平面直角坐標(biāo)系伸縮變換

1、平面直角坐標(biāo)系中的平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換伸縮變換xO 2 y=sinxy=sin2x思考：思考：（1 1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinxy=sinx得到曲線得到曲線y=sin2x?y=sin2x? 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)將橫坐標(biāo)x縮為原來的縮為原來的 ，就得到正弦曲線，就得到正弦曲線y=sin2x.12通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。1坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：112xxyy 上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：上述的變換實(shí)質(zhì)上

2、就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即： 設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo)保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x x縮為原來縮為原來 ，得到點(diǎn)得到點(diǎn)12,p x y （2）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=3sinx?寫出其坐標(biāo)變換。寫出其坐標(biāo)變換。O 2 y=sinxy=3sinxyx在正弦曲線上任取一點(diǎn)在正弦曲線上任取一點(diǎn)P（x,y），保持橫坐標(biāo)），保持橫坐標(biāo)x不變，不變，將縱坐標(biāo)伸長為原來的將縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，就得到曲線倍，就得到曲線y=3sinx。（2）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲

3、線得到曲線y=3sinx?寫出寫出其坐標(biāo)變換。其坐標(biāo)變換。通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長變換。長變換。223xxyy 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為）經(jīng)變換得到點(diǎn)為,pxy（3）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=3sin2x? 寫出其坐標(biāo)變換。寫出其坐標(biāo)變換。O 2 y=sinxy=3sin2xyx 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來的縮為原來的 ，在此基礎(chǔ)上，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膶⒖v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，就得到正

4、弦曲線倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.12設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為）經(jīng)變換得到點(diǎn)為通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。3（3）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線得到曲線y=3sin2x? 寫出其坐標(biāo)變換。寫出其坐標(biāo)變換。3123xxyy 定義：設(shè)定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換在變換(0):(0)xxyy 的作用下，點(diǎn)的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 稱稱 為為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。 4注注 （1） （2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌

5、跡，平面圖）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。0,0,p x y 例例2：在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過：在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換伸縮變換后的圖形。后的圖形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 213xxyy 解： 由伸縮變換代入2x+3y=01213xxyy得得x +y =023xxyy 22代入x +y =1得2249xy+=1 1222133xxxxyyyy 由 伸 縮 變 換得1.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線曲線4x2+9y2=36變?yōu)榍€變?yōu)榍€0 xxyy 1解：設(shè)伸縮變換，22代 入 x +y =1得2 2221xy224936xy又1312則1312xxyy 得221xy2.在同一直角坐標(biāo)系下經(jīng)過伸縮變換在同一直角坐標(biāo)系下經(jīng)過伸縮變換 后，后，曲線曲線C變?yōu)樽優(yōu)?，求曲線，求曲線C的方程并畫出的方程并畫出圖形。圖形。3xxyy 2299xy22得9x -9y =922即x -y =122x -9y =93xxyy2.解：將代入答案：y3sin