材料力學附錄

1、附錄附錄I：截面的幾何性質：截面的幾何性質 AFN PTI橫截面的面積橫截面的面積A 橫截面的極慣性矩：橫截面的極慣性矩：Ip一 截面的靜矩和形心AyxdASAAxydASAxdAxAAydAyAASxyASyxxASyyASx當截面由若干簡單圖形組成當截面由若干簡單圖形組成niiiyxAS1niiixyAS1xyyxyxdAO一次矩一次矩圖所示等腰直角三角形，求其靜矩和形心坐標1、靜矩：、靜矩：ySxdAxy102、形心坐標：、形心坐標：34. 350167ASyx10直線方程：直線方程：y=10-x；或：；或：x=10-y167)315()10(10032100yydyyyydASx34.

2、 350167ASxy102301(5)1673xx100(10)xx dx所示圖形由兩個長10m寬2m的矩形組合而成，試確定靜矩和形心位置。1、組合圖形靜矩：、組合圖形靜矩：2160720120221121xAxASSSyyyxy10面積：面積： A1=A2=20m2形心坐標：形心坐標：1;75; 12211yxyx120120520221121yAyASSSxxx2、組合圖形形心位置：、組合圖形形心位置：440160212211AAxAxAx340120212211AAyAyAy試確定圖示梯形面積的形心位置，及其對底邊的靜矩。解：解：圖形對底邊的靜矩圖形對底邊的靜矩2211yAyASx32

3、13221hahhbhbah262形心位置形心位置abhxyOC1xC2x0 xASyxbahbah2262babah23如圖所示將截面任意分為兩部分如圖所示將截面任意分為兩部分A A1 1與與A A2 2，證明這證明這兩部分面積對整個截面形心軸兩部分面積對整個截面形心軸x xc c的靜矩絕對值相的靜矩絕對值相等。等。1A2ACcx設：設：A1，A2對對xc軸的靜矩分別為軸的靜矩分別為Sxc1和和Sxc221xcxcxcSSS021xcxcSS21xcxcSS證畢xASyyASxv3 截面對形心軸的靜矩為零v4 若截面對某軸的靜矩為零，則該軸 必為形心軸v1 截面圖形的靜矩相對坐標軸定義的，與

4、坐標軸有關v2 靜矩的值可能為正、負、也可能為零dAyIx2dAxIy2xydAIxyyxyxdAO二 極慣性矩.慣性矩.慣性積dAIp2慣性半徑：慣性半徑：dAxyOxy任意形狀的截面圖形的面積為任意形狀的截面圖形的面積為A，則圖形對，則圖形對y軸軸和和x軸的慣性半徑分別定義為軸的慣性半徑分別定義為AIiyyAIixx慣性半徑的特征：慣性半徑的特征： 1.慣性半徑是對某一坐標軸定義的。慣性半徑是對某一坐標軸定義的。 2.慣性半徑的單位為慣性半徑的單位為m。 3.慣性半徑的數(shù)值恒取正值。慣性半徑的數(shù)值恒取正值。性 質： 慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣性矩是對點定義慣性矩和慣性積是對一

5、定軸而定義的，而極慣性矩是對點定義的。的。 慣性矩和極慣性矩永遠為正，慣性積可能為正、為負、為零。慣性矩和極慣性矩永遠為正，慣性積可能為正、為負、為零。 任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。的慣性積為零。o)(12xx1xydAdAyyxAxyxydAIdAxyxydAAA220 對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠，其慣性對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠，其慣性矩越大。矩越大。 組合圖形對某一點的極慣性矩或對某一軸的慣性矩、慣性積組合圖形對某一點的極慣性矩或對某一軸的慣性矩、慣性積n

6、iPiPII1niyiyII1nixixII1nixyixyII1例題1: 計算高h、寬b的矩形對其對稱軸y和z的慣性矩。1232/2/222bhdzbzbdzzdAzIhhyyz解：根據(jù)慣性矩公式，計算步驟如下：hb1232/2/222hbdzhydyhydAyIbbz例題2:平行四邊形？1232/2/222bhdzbzbdzzdAzIhhyyz解：根據(jù)慣性矩公式，計算步驟如下：解：根據(jù)慣性矩公式，計算步驟如下：hb?zI 解決方案：分區(qū)計算；解決方案：分區(qū)計算；例題3: 半徑為R的圓形的慣性矩計算。6442442222DRdzzRzdAzIRRy644DIIyzdzzRydzdA2222y

7、z解：根據(jù)慣性矩公式，計算步驟如下：解：根據(jù)慣性矩公式，計算步驟如下：324DIIIzyp例題3:內(nèi)徑d外徑D空心圓截面呢？646444dDIIIIzdyDzyyz解：根據(jù)組合圖形慣性矩公式：解：根據(jù)組合圖形慣性矩公式：)(3244dDIIIzyp簡單圖形( )zizII若有空心部分，則減。若有空心部分，則減。 圓形正方形zzzIII-1224a4-?64a例例 組合圖形（截面）的組合圖形（截面）的慣性矩慣性矩AaIIxcx2abAIIxcycxy三 慣性矩.慣性積的平行移軸公式CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2Accy

8、AdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐標軸中，圖形對在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小心軸的慣性積不一定是最小例題3: 直徑為D的圓形的慣性矩計算。464yCDI46422421DaDAaIIyCy解：根據(jù)平行移軸公式：y1yzaCxcycyxObaAaIIxcx2abAIIxcycxyAbIIycy2圓形正方形zzzIII-1224a4264-224aaa465-3444aa例例 組合圖形（截面）的組合圖形（截面）的慣性矩慣性矩四 慣性矩和慣性積的轉軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩XyOx1y1 2si

9、ncos221xyyxyxxIIIIII 2sincos221xyyxyxyIIIIII 2cos2sin211xyyxyxIIII 主慣性軸:圖形對某對坐標軸慣性積為零圖形對某對坐標軸慣性積為零, ,這對坐標軸稱為該圖形這對坐標軸稱為該圖形的主慣性軸的主慣性軸主慣性矩:圖形對主軸的慣性矩圖形對主軸的慣性矩, ,稱主慣性矩稱主慣性矩形心主軸:過形心的主軸稱為主形心軸過形心的主軸稱為主形心軸形心主矩:圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主矩圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主矩在下列關于平面圖形的結論中，（在下列關于平面圖形的結論中，（ ）是錯誤的。）是錯誤的。A.A.圖形的對稱軸必定通過形心；圖形的對稱

10、軸必定通過形心；B.B.圖形兩個對稱軸的交點必為形心；圖形兩個對稱軸的交點必為形心；D.D.使靜矩為零的軸必為對稱軸。使靜矩為零的軸必為對稱軸。C.C.圖形對對稱軸的靜矩為零；圖形對對稱軸的靜矩為零；D在平面圖形的幾何性質中，（在平面圖形的幾何性質中，（ ）的值可正、可負、也可為零。）的值可正、可負、也可為零。A.A.靜矩和慣性矩；靜矩和慣性矩；B.B.極慣性矩和慣性矩；極慣性矩和慣性矩；C.C.慣性矩和慣性積；慣性矩和慣性積；D.D.靜矩和慣性積。靜矩和慣性積。D 圖示任意形狀截面，它的一個形心軸圖示任意形狀截面，它的一個形心軸z zc c把截面分成把截面分成和和兩部分，在以下各式中，（兩部

11、分，在以下各式中，（ ）一定成立。）一定成立。0;.0;.CCCCZZZZIIBIIAZC。AADSSC.0;.CCZZC 圖圖a a、b b所示的矩形截面和正方形截面具有相同所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設它們對對稱軸面積。設它們對對稱軸x x的慣性矩分別為的慣性矩分別為 對對稱軸對對稱軸y y的慣性矩分別為的慣性矩分別為 ，則（，則（ ）。）。axIbxIayIbyIoxy)(aoxy)(byyxxyyxxyyxxyyxx.ababababababababAIIIIBIIIICIIIIDIIII，；，；，；，。C 任意圖形的面積為任意圖形的面積為A A，x x0 0軸通過形心軸通

12、過形心C C， x x1 1 軸和軸和x x0 0軸平行，軸平行，并相距并相距a a，已知圖形對，已知圖形對x x1 1 軸的慣性矩是軸的慣性矩是I1，則對，則對x x0 0 軸的慣性軸的慣性矩為（矩為（ ）。）。；AaDAaCAaBA1x021x021x0 x0II.II.II.0I.Ca1x0 xBA. A. 形心軸；形心軸； B. B. 主軸主軸 C. C. 主形心軸主形心軸 D. D. 對稱軸對稱軸 在圖示開口薄壁截面圖形中，當（在圖示開口薄壁截面圖形中，當（ ）時，）時，y-xy-x軸始終保持軸始終保持為一對主軸。為一對主軸。Oyx 任意圖形，若對某一對正交坐標軸的慣性積為零，任意圖

13、形，若對某一對正交坐標軸的慣性積為零，則這一對坐標軸一定是該圖形的（則這一對坐標軸一定是該圖形的（ ）。）。BA. yA. y軸不動，軸不動，x x軸平移軸平移；D. yD. y、x x同時平移。同時平移。B. xB. x軸不動，軸不動，y y軸平移；軸平移；C. xC. x軸不動，軸不動，y y軸任意移動；軸任意移動；B 圖示任意形狀截面，若圖示任意形狀截面，若OxyOxy軸為一對主形心軸，則軸為一對主形心軸，則（ ）不是一對主軸。）不是一對主軸。；yxODyxOCxyOBOxyA1311211.1O2OO3O1yyx1xC 簡單圖形（截面）的簡單圖形（截面）的慣性矩慣性矩 矩形矩形(bh)

14、2232212hhAzbhdybydAyI1232hbdAzIAyyzhb 圓（環(huán)）形圓（環(huán)）形222zy zyAAAPIIdAzdAydAI22)1 (64244DIIIPzyyzyzDd內(nèi)直徑內(nèi)直徑試求圖示三角形（1）對x軸靜矩；（2）對x軸的慣性矩；（3）對x1軸的慣性矩。cxyAS xb/2b/2h/2h/2Oyx1322hhbh122bhydyAxdAyI2222hhbdyy123bh12213bhIx243bh23221bhhIIxcxxc2322bhhhIIxcx262423bhhbhIxc363bhIxc9236331bhbhIx43bh（1）（2）（3）圖示為三個等直徑圓相切的組合問題,求對形心軸xc的慣性矩.O1O2O3xcOO2 2、OO3 3到到x xc c軸的距離軸的距離dd632331OO1 1到到x xc c軸的距離軸的距離dd332332224224