總復(fù)習(xí)微積分下

1、第六章第六章 定積分定積分1.1.定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算換元法和分部積分法換元法和分部積分法2.2.廣義積分的計(jì)算廣義積分的計(jì)算無(wú)窮限積分和瑕積分無(wú)窮限積分和瑕積分( )( )( )baf x dxf x dxf x dx ()bafx dx ab 或或 為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)111111ppdxpxp 發(fā)發(fā)散散1011111ppdxpxp 發(fā)發(fā)散散3.3.變限積分變限積分 ( )( )( )u xv xf t dt ( )( )( )u xv xdf t dtdx ( ( )( )( ( ) ( )f u x u xf v x v x 1( )xxf t dt 1( )xxf t dt 1( )(

2、)xf t dtxf x 1()xf tx dt 2( )xxutxuf u dx 21( )xxtxuf u dux 22211( )2()( )xxf u duxf xf xxx 3.3.定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用平面圖形面積和截面面積已知立體體積平面圖形面積和截面面積已知立體體積第七章第七章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1.1.級(jí)數(shù)的一些常用的性質(zhì)級(jí)數(shù)的一些常用的性質(zhì) 發(fā)散。發(fā)散。則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)若若nnnuu, 0lim)1發(fā)散。發(fā)散。發(fā)散，則發(fā)散，則收斂，收斂，若若 )()2nnnnvuvu2.2.判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性11,1:1,pnppnp 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散11

3、1( 1)npnpn 交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1,1,pp 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)條條件件收收斂斂判斷級(jí)數(shù)斂散性的步驟判斷級(jí)數(shù)斂散性的步驟1.1.判定級(jí)數(shù)類型判定級(jí)數(shù)類型-任意項(xiàng)級(jí)數(shù)或正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)或正項(xiàng)級(jí)數(shù)2.2.若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)若為正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,采用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法采用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法1).1).比值判別法比值判別法2).2).比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式3.3.若為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若為任意項(xiàng)級(jí)數(shù), ,收斂或發(fā)散收斂或發(fā)散1nnu 考考查查的的斂斂散散性性比比值值11nnnnuu 與與同同斂斂散散比比較較或或比比較較的的極極限限形形式式比比較較或或比比較較的的極極限限形形式式-一一

4、般般萊萊布布尼尼茲茲公公式式1nnu 收收斂斂1nnu 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂1nnu 發(fā)發(fā)散散1nnu 的的斂斂散散性性重重新新判判定定lim| 0,nu 發(fā)發(fā)散散判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法絕對(duì)收斂或條件收斂或發(fā)散絕對(duì)收斂或條件收斂或發(fā)散3 3* *. .求冪級(jí)數(shù)的求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑, ,收斂域收斂域和和和函數(shù)和函數(shù)3)寫出冪級(jí)數(shù)寫出冪級(jí)數(shù) 的收斂域的收斂域. .0nnna x 2)判斷判斷x = =R時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 和和0nnna R 0()nnnaR 的斂散性的斂散性; ; ()或或定理定理 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 的所有系數(shù)的所有系數(shù) , , 0nnn

5、xa0 na設(shè)設(shè) nnnaa1limlimnnna (2)(2)則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0 ; R(3)(3)則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), , . 0 R(1)(1)則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0 1;R 1）1 (-11)1xx 01nnnxxx 1 (-11)1xx 0( 1)1( 1)nnnnnxxx 4 4* *. .求函數(shù)的求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式冪級(jí)數(shù)展開式方法：直接展開法和間接展開法方法：直接展開法和間接展開法類型：馬克勞林展式和泰勒展式類型：馬克勞林展式和泰勒展式( )0(0)( ),.!nnnff xxxn 收收斂斂域域( )000()( )() ,.!nnnfxf xxxxn 收收斂斂域域0!nxnx

6、en 21.2!nxxxn .xR 3521111sin( 1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn 211,( 1,1)1nxxxxx 第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)1. 1. 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性多元函數(shù)的極限和連續(xù)性2. 2. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)( (一階和二階一階和二階) )和全微分和全微分多元顯函數(shù)多元顯函數(shù), ,抽象復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的一階及抽象復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的一階及二二階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)3. 3. 多元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值多元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值無(wú)條件極值無(wú)條件極值( (需要對(duì)駐點(diǎn)的極值性進(jìn)行判斷需要對(duì)駐點(diǎn)的極值性進(jìn)行判斷) )條件極值條件極值方法是拉格

7、朗日乘數(shù)法方法是拉格朗日乘數(shù)法( (計(jì)算題要用計(jì)算題要用定義對(duì)極值性進(jìn)行判定，應(yīng)用題不需要對(duì)極值定義對(duì)極值性進(jìn)行判定，應(yīng)用題不需要對(duì)極值性進(jìn)行判斷性進(jìn)行判斷) )4. 4. 二重積分二重積分交換積分次序交換積分次序, ,計(jì)算直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算直角坐標(biāo)系下二重積分, ,極極坐標(biāo)系下二重積分坐標(biāo)系下二重積分. .第九章第九章 微分方程微分方程1. 1. 基本概念基本概念微分方程微分方程, ,微分方程的階微分方程的階2. 2. 求解一階微分方程求解一階微分方程可變量分離型可變量分離型, ,齊次微分方程齊次微分方程, ,一階線性微分方程一階線性微分方程3 3* *. . 求解二階微分方程求解二階

8、微分方程二階常系數(shù)線性齊次和非齊次微分方程二階常系數(shù)線性齊次和非齊次微分方程基本題型基本題型一、填空一、填空二、選擇二、選擇三、計(jì)算定積分三、計(jì)算定積分三類三類四、判斷級(jí)數(shù)的斂散性四、判斷級(jí)數(shù)的斂散性正項(xiàng)和任意項(xiàng)正項(xiàng)和任意項(xiàng)五、計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)（一階和二階）五、計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)（一階和二階）-三類三類六、計(jì)算二重積分六、計(jì)算二重積分二類二類七、求解微分方程七、求解微分方程-三類三類 ( (加一類加一類) )八、求平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積八、求平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積九、極值應(yīng)用題九、極值應(yīng)用題十、證明題十、證明題十一十一* *、求收斂半徑、求收斂半徑, ,收斂域和和函數(shù)收斂域和和函數(shù)32141220002

9、1212112213131210313122220004342142112222arcsin11112111sin(ln )1(1ln )1sin11(1)tancos114(1)xeexxxdxdxdxexxxxdxx dxdxxxdxxdxedxxxxxxdxexdxdxxxxxxxdxxdxxxx dxxx 1dx 11112111111311111231112!3!(1)!sintan2 sin235111( 1)ln(1)( 1)ln(1)( 1)ln(1)11( 1)ln(1)( 1)ln(1)( 1) (21)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

10、nnnnnnnnnn 111321( 1)(1cos)( 1)ln( 1)1nnnnnnnnnnn 2222222222222,.arctanarctanln;sin10;(,)(2)( ,)xxyzzzzzxyxyx yyxyxzxyzxyyxxzyexyzyzf xyezfxyg x xy 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)2022222222222sin( ),( ).( , )|02 ,.(),1,0,1,0,2,2sin,:4;(),xyDxDDDDtf xdtf x dxtDx yxyxedxdyxy dxdy Dyeyxxx y dxdy Dxyxxyxxy dxd

11、y Dxyxy dxdy Dxyxydyf 已已知知求求設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)算算由由圍圍成成；由由圍圍成成；是是的的內(nèi)內(nèi)部部。交交換換積積分分次次序序22230113(3)20010( , )( , )( , )yyxxx y dxdxf x y dydxf x y dy 222222223223223221(1)063(lnln )32(1)(1)+2( sin )23565632(31)yxxxxxxx ydxyxx ydyyeyxxyxyyyyxyx yyxyyxeyxyxx eyyxyyyeyyyxeyyyxe 求求解解微微分分方方程程：一一階階二二階階常常系系數(shù)數(shù)11ln10lnxxxxyDxyyxDSDxVDyeyexDSDxVDxeyyxDSDyV 設(shè)設(shè) 是是由由直直線線、與與曲曲線線所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形，求求 的的面面積積 ； 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積。設(shè)設(shè) 是是由由曲曲線線、與與直直線線所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形，求求 的的面面積積 ； 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積。設(shè)設(shè) 是是由由直直線線、與與曲曲線線所所圍圍成成的的