不等式復(fù)習(xí)課件講義.doc

1、不等式期末復(fù)習(xí)講義一、 知識點1不等式性質(zhì)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系a ba 0 b bb a傳遞性 : a b, b ca c可加性 : a ba + c b + c可積性 : a b, c 0ac bc ；a b, c 0ac b, c da + c b + d乘法法則： a b 0, c d 0ac bdnn乘方法則： a b 0,a b(n N)開方法則：a b 0,n an b (nN )2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：（ 1）如果 a、bR,那么 a2 + b2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時等號）（ 2）如果 a、bR 那么 a bab（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時等號）,2推廣：a

2、 b2a2b2如果a,b 為實數(shù)，則 ab22重要結(jié)論1）如果積 xy 是定值 P，那么當(dāng) x y 時，和 xy 有最小值 2 P ；（ 2）如果和 x y 是定值 S，那么當(dāng) x y 時，和 xy 有最大值 S2/4。? 條件為“一正二定三相等”? 一正 ：各項都是正數(shù)? 二定 ：求和積定，求積和定? 三相等：等號能成立? 當(dāng)?shù)忍柌怀闪r，利用下列函數(shù)求最值。函數(shù) f(x)xa0) 在 (0, a (ax上遞增，在a ,) 上遞減。3證明不等式的常用方法：比較法： 比較法是最基本、 最重要的方法。 當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式， 則選擇作差比較法； 當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)

3、且它們的商能與 1 比較大小， 則選擇作商比較法； 碰到絕對值或根式， 我們還可以考慮作平方差。綜合法： 從已知或已證明過的不等式出發(fā)， 根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。分析法 ：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。結(jié)論：已知a、 b、 m 都是正數(shù)，且 ab，則：amabmb4不等式的解法（ 1）不等式的有關(guān)概念同解不等式： 兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。同解變形： 一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。提

4、問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號、移項、合并同類項（ 2）不等式 ax b 的解法當(dāng) a0 時不等式的解集是x|xb/a；當(dāng) a0 時不等式的解集是x|xb/a；當(dāng) a=0 時 ,b af(x) a 或 f(x) a； | f(x) | a af(x) a(a 0)f 2(x) a 2； | f(x) | 0)f2(x) |b|且 abb，則 |a|b|B 、若 ab，則 1/ab，則 a/b1C、若 ab，則 a b2、已知 a0.1babab2B 、 ab2aba22C、 abaabD 、 abab a3、當(dāng) 0ab(1 a)bB、 (1+a) a(1+b) bC

5、、 (1 a)b (1a)b/2D、 (1 a)a(1 b)b4、若 log a3log b30 ，則 a、 b 的關(guān)系是（B）A 、 0aba1C、 0ba1D、 1bb0，則下列不等式2222ab1/ab ； lg(a+1)lg(b+1) ； 2 2中成立的是（A ）A、 B、 C、D、（二）比較大小1、若 0 lg 2xlg(lgx)4、設(shè) a0,a 1, 比較 log t/2與 loga(t+1)/2的大小。a5、比較b與 a 的大小。ab6、若 a1，比較 Ma1 a與 Na a1的大小。7、設(shè) a、 b是不相等的正數(shù)， A ab ， G ab， H 21/b， Q a 2b221/

6、a2試比較 A、G、H、Q的大小。分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關(guān)系，然后用比較法（作差）即可。5（三）利用不等式性質(zhì)判斷P 是 Q的充分條件和必要條件1、設(shè) x、 yR,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系命題甲： x0 且 y0，命題乙： x+y0 且 xy0充要條件命題甲： x2 且 y2，命題乙： x+y4 且 xy4充分不必要條件2、已知四個命題，其中a、 b R a2b2 的充要條件是 |a|b| ； a2b2 的充要條件是 |a| 2|b| 2； a2b2 的充要條件是 (a+b)與 (a b) 異號； a22c”的一個充分條件是（C）

7、A 、 ac 或 bcB、 ac 或 b cC、 ac 且 bcD、 ac 且 b c（四）范圍問題1、設(shè) 60 a 84, 28 b 33,求： a+b,a b,a/b 的范圍。2、若二次函數(shù)y=f(x) 的圖象過原點，且1 f( 1) 2,3 f(1)3，求 f( 2)的范圍。（五）均值不等式變形問題1、當(dāng) a、 b R 時 ,下列不等式不正確的是（D ）A 、 a2+b2 2|a|?|b|B、 (a/2+b/2) 2 abC、 (a/2+b/2) 2 a2/2+b2/2D 、log 1/2 (a2+b2)log 1/2(2|a|?|b|)2、 x、y (0,+ )，則下列不等式中等號不成

8、立的是（A）A、 x112B、(x1 ) (y1 ) 4xx1xyx2 lg2x/2+lg 2y/2C、 (x+y)(1/x+1/y)4D 、 (lgx/2+lgy/2)3、已知 a0,b0,a+b=1 ，則 (1/a2 1)(1/b 21)的最小值為（D）A 、 6B 、 7C、 8D、 94、已知 a0,b0,c0 ， a+b+c=1 ，求證： 1/a+1/b+1/c 9adbcbcad41 的代換5、已知 a0,b0,c0,d0, 求證：acbd（六）求函數(shù)最值1、若 x4, 函數(shù) yx1 ，當(dāng) x_時，函數(shù)有最值是 _。4x5、大、 62、設(shè) x、 yR, x+y=5 ，則 3x+3y

9、 的最小值是（） DA、10B、6 3C、4 6D、18 33、下列各式中最小值等于2 的是（） D6A 、 x/y+y/xB 、x25C、 tan+cot D、 2x+2 xx 244、已知實數(shù) a、b、 c、 d 滿足 a+b=7,c+d=5, 求 (a+c)2+(b+d) 2 的最小值。5、已知 x0,y0,2x+y=1, 求 1/x+1/y 的最小值。（七）實際問題1、 98（高考）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2cm 的無蓋長方體沉淀箱，污水從A 孔流入，經(jīng)沉淀后從B 孔流出，設(shè)箱體的長度為am，高度為 bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b 的乘積 ab 成

10、反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問當(dāng)a、 b 各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ 、 B 孔的面積忽略不計）。解一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意 y=k/ab ，其中 k 為比例系數(shù) (k0)A據(jù)題設(shè) 2 2b+2ab+2a=60(a0,b0)ab30a2ab由 a0,b0 可得 0a0) 要求 y 的最小值，即要求 ab 的最大值。據(jù)題設(shè) 2 2b+2ab+2a=60(a0,b0) ，即 a+2b+ab=30a2b22ab (當(dāng)且僅當(dāng) a2b時等號成立）ab22ab30，解得 52ab32即 0ab18,由 a2b及 aba2b30解得 a6, b3即 a=6,b=

11、3 時， ab 有最大值，從而y 取最小值。綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m 時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。72、某工廠有舊墻一面長14 米 ,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126米 2 的廠房，工程條件是：建1 米新墻的費用為a 元；修 1 米舊墻的費用為a/4 元；拆去 1 米舊墻用所得材料建1 米新墻的費用為 a/2 元 . 經(jīng)過討論有兩種方案：利用舊墻的一段 x(x14)米為矩形廠房的一面邊長；矩形廠房的一面長為x(x 14). 問如何利用舊墻，即x 為多少米時，建墻費用最省？兩種方案哪種方案最好？解：設(shè)總費用為y 元，利用舊墻的一面矩形邊長為x 米，則另一邊

12、長為126/x 米。若利用舊墻的一段x 米(xx 1 14，則 f(x 2)f(x 1)= x 2+126/x 2 (x1+126/x 1)=(x 2 x1)(1 126/x1x2 )0f(x)=x+126/x在 14， ) 上遞增， f(x) f(14) x=14 時 ymin=7a/2+2a(14+126/14 7)=35.5a綜上所述，采用方案，即利用舊墻12 米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。（八）比較法證明不等式+m+n+bm+nm n nm1、已知 a、 b、 m、n R ,證明： a a b +a b變：已知 a、 bR+ ,證明： a3/b+b3/a a2+b22、已知 a、b

13、 R+ ,f(x)=2x 2+1,a+b=1, 證明：對任意實數(shù)p、q 恒有 a?f(p)+b ?f(q) f(ap+bq)（九）綜合法證明不等式1、已知 a、 b、c 為不全相等的正數(shù)，求證：b ca a c ba b cab3c2、已知 a、 b、 c R，且 a+b+c=1，求證： a2+b 2+c2 1/33、已知 a、 b、c 為不全相等的正數(shù)，且abc=1, 求證：111abcbca84、已知 a、 bR+， a+b=1,求證：a1/ 2b 1/ 2 2（十）分析法證明不等式1、已知 a、 b、c 為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/ca+b+c2、已知函數(shù) f(x)

14、=lg(1/x1),x 1、x2(0,1/2) ，且 x1 x2，求證：f ( x1 )f (x2 )x1x22f22xy3、設(shè)實數(shù)x,y 滿足 y+x =0,0abc, 求證：114a b bcac4、已知 a、 b、 c R ，且 a+bc 求證：1abc.22a1 b1c 0，并指出等號何時成立。5、已知 a、 b、 c R，證明： a +ac+c +3b(a+b+c)分析：整理成關(guān)于a 的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b 2+3bc+c 2 =(c+3b) 24( 3b2+3bc+c 2)= 3(b2+2bc+c 2) 0 f(a) 06、已知： x2 2xy + y 2+

15、 x + y + 1 0，求證： 1/3 y/x 37、在直角三角形ABC中，角 C 為直角， n 2 且 nN，求證： cn an + b n、設(shè)an1 22 33 4n(n1) (n N)8n(n1)a n(n1)2都成立。求證：對所有正整數(shù)22n（十二）解不等式1231、解不等式：1x3x2x2、解關(guān)于 x 的不等式：ax0x2x 2（十三）不等式應(yīng)用不等式的應(yīng)用主要有三個方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式（組）的有關(guān)問題（如求函數(shù)的定義域、 討論一元二次方程的根的分布等） ；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問題 （如證明函數(shù)的單調(diào)性） ；三是能轉(zhuǎn)化為重要不等式的極端情形解決的最值問題。91、已知

16、 f(x) 的定義域是（ 0,1，則函數(shù) yf (lgx2x ) 的定義域是 _ 。2 5， 2) ( 1,4 2、已知不等式 ax2+bx+c0 的解集是 x| x (0 ), 求不等式 cx2+bx+a0 的解集。3、設(shè) f ( x)2 x(x 0). 求證： f(x)是減函數(shù)；求 f(x) 的值域。4x14、由于對某種商品實行征稅，其售價比原價上漲x%，漲價后商品賣出量減少36x % ，20%.100已知稅率為銷售金額的為實現(xiàn)銷售金額和扣除稅款的余額y 不比原銷售金額少，求上漲率x%的取值范圍； x 為何值時， y 最大？（保留一位小數(shù)）解：設(shè)原價為 a，銷售量為 b，則ya(1 x%)

17、b(136 x %)(120%)ab(1x%)(136x %) 80%100100yab,(1x%)(136x%)80%1100整理得：36( x%) 264(x%)250,0x%1631182 yab(1x%)( 25x%)80%36 ab(1x%)( 25x%)912592521x%x%936ab2125當(dāng)且僅當(dāng)1 x% 25/9 x%，即 x% 8/9. x 88.9 時 y 最大。（十四）恒成立問題1、若不等式af(n)，即 f(n)上是增函數(shù)， f(n) 的最3( n4)( n2)( n3)在N小值是 f(1)又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12故對一切正整數(shù)n 使得 f

18、(n)2a 5 的充要條件是13/122a 5， a73/24故所求自然數(shù)a 的最大值是 3。2、已知拋物線y=f(x)=ax 2+bx+c 過點（ 1,0），問是否存在常數(shù)a、b、 c，使得不等式 x2對于一切實數(shù) x 都成立？ f(x) (1+x)/2解：假設(shè)存在常數(shù)a、 b、c，使得 x f(x) (1+x2)/2 對一切實數(shù) x 恒成立，令 x 1 有 1 f(1) 1， f(1) 1，即 a b c 1拋物線過點（1,0 ） a b c 012解得： b=1/2,c=1/2a, f(x)=ax2+x/2+1/2 a由 x f(x) (1+x 2)/2 得 2x2ax 2+x+1 2a

19、 1+x2 a=1/4,三、數(shù)學(xué)思想與方法（一）分類討論的思想：1、設(shè) f(x) = 1+log x3,g(x)=2log x2，其中 x 0 且 x 1，試比較f(x) 與 g(x) 的大小。xa2、解關(guān)于x 的不等式0( x1)( x1)分析：當(dāng)a 1 時，原不等式的解集為x|x a 或 1x 1當(dāng) 1a時，原不等式的解集為x|x 1 或 a x 1當(dāng) a 1 時，原不等式的解集為x|x 1或 1 xa當(dāng) a 1 時，原不等式的解集為x|x 1當(dāng) a 1 時，原不等式的解集為x|x 1且 x 1（二）數(shù)形結(jié)合的思想1、關(guān)于 x 的方程 x2x (m 1) 0 只在 1,1上有解，則實數(shù)a

20、的取值范圍是（）A 、 5/4,+ )B 、 ( 5/4, 1)C、 5/4， 1D、 (， 12、設(shè) k、a 都是實數(shù)，關(guān)于x 的方程 |2x1|=k(x a)+a 對于一切實數(shù)k 都有解，求實數(shù)a 的取值范圍。3、已知 0 a 1， 0 b 1. 求證：+13分析觀察待證式左端，它的每個根式都使我們想到RtABC中的等式a2+b2=c2 ，激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的大膽想法.如圖 27-3 ，作邊長為 1 的正方形 ABCD，分別在 AB、 AD上取 AE=a， AG=b，過 E、 G 分別作 AD、AB 的平行線，交 CD、BC于 F、H，EF、GH交于 O點 .

21、由題設(shè)條件及作圖可知，AOG、 BOE、 COF、 DOG 皆為直角三角形 .OC=再連結(jié)對角形AC， BD，易知 AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，（三）函數(shù)與方程的思想1、函數(shù) f(x)=lg(x 2+ax+1) 的值域為R，求實數(shù)a 的取值范圍。2、已知 f ( x) lg 1 2 x3x4x a ，若 f(x) 在（， 1有意義，求實數(shù)a 的取值范4圍。3、設(shè)不等式mx2 2xm 1 對于滿足 |m| 2 的一切實數(shù)m 都成立，求x 的取值范圍。分析：設(shè)f(m)=(x 2 1)m2x 1，則對于滿足 |m| 2 的一切實數(shù)m 都有 f(m) 0 f( 2) 0 且 f(2)

22、 04、已知 x、 y、z（ 0,1 ），求證： x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) 1證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) 1即 f(x) = (1 y z)x + y(1 z) + z 1當(dāng) 1 y z = 0,即 y + z = 1時，f(x) = y(1 z) + z 1 = y + z 1 yz = yz 014當(dāng) 1 y z 0 時， f(x)為一次函數(shù)，又x（ 0,1 ），由一次函數(shù)的單調(diào)性，只需證明 f(0) 0, f(1) 0y、 z（ 0,1 ） f(0) = y(1 z) + z 1 = (y 1)(z 1) 0f(1)

23、 = (1 y z) + y(1 z) + z 1 = yz 0對任意的 x（ 0,1 ）都有 f(x) 0即 x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) 1（四）轉(zhuǎn)化與化歸思想1、關(guān)于 x 的方程4x+(m 3)?2x+m=0 有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m 的取值范圍。（五）換元的思想1、解不等式：2x5x1變：關(guān)于 x 的不等式ax5xb 的解集為 5/2,2），求實數(shù) a、 b 的值。2、（六） 1 的代換1、已知 a、 bR+， a+b=1,x 、 y R,求證： ax2+by2 (ax+by) 22、已知 x、 y 都是正數(shù)， a、 b 都是正常數(shù)，且a/x + b/y = 1

24、 ，求證：x y (ab) 23、已知 x、 y 都是正數(shù)，且x + y = 1, 求證： (1 + 1/x)(1 + 1/y) 94、已知 x、 yR+, 且 1/x + 9/y = 1，求 x + y的最小值。5、若 0 x 1,a 0， b0，求 a/x + b/(1 x)的最小值是。6、已知 a,b 是正數(shù)，且 a + b = 1，求證： (ax + by)(ay + bx) xy分析： a,b 是正數(shù)，且 a + b = 1 (ax + by)(ay + bx) = a2222xy + abx+ aby+ b xy= (a2 + b2)xy+ ab(x 2 + y2) = (1 2a

25、b)xy+ ab(x 2 + y2)= xy+ ab(x 2 + y22xy) = xy + ab(x y)2 xy（七）特殊與一般的思想1、已知 a、 b、 c R,函數(shù) f (x) = ax 2 + bx + c, g(x) = cx 2+bx + a, 當(dāng) |x| 1 時，有 |f(x) 2。（ 1）求證： |g(1)| 2；（ 2）求證：當(dāng) |x| 1 時， |g(x)|4.證：（1）當(dāng) | x| 1 時， |f(x)| 2, |f(1)| 2又 |f(1)| |g(1)| |g(1)| 2（ 2） f(x)= ax2+bx+c f(1)= a+b+c,f( 1)= a b+c, f(

26、0)= c15 a= f(1)+f(-1) -2f(0)/2,b= f(1)-f(-1)/2 |x| 1 時 |f(x)| 2 |f(1)| 2,|f(-1)| 2,|f(0)| 2 |g(x)|=|cx 2+bx+a|2=|x f(0)+f(1)-f(-1)x/2+f(1)+f(-1)-2f(0)/2|2=|(x1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2| |(x 2 1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2| |(x+1)/2|f(1)| +|(x-1)/2|f(-1)|+|(1 x2)|f(0)| x+1+1-x+2 = 4小結(jié)：對于二次

27、函數(shù)f(x)=ax2+bx+cc=f(0)2a=f(1)+f( 1) 2f(0)2b=f(1) f( 1)2、已知 a、b、c R,函數(shù) f (x) = ax 2 + bx + c, g(x) = ax + b, 當(dāng) 1x1 時，有 |f(x) 1。 （ 1）證明： |c|1；（2）證明：當(dāng) 1x1 時， |g(x)|2；（ 3）設(shè) a 0， 1x1 時， g(x) 的最大值為 2，求 f(x) 的解析式。證明： 1x1 時，有 |f(x)| 1,當(dāng) x = 0 時，有 f (0) = c, 即 |c| = |f(0)| 1,故 |c|1。證明：欲證當(dāng) 1x1 時，有 |g(x)|2,即證 1

28、x1 時， 2g(x) 2。 對 a 分類討論當(dāng) a0 時， g(x) 在 1,1 上是增函數(shù)， a+bg(x) a+b, a+b = f(1) c |f(1)| + |c|2, a +b = f( 1) c |f( 1)|+|c| 2， 2g(x) 2，即 |g(x)|2。當(dāng) a0 時， g(x) 在 1,1 上是減函數(shù)， a+bg(x) a+b, a+b = f(1) c |f(1)|+|c| 2 ， a +b = f( 1) c |f( 1)|+ |c|2,， 2g(x) 2，即 |g(x)|2。綜上所述，有 |g(x)|2。 a 0， g(x) 在 1,1上是增函數(shù)， x1 時， g(

29、x) 取最大值 2，即 a+b 2。 f(1) f(0) a+b 2， 1f(0) f(1) 21 2 1，即 c= f(0) 1， 1x1 時， f(x) 1= f(0) ， x = 0 為函數(shù) f(x) 圖象的對稱軸， b = 0, 故 a2，所以 f(x) 2x2 1。另解： f(x)= ax2+bx+c f(1)= a+b+c,f( 1)= a b+c, f(0)= c a= f(1)+f(-1) -2f(0)/2,b= f(1)-f(-1)/216 |x| 1 時 |f(x)| 1 |f(1)| 1,|f(-1)| 1,|f(0)|1 |g(x)|=|ax+b|=|f(1)+f(-1)-2f(0)x/2+f(1)-f(-1)/2|=|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)| |(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)| |(x+1)/2|f(1)| +|(x-1)/2|f(-1)|+|-x|f(0)| (x+1)/2+(1-x)