且該變量趨向于零.3.公式的等價(jià)形式為公式的等價(jià)形式為tx 或或001sinl

6、im0 xxx12例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 131) 1sin(lim. 22sinlim . 1231xxxxxx計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限隨堂練習(xí)232 ，答案：143、計(jì)算下列極限：,2tanlim)1(0 xxx),0(sinsinlim)2(0 xxx,cotlim)3(0 xxx ,sin2cos1lim)4(0 xxxx ,sinlim)5(nxnn .sinarcsinlim)6(0 xxx1)6( ;)5( ;2)4( ;1)3

7、( ;)2( ;21)1(x 答答案案：15(2)exxx )11 (lim定義定義ennn )11(lim利用伯努利不等式(數(shù)學(xué)歸納法)：(1)1nxnx (1,0)xn 整數(shù)161111(1+)(1+ )1nnnnxxnn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx另一方面，令：11(1+ )nnyn ;ny類似可證，是單調(diào)遞減的 ;nx是有界的.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e121(1)() ()11nnnnnnn211(1+)(1)1(1)nnn21(1+)(1)1(1)nnn23(2)(1)(1)nnnn323(322)1(1

8、)nnnn14nnxyy17,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 18, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limttttttttttttt)111()111()1()1()11( 1

9、9e)x11 (limxx xu1 令令0limu則則euu 1)1 (ux1 則則20exxx)11 (lim對(duì)于公式注意：注意：2.底數(shù)中的無窮小量（可以是字母底數(shù)中的無窮小量（可以是字母 或是或是 代數(shù)式）和指數(shù)互為倒數(shù)。代數(shù)式）和指數(shù)互為倒數(shù)。tx或或1.公式中底數(shù)的極限是公式中底數(shù)的極限是1，指數(shù)趨于無窮大，指數(shù)趨于無窮大,屬于屬于 型的極限問題型的極限問題1exxx 10)1(lim. 3 公公式式的的等等價(jià)價(jià)形形式式為為21例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 22內(nèi)容小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 23習(xí)題演練習(xí)題演練xxx1sin1211lim1、計(jì)算、計(jì)算21e答案：24、計(jì)算下列極限：、計(jì)算下列極限：3 ,1lim)1(10 xx