高中數(shù)學(xué)必修1基本初等函數(shù)?？碱}型：冪函數(shù)

1、冪函數(shù)【知識梳理】1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y叫做冪函數(shù)其中x是自變量，是常數(shù)2常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)xyx2yx3yy圖象定義域RRRx|x00，)值域R0，)Ry|y00，)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在(，)上單調(diào)遞增在(，0上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增在(，)上單調(diào)遞增在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞減在0，)上單調(diào)遞增定點(1,1)3冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)(2)>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間0，)上是增函數(shù)特別地，當>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當0<<1時

2、，冪函數(shù)的圖象上凸(3)<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸；當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸【?？碱}型】題型一、冪函數(shù)的概念【例1】 (1)下列函數(shù)：yx3；y；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a>1)其中冪函數(shù)的個數(shù)為()A1B2C3 D4(2)已知冪函數(shù)y，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域(1)解析為指數(shù)函數(shù)，中系數(shù)不是1，中解析式為多項式，中底數(shù)不是自變量本身，所以只有是冪函數(shù)，故選B.答案B(2)解y為冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當m2時，m22m33，則y

3、x3，且有x0；當m1時，m22m30，則yx0，且有x0.故所求冪函數(shù)的解析式為yx3，x|x0或yx0，x|x0【類題通法】判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y(為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.反之，若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備這一形式，這是我們解決某些問題的隱含條件【對點訓(xùn)練】函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且當x(0，)時，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式解：根據(jù)冪函數(shù)的定義得m2m11.解得m2或m1.當m2時，f(x)x3在(0，)上是增函數(shù)；當m1時，f(x)x3

4、在(0，)上是減函數(shù)，不符合要求故f(x)x3.題型二、冪函數(shù)的圖象【例2】(1)如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y在第一象限的大致圖象，已知取2，2四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的的值依次為()A2，2B2，2C，2,2， D2，2，(2)如圖是冪函數(shù)y與y在第一象限內(nèi)的圖象，則()A1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<0，m>1Dn<1，m>1解析(1)令x2，則22>2>2>22，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的值依次為2，2.故選B.(2)此類題有一簡捷的解決辦法，在(0,1)內(nèi)

5、取x0，作直線xx0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”如圖，0<m<1，n<1.答案(1)B(2)B【類題通法】解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于yx1或y或yx3)來判斷【對點訓(xùn)練】已知函數(shù)y，y，y的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac<b<a Ba<b<cCb<c<a Dc

6、<a<b解析：選A由冪函數(shù)的圖象特征知，c<0，a>0，b>0.由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當x>1，冪指數(shù)大的冪函數(shù)的函數(shù)值就大，則a>b.綜上所述，可知c<b<a.題型三、利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例3】比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小(1)與；(2)與；(3)與.解(1)冪函數(shù)y在(0，)上是單調(diào)遞增的，又>，>.(2)冪函數(shù)y在(，0)上是單調(diào)遞減的，又<，>.(3)函數(shù)y1為R上的減函數(shù)，又>，>.又函數(shù)y2在(0，)上是增函數(shù)，且>，>，>.【類題通法】比較冪值大小的方法(1)若指數(shù)相同，

7、底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進而比較大小【對點訓(xùn)練】比較下列各題中兩個冪的值的大?。?1)，；(2)，；(3)，.解：(1)y為0，)上的增函數(shù)，且2.3<2.4，<.(2)y為(0，)上的減函數(shù)，且<，>.(3)y為R上的偶函數(shù)，.又函數(shù)y為0，)上的增函數(shù)，且0.31<0.35，<，即<.【練習(xí)反饋】1下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()Ay2xBy2x1Cy(x1)2 Dy解析

8、：選D由冪函數(shù)的概念可知D正確2下列命題：冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；n0，函數(shù)y的圖象是一條直線；冪函數(shù)y當n>0時，是增函數(shù)；冪函數(shù)y當n<0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小正確的命題為()A BC D解析：選Dyx1不過(0,0)點，錯誤，排除A；當n0時，y的圖象為兩條射線，錯誤，排除C；yx2不是增函數(shù)，錯誤，排除B；因此答案選D.3已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(4,2)，則f_.解析：設(shè)f(x)，則42，即f(x)，f.答案：4函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且在x(0，)時是減函數(shù)，則實數(shù)m_.解析：由m2m11，得m0或m1，再把m0和m1分別代入m22m3<0檢驗，得m0.答案：05比較下